4.3.1 等比数列的概念课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.3.1 等比数列的概念 1.通过实例，理解等比数列和等比中项的概念. 2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值. 学习目标 01 等比数列的概念 4.3.1 等比数列的概念 请看下面几个问题中的数列，谈谈你发现了什么。 （1）两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列 9，92，93，…，910； 100，1002，1003，…，10010； 5，52，53，…，510 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9 4.3.1 等比数列的概念 （2）《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 （3）测在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2，4，8，16，32，64，… （4）某人存人银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 a(1+r)，a(1+r)2，a(1+r)3，a(1+r)4，a(1+r)5 新知初探 知识点一 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q ≠ 0）。 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。此时，G2=ab。 推论： （2） （x为间隔数） 如何通过定义推导出等比数列的通项公式？ （1） 累乘 首项为a1，公比为q的等比数列{ an }的通项公式为 等比数列{ an }的通项公式的推广 通性通法 (1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*). (2)定义强调“从第二项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0. (课本例1) 判断下列数列是否为等比数列： (1) 1，1，1，1，1； 解析：所给数列是首项为1，公比为1的等比数列. (课本例1) 判断下列数列是否为等比数列： (2) 0，1，2，4，8； 解析：因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列. (课本例1) 判断下列数列是否为等比数列： (3)1，－，，－，. 解析：所给数列是首项为1，公比为－的等比数列. 通性通法 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1) ； 解析：不是等比数列； 课本P157 练习1 【练习1】 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (2) ； 解析：是等比数列，公比为1； 【练习1】 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (3) ； 解析：是等比数列，公比为； 【练习1】 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (4) 解析：不是等比数列； 【练习1】 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (5) 解析：不是等比数列； 【练习1】 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (6) 解析：是等比数列,公比为； 【练习1】 02 等比数列中的基本计算 (课本例2) 求出下列等比数列中的未知项： (1) . 解析：由题意得， , 所以 (课本例2)求出下列等比数列中的未知项： (2)－4，b，c，. 解析：根据题意，得 所以b＝2，c＝－1. 通性通法 一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可，但要注意题目中的要求，比如正项的等比数列或负项的等比数列. 已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适合的数 【练习2】 课本P157 练习3 （1） （2） （3） 03 等比中项及应用 新知初探 知识点二 等比中项 如果三个数a，G，b成等比数列，那么 叫作a与b的等比中项. 此时，G2＝ 或G＝________. G ab ± 解析：－2和＋2的等差中项为， －2和＋2的等比中项为±＝±1. (1)－2和＋2的等差中项与等比中项分别为（ ） A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± √ （例3） 解析：∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号， ∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9. （例3） (2)已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么（ ） A.b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9 C.b＝3，ac＝－9 D.b＝－3，ac＝－9 √ 通性通法 当三个数或某数列中的三项成等比数列时，我们一般考虑使用等比中项来确定各项之间的关系.两个同正或同负的数的等比中项有两个，它们互为相反数，但是我们在取舍时需要结合具体情境判断一下等比中项的符号能否确定. （1）求45和80的等比中项； （2）已知两个数和的等比中项是，求 【练习3】 课本P161 练习11 解析：(1) (2) 04 等比数列定义的简单应用 解析：因为{an}是等比数列，所以 ＝an－1an＋1(n≥2)成立. (例4) (1)在等比数列{an}中，是否有＝an－1an＋1(n≥2)？ 解析：不一定.例如，对于数列0，0，0，…，总有＝an－1an＋1， 但这个数列不是等比数列. 例4 (2)如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有＝an－1an＋1， 那么数列{an}一定是等比数列吗？ 通性通法 若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有＝an－1an＋1； 反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性. 在等比数列中， （1）是否成立？是否成立？； （2）是否成立？ （3）你能得到更一般的结论吗？ 【练习4】 （3）一般地：若则 形 等差数列 等比数列 类比 抽象概念 代数运算 归纳法 累乘法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 指数函数 数 形 课堂小结 等差数列 等比数列 定义 通项公式 中项 性质 课堂小结 an+1-an=d an = a1 +(n-1)d THANKS $$