4.3.1 等比数列的概念 4.3.2等比数列的通项公式第1课时 等比数列的概念与通项公式讲义-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第4章——数列 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第4章 数列 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 4.3.2　等比数列的通项公式(第1课时　等比数列的概念与通项公式) 【学习目标】 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义； 2．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程； 3．体会等比数列与指数函数的关系； 4．熟练掌握等比数列的判断方法． 【温顾·习新】 一、等比数列的概念 思考　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98． ②《庄子·天下》中提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数： ，，，，，…； ③－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…， 依次排成一列数：－，，－，，…； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 填空 文字语言 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 ，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 做一做　 等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第4项等于(　　) A．－24 B．0 C．12 D．24 【研讨·拓展】 【例1】判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，，，，…； (2)，2，3，4，…； (3)1,0,1,0,1,0，…； (4)1，－4,16，－64,256，…； (5)a，a，a，a，a…． 【变式1-1】(多选)下列说法正确的有(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 二、等比中项 问题1　如果－1，a，－9成等比数列，那么a为多少？ 问题2　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 填空　(1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论： 叫作a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ ． 做一做　4与16的等比中项是________． 【例2】(1)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A．± B． C．1 D．±1 (2)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 【变式2-1】(1)三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________． (2)在等差数列{an}中，a3＝0．如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________． 【变式2-2】在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于(　　) A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－32 【变式2-3】等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________． 【变式2-4】等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于(　　) A．±2 B．±4 C．2 D．4 三、等比数列的通项公式 问题1　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题2　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 填空　(1)等比数列的通项公式：一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝ ．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比． (2)等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的 点． 做一做　等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝(　　) A．32 B．－48 C．48 D．96 【例3】在等比数列{an}中： (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； (2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an． 【变式3-1】在等比数列{an}中． (1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n； (2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式． 【变式3-2】(1)在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　) A．2 B． C．2或 D．－2或 (2)已知等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 【例4】已知，是等比数列{an}图象上的两点，则an＝________． 【例5】在数列{an}中，a1＝，am＋n＝aman，则a6等于(　　) A． B． C． D． 四、等比数列中项与项之间的关系 问题1　结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ 问题2　结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al，类比出等比数列中相似的性质吗？ 填空　1．等比数列通项公式的推广和变形an＝ ． 2．设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ． (2)若m，p，n成等差数列，则 成等比数列． 【例6】(1)在等比数列{an}中： ①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n； ②已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an． (2)已知{an}为等比数列． ①若{an}满足a2a4＝，求a1aa5； ②若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； ③若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． (3)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 【变式6-1】已知等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝42，则a7等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 【变式6-2】在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　) A． B．3 C．± D．±3 【变式6-3】有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____． 【总结提炼】 1．牢记3个知识点：(1)等比数列的概念；(2)等比数列的通项公式；(3)等比中项． 2．掌握2种方法：(1)基本量法；(2)等比数列的证明： ①利用定义：＝q(与n无关的常数)；②利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N*)． 3．注意1个易错点：两个同号的实数a，b才有等比中项，而且等比中项有两个，为±． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·5· 学科网（北京）股份有限公司 $$