6.1平均数与方差 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如下图所示。 （1）观察统计图,甲的哪个射击成绩出现次数最多？其他选手呢？ （2）不计算，请你尝试判断谁的射击成绩最好。你是怎么判断的？ （3）算一算，验证你的判断是否正确。 甲8，乙7，丙9，丁6和10出现次数最多。 一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。例如，甲射击成绩的众数是8环，丁射击成绩的众数是6环和10环。 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数，就得到这组数据的算术平均数,简称平均数。平均数是刻画一组数据集中趋势的一项指标，反映了一组数据的“中心”。 （1）一组数据的平均数一定在这组数据中吗？ （2）如果甲又射击一次,意外脱靶，成绩为0环，那么这时甲的平均成绩会发生什么变化？ （3）在某些比赛评分时，常常去掉一个最高分和一个最低分，然后计算平均成绩，你能说说这样做的好处吗？与同伴进行交流。 思考•交流 不一定。 降低。 避免个别分数对平均成绩的过度影响。 某店铺一种商品10天的销售量及顾客对店铺的评分如下图所示。 （1）请你计算这种商品10天的平均销售量。 （2）顾客对店铺评分的众数是多少？顾客对店铺评分的平均数呢？ 操作•思考 1.菲尔兹奖是数学领城的一项国际大奖，每四年颁发一次。从1936年到2022年，共有65人获奖,获奖者获奖时的年龄分布如下，请计算获奖者的平均获奖年龄（结果精确到0.1岁)。 解：(27+29×3+31×5+32×4+33×4+34×4+35×6+36×5+37×9+38×9+39×7+40×7+45) ÷65≈35.8（岁） 所以获奖者的平均获奖年龄约为35.8岁。 某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗,虾仁鲜肉馄饨15元/碗，荞菜鲜肉馄饨12元/碗，玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理?你是怎么想的？与同伴进行交流。 （1）小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为 你认为他的算法合理吗？为什么？与同伴进行交流。 尝试•交流 合理，因为他正确计算了各种馄饨的单价并根据各种馄饨数量多少进行了求和。 （2）如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个，虾仁鲜肉馄饨3个，荠鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨1个，香芹鲜肉馄饨1个，那么该如何定价呢？若每种馄饨各2个，又该如何定价呢？ 尝试•交流 （3）你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关？ 尝试•交流 “全家福”馄饨的定价与每种馄饨的单价和数量有关。 在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”。 例如,在一碗“全家福”馄饨中，不同馅料的馄饨个数不同，影响着这碗“全家福”馄饨的定价，因此不同馅料馄饨的占比就是权，我们称 为上述第一种“全家福”馄饨五种馄饨价格的加权平均数。 想一想，加权平均数和算术平均数有什么区别和联系? 想一想，加权平均数和算术平均数有什么区别和联系? 区别:加权平均数考虑数据的权重，算术平均数不考虑。 联系:当所有数据的权重相等时，加权平均数就变成了算术平均数。换句话说，算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，其中所有数据的权重都是1。 例1.某校进行广播操比赛,评分包括以下几项（每项满分10分)：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐。其中三个班的成绩分别如下: 如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 解: 一班的成绩为9x10%+8x20%+9x30%+8x40%=8.4（分）； 二班的成绩为10x10% +9x20%+7x30%+8x40%=8.1（分)； 三班的成绩为8x10%+9x20%+8x30%+9x40%=8.6(分)。 所以，三班成绩最高。 在例1中，你认为哪个评分项更为重要？ 请按自己的想法设计一个评分方案,并与同伴进行交流。 （1）已知A,B两家网站客户的日人均上网时间分别是2h和lh,这两家网站所有用户的日人均上网时间是(2+1)+2=1.5(h)吗？为什么？与同伴进行交流。 思考•交流 （2）设A, B两家网站用户的日人均上网时间分别是ah和bh， A,B两家网站平均每天的上网用户分别为 m人和n人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？ 思考•交流 A,B两家网站所有用户的日人均上网时间为 ，它不是两个网站各自用户日人均上网时间 a 和 b 的算术平均数，而是a，b的加权平均数 ，权重 ， 反映了两家网站用户的分布情况。这是分布式计算的最简单形式，对于多个网站也可以类似计算。在大数据时代，分布式计算具有广泛的应用。 思考•交流 1.校规定学生的体育成绩由三部分组成:早锻炼及体育课外活动表现占20%,体育理论测试占30%，体育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是多少？ 解：92x20%+80x30%+84x50%=84.4（分） 答：小颖的体育成绩是84.4分。 在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如下图所示，他们的平均成绩都是8环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？ （1）你觉得谁发挥得更稳定?你的理由是什么？ （2）你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流。 在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况。 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画。 离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 。 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即 。 其中， 是 的平均数。 而标准差则是方差的算术平方根。 一般而言,一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 例2.计算图中甲射击成绩的标准差（结果精确到0.01环）。 所以，甲射击成绩的标准差约为1.04环。 （1）计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。 思考•交流 思考•交流 （1）计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。 所以，丙射击成绩的方差约为1.29环。 思考•交流 （1）计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较。 ∵1.08＜1.29，∴甲的射击成绩比丙的射击成绩更稳定。 （2）丁又进行了几次射击，这时，他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了。你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？ 思考•交流 丁后面几次射击的成绩更接近原射击成绩的平均数，且成绩相对更加集中。 1.甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位： cm)如下。 甲队:178，177，179，179，178，178，177，178，177，179; 艺队:178，177，179，176，178，180，180，178，176，178。 哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？ （1） （2） 因为甲，乙两支仪仗队队员身高数据的方差分别为0.6和1.8,因此，可以认为甲仪仗队更为整齐。 某日，A，B两地的气温如图所示。 （1）不进行计算，说说A，B两地这天气温的特点。 （2）分别计算这一天A， B两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的看法一致吗？ （1）A地的最高气温比B地的最高气温高，A地的最低气温比B地的最低气温低，A地的日温差大，B地的日温差较小，但平均气温相近。 （2）A地气温的平均数约是20.42℃，方差约是7.76；B地气温的平均数约是21.35℃，方差约是2.78；A.B两地平均气温相近，但A地日温差大，B地日温差较小,因此,与刚才的看法一致。 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下。 甲：585,596,610,598,612,597,604,600,613,601； 乙: 613,618,580,574,618,593,585,590,598,624。 尝试•思考 （1）甲、乙的平均成绩分别是多少？ （2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？ （3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？ （4）历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？ 尝试•思考 （1） （2） 尝试•思考 （3）甲运动员成绩较稳定，平均成绩比乙好；乙有潜力，最远成绩比甲的最远成绩好。 （4）为了夺冠应选甲远动员；为了打破纪录应选乙运动员。 尝试•思考 10个苹果的直径如图所示。 思考•交流 （1）若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由。 （2）一般情况下,如果想把一组数据分成若干组,使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与 同伴进行交流。 思考•交流 先将10个苹果按照大小进行排序，然后将排序后的苹果分成两组，每组5个。 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 例3.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组。 解：将10个数据由小到大排序: 65,69, 70,75,76,76,78,80，80，81。 把10个数据分成两组，共有9种情况:第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69,…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}；……；第一组9个数据{65,…,80}，第二组1个数据{81}。 以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有2个数据{65,69},这2个数据的平均数是67， 故第一组数据的组内离差平方和 S1=(65-67)2+(69-67)2=8;第二组有8个数据 {70，75,76,76,78,80,80,81},这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和 S2=(70-77)2+(75-77)2+…+(81-77)2=90。 因此第2种分组情况的组内离差平方和 S=S1+S2=8+90=98。 同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是 {65，69,70},{75,76,76，78,80，80,81}。 1.某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩（单位： m）如下。 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67; 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75。 （1）甲、乙两名运动员的平均成绩分别是多少？ （2）这两人中，谁的成绩更为稳定？ （3）经预测,跳高成绩达1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳高成绩达到1.70m方可夺得冠军呢？ (1) (2) ∴甲跳高运动员的成绩比乙跳高运动员的成绩稳定。 （3）若跳高1.65米就获得冠军，那么成绩在1.65或 1.65米以上的次数甲多，则选择甲；若跳高1.70米就获得冠军，那么成绩在170或1.70米以上的次数乙 多，则选择乙。 1、离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和。 2、方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数 3、标准差是方差的算术平方根。 4、一般而言,一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 作业一：习题6.1 作业二：导学案 作业三：对下一节课进行预习 $$