广东省广州市2025-2026学年九年级上学期开学考试数学模拟卷

广东省广州市2025年秋季九年级数学上册开学考试模拟卷 满分120分 时间120分钟 范围：八下知识 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列条件下不是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3． 在中，，，则的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 4．某班进行了一次英语听力测试，其中5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．28，29 B．28，28 C．28，28.5 D．28，30 5． 将一次函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度，所得新图象的解析式为（　　） A． B． C． D．： 6． 如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=28m，则A，B两点间的距离是（　　）. A．56m B．28m C．64m D．34m 7．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为13，的长为5，则小正方形的边长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．12 8． 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解是（　　）. A． B． C． D． 9．如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上F处，已知，，则的长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 10．如图①，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动到点D．图②是点P运动时，△PAD的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（　　） A． B．4 C．5 D．6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．甲、乙两支合唱队的平均身高均为，方差分别为，，则这两支合唱队队员身高更整齐的是　 　队．填“甲”或“乙” 12．若与最简二次根式可以合并，则　 　． 13． 一直角三角形的两直角边长为12和5，则斜边长为　 　. 14．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为　 　． 15．如图，正方形的边长为8，在上，且，是上的一动点，求的最小值． 16．已知直线的解析式为，菱形，，，…按图所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线上，顶点，，，…均在轴上，则点的坐标是　 　． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．计算：． 18． 如图，在中，点E，F分别为边AB，AC的中点，延长EF到点G使. 求证：四边形EGCB是平行四边形. 19．（6分）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． （1）______，______； （2）连接，判断是什么三角形，并说明理由． 20．（6分）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：； 八年级10人的得分在B组中的分数为：； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 a 八 76.8 b 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，________，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级有360人参与测试，八年级有400人参与测试，请估计七、八两个年级得分在A组的人数之和． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）当AB＝AC时，请问四边形ADCF是什么特殊的四边形？并说明理由． 22．（10分）如图，直线l经过点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）． （1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标； （2）求△AOB的面积． 23．（10分） 某校开展课后服务活动，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球球，一副球拍标价80元，一盒球标价25元。体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打折付额。 学校要购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒. （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额(元)， (元)与 (盒)之间的函数关系式. （2）如果学校需要购买15盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱? （3）如果学校提供经费为1800元，选择哪个方案能购买更多乒乓球? 24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6．在AD上取一点E，AE＝2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF＝x，△BFM的面积为S． （1）如图1，当四边形EFMN是正方形时，求证：△FAE≌△EDN； （2）如图2，当四边形EFMN是菱形时，求S关于x的函数解析式； （3）请问：当x分别取何值时，△BFM的面积S取最大值、最小值？（提示：借助备用图） 25．（12分）如图1，直线AB与x轴交于点B（8，0），与y轴交于点A，直线CD与y轴交于点C，与直线AB交于点D，其中直线CD的解析式为，OA=4OC.点M是线段AD上一点（点M不与点A，D重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N，以MN，MD为邻边作□MNPD，连接PO，PB. （1）求点D的坐标； （2）当△BPO的面积为3时，求点M的坐标； （3）如图2，连接PM，求证：PM⊥ND. 参考答案 1．A 【解析】解：A、被开方数5是质数，无平方因数，且不含分母，满足最简二次根式的条件，符合题意； B、将0.9写为分数，则，分母含根号，需有理化，不满足最简条件，故不符合题意； C、分解被开方数：，其中4是平方数，故，含可开方的因数4，不满足最简条件，故不符合题意； D、分母含根号，，需有理化为，不满足最简条件，故不符合题意； 故选：A． 【分析】最简二次根式需满足：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式；同时满足以上两个条件的就是最简二次根式. 2．C 【解析】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项不合题意； 故选：C． 【分析】本题选择不是直角三角形的是，那么就需明白，满足什么条件的三角形是直角三角形：有一个角是90°的三角形是直角三角形；两锐角互余的三角形是直角三角形以及三边满足两短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，只有C项不能满足以上三条任意一条. 3．D 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，AD=5 ∴ 即：平行四边形ABCD的周长为16 故答案为：D . 【分析】 本题考查平行四边形的性质及周长的计算方法，熟知平行四边形的性质是解题关键. 根据平行四边形的性质：对边相等可知：AB=CD=3，AD=BC=5，根据平行四边形的周长的计算方法：四边相加可得：，代入数据即可得出答案. 4．B 【解析】解：把数据 ：22，30，29，28，28 ， 按照从小到大重新排列为：22，28，28 ，29，30， ∴ 这组数据的众数和中位数分别是 ：28，28. 故答案为：B。 【分析】根据众数和中位数的定义可以直接得出答案。 5．C 【解析】解：∵一次函数y=2x-1的图像沿y轴向上平移4个单位长度 ∴y-2x-1+4=2x+3 即：所得新图像的解析式为：y=2x+3 故答案为：C . 【分析】 本题考查一次函数的平移变换，熟知一次函数的平移变换方法是解题关键. 对于一次函数y = kx + b(k，b为常数，k≠0)，图象沿y轴方向平移时，遵循 “上加下减” 的原则，即图象向上平移m个单位长度时，函数解析式变为y = kx + b + m；图象向下平移m个单位长度时，函数解析式变为y = kx + b - m；根据 “上加下减” 原则可得：平移后的新函数解析式为：y-2x-1+4=2x+3，由此可得出答案. 6．A 【解析】 解：∵点M、N分别是OA、OB的中点 ∵MN=28 ∴AB=2MN=56 故答案为：A . 【分析】 本题考查三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半；根据三角形中位线定理可知：，代入数据即可得出答案， 7．A 【解析】解：四边形是正方形， ， ， ， 即， 在中，， ， ． 故选：A． 【分析】本题所示图形为赵爽线图，而赵爽线图与勾股定理息息相关，已知AD=13，AE=5，所以DH=5，在中，可由勾股定理求得AH的长度为12，所以小正方形的边长为12-5=7. 8．D 【解析】 解：∵直线与直线相交于点， ∴当x=a，y=2代入得：2a=2 ∴a=1 ∴点P坐标为(1，2) 由图知：当x≤1时， 即当x≤1时， 故答案为：D . 【分析】 本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，理解不等式的解集就是直线的图象在直线图象下方（包括相交点）时对应的x的取值范围是解题关键. 根据直线与直线相交于点可知：点P(a，2)在直线上，故将点P坐标代入直线解析式解得：a=1，即可知点P坐标为(1，2)，再根据不等式的解集就是直线的图象在直线图象下方（包括相交点）时可知：x≤1，由此可得出答案. 9．C 【解析】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质知：，， 在中，，， ， 设，则，， ∴中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【分析】本题是矩形部分的典型题，一般而言，将矩形的一部分折叠后求某段线段的长度，可以利用勾股定理搭建关系式求解，本题要求BC的长，所以可设AD=BC=DF=x，在Rt△CDF中，，即 ，求x的值即可. 10．D 【解析】解：如图，过点C作CE⊥AD于点E 由图象可知，点P从点A到点B运动的路程是3 ∴AB=3. ∵当点P与点B重合时，△ADP的面积是 ∴AD=7. ∵BC//AD，∠A=90°，CE⊥AD， ∴四边形ABCE是矩形. ∴CE=AB=3，BC=AE. 设BC=x，则DE=7-x，CD=8-x 在Rt△DCE中，由勾股定理，得(7-x)2 +32=(8-x)2 解得x=3.a=3+3=6. 故答案为：D. 【分析】通过图像分析出AB的长度，结合△ADP的面积可求得AD的长度，求出四边形ABCE为矩形后可以在Rt△DCE中求出BC的长，从而求出a的值。 11．乙 【解析】解：∵，， ∴， ∴这两支合唱队队员身高更整齐的是乙队， 故答案为：乙． 【分析】方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．身高更齐整说明方差更小，所以乙队更齐整． 12．3 【解析】根据题意可得，想要和合并，所以可以得出a-1=2，a=3。 故答案为：3. 【分析】先将化为最简，然后可以将与其进行合并必须保证被开方数相同，进行计算即可得出答案。 13．13 【解析】解：∵ 一直角三角形的两直角边长为12和5， ∴斜边长为：， 故答案为： 13. 【分析】结合题意，利用勾股定理计算直角三角形的斜边长即可. 14． 【解析】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴△CBA是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 【分析】根据数轴图可知：AB=2，BC=2，再根据勾股定理可得：在Rt△ABC中，，根据图中尺规作图的方法可得：，根据线段的和差运算可知：，最后根据数轴与实数的对应关系可得：点D表示的数为：，由此可得出答案． 15．解：∵四边形是正方形， ∴点关于的对称点是点． 连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小． ∵，正方形的边长为8， ∴，． 由，知． 又∵点与点关于对称， ∴且平分．∴． ∴． ∴的最小值是10 【解析】【分析】本题问的最小值，很明显的线段之和最小问题，此类题型为将军饮马模型，解决方法是找到其中一点的对称点并与另外一点连接，得到的线段的长度就等于二者之和的最小值，本题中，就需要找D点或M点关于AC的对称点，因为四边形ABCD是正方形所以点D的对称点相对好找，即B点，连接BM，则线段BM的长度就是二者之和的最小值，而BM的长度可以由勾股定理求得. 16． 【解析】解：设直线l： 与x轴交于点C，如图所示： 令y=0，即2x+2=0，x=-1，则C（-1，0） 令x=0，得y=2，则 ∵ 四边形 为菱形 ∴ AO垂直平分 ∴ ∴ 当x=1时，y=4，∴ 则， 以此类推，可以发现：，······· ∴则点的坐标是 故答案为： . 【分析】本题考查菱形的性质，一次函数点的特征，找出点坐标的规律是关键。 17．原式 ． 【解析】【分析】运用二次根式的混合运算结合题意即可求解。 18．证明：∵ E， F分别为AB， AC的中点， ∴ EF是 的中位线， ∴， ， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ 四边形 EGCB 是平行四边形. 【解析】【分析】 本题考查三角形中位线定理和平行四边形的判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题关键. 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：， ；再根据中点的定义，结合EF=FG可知：，等量代换得：EG=BC，结合EG∥BC，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形EGCB是平行四边形，由此可证得结论. 19．（1）， （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． ​​​​​​​ 【解析】（1）解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； 【分析】（1）因为每一个小正方形的边长都是1，所以利用勾股定理求解即可； （2）在小方格中，利用勾股定理分别求出BC、CD、BD的长度，发现BC=BD，且三边满足 ，所以此三角形是等腰直角三角形． （1）解：由勾股定理得：，， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，由勾股定理得：， ， ， ，， ∴， 是等腰直角三角形． 20．（1）83，，20 （2）解：八年级掌握垃圾分类知识比较好， 理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好. （3）解：∵人，人， ∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人． 【解析】（1）解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多， ∴众数． ∵八年级C组人数：， 八年级D组人数：， 八年级B组人数：4， ∴八年级A组人数：， ∴， ∴． ∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和97， ∴． 故答案为：86，，20. 【分析】（1）利用众数、中位数的定义及计算方法求出a、b的值，再利用“A”的人数除以总人数可得m的值； （2）利用中位数的定义及性质分析求解即可； （3）先分别求出七、八年级“A”组的人数，再相加即可. （1）解：∵七年级10人的分数中83出现的次数最多， ∴众数． ∵八年级C组人数：， 八年级D组人数：， 八年级B组人数：4， ∴八年级A组人数：， ∴， ∴． ∵八年级成绩排在第5和第6位的是84和97， ∴． 故答案为：86，，20； （2）解：八年级掌握垃圾分类知识比较好， 理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好； （3）解：∵人，人， ∴七、八两个年级得分在A组的人数之和为：人． 21．（1）解：∵AF∥BC ∴∠AFE=∠EBD ∵E是AD的中点 ∴AE=ED 又∵∠AEF=∠BED， ∴△AEF≌△DEB ∴AF=DB 又∵在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点 ∴BD=DC=AD= BC ∴AF=DC， 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD=DC ∴四边形ADCF是菱形. （2）解：四边形ADCF是正方形 理由如下： 当AB=AC时，△ABC为等腰直角三角形， ∵D是BC的中点 ∴AD⊥BC ∴菱形ADCF是正方形 【解析】【分析】(1) 先根据AAS证明△AEF≌△DEB，可得AF=DB，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ADCF是平行四边形，最后根据“一 组邻边相等的平行四边形是菱形’得出答案； (2) 先根据等腰直角三角形的性质得出AD⊥CD，再根据有一个角是直角的菱形是正方形，即可证得结论. 22．（1）解：设直线解析式为y=kx+b， 把点A（1，6）和点B（﹣3，﹣2）代入， 得， ， 解得：k=2，b=4， 所以，y=2x+4， x=0时，y=4， y=0时，x=﹣2， 则直线与x轴交点为（﹣2，0），与y轴交点为（0，4） （2）解：△AOB的面积 2×6 2×2=8． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，解一元一次方程求出直线与坐标轴的交点坐标；（2）结合图形、根据三角形的面积公式计算即可． 23．（1）解： 由题组得： ， . （2）解：根据（1）中解析式，，， 当时 (元)， (元) ， (元)，方程甲更省钱. （3）解：根据（1）中解析式，，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， . ∴学校提供经费为1800元，选择方案甲能购买更多乒乓球. 【解析】【分析】 本题考查一次函数的实际建模与一次函数的求值与比较，根据实际优惠方案，分析费用组成，建立一次函数关系式是解题关键. （1）根据实际优惠方案，分析费用组成，建立一次函数关系式，依据 “买一副球拍送一盒球” 的优惠规则可得：，再根据是 “按购买金额打9折付款”，先算总金额再乘以折扣率列函数式：，由此可得出答案； （2）已知x = 15，将其分别代入第 1 问得到的两个函数关系式和 中，计算出对应的和的值，再比较大小，即可得出答案； （3）分别将y=1800代入两个函数关系式，求解对应的x值，再比较x大小，即可得出答案. 24．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠AEF+∠AFE＝90°， ∵四边形EFMN是正方形， ∴∠FEN＝90°，EF＝EN， ∴∠AEF+∠DEN＝90°， ∴∠DEN＝∠AFE， ∴△FAE≌△EDN（AAS）； （2）解：如图1， 连接NF，作MG⊥AB于G， ∴∠FGM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB∥CD， ∴∠D＝∠FGM，∠DNF＝∠BFN， ∵四边形EFMN是菱形， ∴EN＝FM，EN∥FM， ∴∠ENF＝∠MFN， ∴∠DNF﹣∠ENF＝∠BFN﹣∠MFN， ∴∠DNE＝∠MFG， ∴△EDN≌△MGF（AAS）， ∴MG＝DE＝6﹣2＝4， ∴S； （3）解：如图2， 当AF最小时，BF最大，S最大，此时EF最小， 当EF＝DE＝4时，EF最小，AF最小， ∴AF， 此时x＝9﹣2， S最大＝18﹣24， 如图3， 当点M在BC上时，AF最大，S最小， 由EF＝FM得， 22+x2＝（9﹣x）2+42， ∴x， ∴S最小＝18﹣2． 【解析】【分析】（1）根据AAS即可证明 △FAE≌△EDN； （2）连接NF，作MG⊥AB于G，根据AAS可证明△EDN≌△MGF，得出MG=DE=6-2=4，进一步根据三角形面积计算公式，即可得出S关于x的函数解析式； （3）如图2，当AF最小时，BF最大，S最大，此时EF最小，当EF＝DE＝4时，EF最小，AF最小，可求得此时的最大值为4；当点M在BC上时，AF最大，S最小，可求得最小值为. 25．（1）解：令，则. ∴. ∴. ∴. 设直线AB的解析式为，将A(0，6)和B(8，0)代入得 解得 ∴直线AB的解析式为. 联立解得 ∴. （2）解：设点M为，则点N为. ∴. ∵四边形MNPD为平行四边形， ∴. ∴点P的纵坐标为. 由题得，即. 解得或. ∴或. ∴或. 对应，. ∴或 （3）证明：如图，过点D作DE⊥MN于点E． ∵，， ∴. ∴，. . ， ∴MN2=MD2，即MN=MD. ∴四边形MNPD为菱形. ∴PM⊥ND. 【解析】【分析】（1）首先根据直线CD的解析式求得它与y轴的交点C的坐标，进而求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出直线ab的解析式，再联立直线AB和CD的解析式，得到方程组，解方程组，即可得出点D的坐标； （2）根据直线AB和CD的解析式，可设点M为，则点N为.，从而得出MN和DP的长度，进而得出点P的纵坐标，再根据三角形的面积，求得或.，进一步即可求得或.再求出点M的坐标即可； （3）如图，过点D作DE⊥MN于点E．设，通过计算，得出MN=MD，从而得出四边形MNPD为菱形，进而得出PM⊥ND. 学科网（北京）股份有限公司 $$