14.4.2用样本估计总体的离散程度参数 课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版必修第二册

方差与标准差 第14章 统计 问题情境 有甲、乙两种钢筋, 现从中各抽取一个标本（如表）检查它们的抗拉强度（单位：kg/mm2）. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 问题1 从甲、乙两种钢筋中选择一种用于施工，能否只用平均数作出选择？ 问题2 哪种钢筋的抗拉强度更稳定呢？ 由点线图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定. 我们将一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 极差越大，数据越分散，越不稳定 极差越小，数据越集中，越稳定 极差体现了数据的离散程度 建构数学 将甲、乙两个样本数据分别标在数轴上，如图 运用极差对两组数据进行比较,操作简单方便,但如果两组数据的离散程度差异不大时，就不容易得出结论。 考察样本数据的分散程度的大小, 最常用的统计量是 方差和标准差。 我们还可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差，离差越小，稳定性就越高。 结合上节有关离差的讨论，我们可用各次抗拉强度与平均抗拉强度的离差的平方和表示。由于两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此得到的值称为这组数据的方差。 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差． 建构数学 问题3 这时怎么判断哪种钢筋的抗拉轻度更稳定呢？ 建构数学 方差：一般地，设一组样本数据 ，…， 其平均数为 , 则称 为这个样本的方差 ． 标准差： 标准差也可以刻画数据的离散程度．方差和标准差的意义：描述一个样本数据波动大小的特征数，标准差(或方差)越小，数据的波动越小，数据越集中在平均数附近； 问题4 方差能否为0？ 例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 数学运用 解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为 [(9.8-10)2 +(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为 [(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷5=0.24 因为0.24>0.02，所以，由这组数据 可以认为甲种水稻的产量比较稳定。 数学运用 变式拓展 已知一个样本为1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？ 数学运用 例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换. 已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下, 试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。 天数 151~180 181~210 211~240 241~270 271~300 301~330 331~360 361~390 灯数 1 11 18 20 25 16 7 2 数学运用 一般的，若取值为x1,x2, …,xn的频率分别为p1,p2, …,pn，则其方差为p1(x1-x)2+p2(x2-x)2+…pn(xn-x)2 用频率计算方差 问题5 能利用频率求平均数，那能求方差吗？ 例3、设数据x1，x2，…，xn的方差为s2，求数据ax1＋b，ax2＋b， …，axn＋b 的方差。 数学运用 变式拓展： (1)已知一组数据x1，x2，…，x8的平均数是2，方差为6，则数据x1－1，x2－1，…，xn－1的平均数是_______，方差是________ (2)已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是－2，方差是4，则数据2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数是______，方差是________ 1、课本第257页练习第1、2、3、4题。    2、下列说法正确的是(　　)    (A)在两组数据中，平均数较大的一组方差较大    (B)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小    (C)方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和    (D)在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表 示射击水平高   3、已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是(　　)    (A)0.1       (B)0.3        (C)0.5        (D)0.7 课堂检测 课堂检测 4、甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选择决赛的最佳人选应是(　　) 5、已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　) (A)＝4，s2＝2  (B)＝4，s2>2  (C)＝4，s2<2   (D)>4，s2<2   6、样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________ (A)甲   (B)乙  (C)丙   (D)丁 1、极差是体现数据离散程度 2、方差、标准差是体现稳定性 课堂小结 $$