第23章旋转章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

第23章旋转章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•溆浦县校级月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•宿迁）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），将线段OA绕着点O逆时针旋转90°得线段OA'，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 3．（2025•乐东县一模）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 4．（2025•丛台区校级三模）如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF，则下列说法不正确的是（　　） A．AB＝DE B．∠CAB＝∠FDE C．∠AOE＝80° D．∠COF＝80° 5．（2025•崂山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（1，1） D．（1，2） 6．（2024秋•宿迁期末）已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 7．（2024秋•高要区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好在边BC上．若∠AB′C′＝66°，则旋转角的度数为（　　） A．33° B．48° C．58° D．66° 8．（2024秋•平舆县期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转．给出以下结论：①BE＝DG；②BG＝BE；③BE⊥DG；④DE2+BG2＝2a2+2b2.其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（2025•金凤区模拟）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠D＝∠BED＝45°）三角尺ABC固定不动，将三角尺DBE绕点B转动．当DE∥BC时，∠ABE的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．75°或105° 10．（2025•白山模拟）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为1cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（　　） A．1cm B．2cm C． D． 二．填空题（共6小题） 11．（2025•本溪一模）如图，已知△ABC，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，点D恰好落在AC的延长线上，且AB∥DE，则旋转角的度数是　 　 ． 12．（2025•太原一模）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D是△ABC外的一点，∠BAD＞∠BAC，AD＝AC．若CD＝6，连接BD，则线段BD的长为　 　 ． 13．（2025•于都县一模）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（4，0），点P在x轴上，连接AP，把AP绕点P顺时针旋转90°得到线段A′P，连接A′B．若△A′PB是直角三角形，点P的横坐标为 　 　 ． 14．（2025•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D在边BC上，BD＝1，AD＝2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，若点E恰好落在边BC上，则线段EC的长为 　 　 ． 15．（2025•雁塔区校级四模）如图，P是边长为6cm的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值是 　 　 cm． 16．（2025•杭州一模）菱形ABCD绕点A旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在BC上，B'C'交CD于点E．若ABBB'＝6，则CE的长为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2024•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长． 18．（2024•金安区校级一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 19．（2023秋•东平县期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB、DC交于点G． （1）求证：AB⊥DE； （2）求证：FB+BGBC． 20．（2024•广安区校级模拟）如图5×5方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． （1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； （2）在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为20； （3）在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； （4）在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 21．（2024春•沈丘县校级期中）如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AD＝AE． （1）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．求证：DF﹣EFAF； （2）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 22．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 第23章旋转章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C C B C D C 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•溆浦县校级月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2025•宿迁）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），将线段OA绕着点O逆时针旋转90°得线段OA'，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 【解答】解：如图，过A作AB⊥x轴于点B，过A′作A′C⊥y轴于点C，则∠A′CO＝∠ABO＝90°， 由旋转性质可知，∠AOA′＝90°，AO＝A′O， ∴∠COA+∠A′OC＝90°， ∵∠AOB+∠COA＝90°， ∴∠AOB＝∠A′OC， ∴△A′CO≌△ABO（AAS）， ∴A′C＝AB，OC＝OB， ∵点A的坐标为（3，2）， ∴AB＝2，OB＝3， ∴A′C＝AB＝2，OC＝OB＝3， ∴点A′的坐标为（﹣2，3）， 故选：B． 3．（2025•乐东县一模）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2） 【解答】解：点A（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）． 故选：B． 4．（2025•丛台区校级三模）如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF，则下列说法不正确的是（　　） A．AB＝DE B．∠CAB＝∠FDE C．∠AOE＝80° D．∠COF＝80° 【解答】解：∵△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF， ∴AB＝DE，∠CAB＝∠FDE，∠AOD＝∠COF＝80°， 故A，B，D选项正确，不符合题意，C选项不正确，符合题意． 故选：C． 5．（2025•崂山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（1，1） D．（1，2） 【解答】解：分别作线段AA'，BB'的垂直平分线，相交于点P， 则△A′B′C′是由△ABC绕点P逆时针旋转90°得到， ∴点P的坐标为（1，1）． 故选：C． 6．（2024秋•宿迁期末）已知，|b+1|＝0，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，b+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣1， 则点P（2，﹣1）， 则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）． 故选：C． 7．（2024秋•高要区期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B′恰好在边BC上．若∠AB′C′＝66°，则旋转角的度数为（　　） A．33° B．48° C．58° D．66° 【解答】解：由旋转的性质得：AB＝AB′，∠ABB′＝∠AB′C′， ∴∠AB′B＝∠ABB′， ∵∠AB′C′＝66°， ∴∠AB′B＝∠ABB′＝∠AB′C′＝66°， ∴∠BAB′＝180°﹣66°﹣66°＝48°， 故选：B． 8．（2024秋•平舆县期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转．给出以下结论：①BE＝DG；②BG＝BE；③BE⊥DG；④DE2+BG2＝2a2+2b2.其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：①∵正方形ABCD和EFGC， ∴CB＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴∠BCE+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG． 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴BE＝DG， 故结论①正确，符合题意． ②∵正方形CEFG绕点C旋转， ∴∠BCG与∠DCG在不断的变化， ∴∠BCG不一定等于∠DCG， ∴△BCG不一定与△DCG全等， 故BG不一定等于DG，故②不正确； ③如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O． 由①可知∠CBE＝∠CDG，即∠CBM＝∠MDO． 又∵∠BMC＝∠DMO，∠MCB＝180°﹣∠CBM﹣∠BMC，∠DOM＝180°﹣∠CDG﹣∠MDO， ∴∠DOM＝∠MCB＝90°， ∴BE⊥DG． 故③结论正确，符合题意． ④如图所示，连接BD、EG， 由②知，BE⊥DG， 则在Rt△ODE中，DE2＝OD2+OE2， 在Rt△BOG中，BG2＝OG2+OB2， 在Rt△OBD中，BD2＝OD2+OB2， 在Rt△OEG中，EG2＝OE2+OG2， ∴DE2+BG2＝（OD2+OE2）+（OB2+OG2）＝（OD2+OB2）+（OE2+OG2）＝BD2+EG2． 在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝2a2， 在Rt△CEG中，EG2＝CG2+CE2＝2b2， ∴BG2+DE2＝2a2+2b2． 故④结论正确，符合题意． 故选：C． 9．（2025•金凤区模拟）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠D＝∠BED＝45°）三角尺ABC固定不动，将三角尺DBE绕点B转动．当DE∥BC时，∠ABE的度数为（　　） A．75° B．60° C．105° D．75°或105° 【解答】解：如图①， ∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠D＝45°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°， ∵∠DBE＝90°， ∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝90°﹣15°＝75°， 如图②，当DE∥BC时， ∵DE∥BC， ∴∠CBE＝∠E＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝60°+45°＝105°． 综上所述，∠ABE的度数为75°或105°， 故选：D． 10．（2025•白山模拟）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为1cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（　　） A．1cm B．2cm C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1cm的正方形， ∴BD（cm）， 由平移的性质可知BB′＝1cm， ∴． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2025•本溪一模）如图，已知△ABC，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，点D恰好落在AC的延长线上，且AB∥DE，则旋转角的度数是　60°　 ． 【解答】解：由旋转可得∠A＝∠BDE，AB＝DB， ∴∠A＝∠BDA， ∵AB∥DE， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠A＝∠ABD＝∠ADB， ∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°， ∴∠ABD＝60°， ∴旋转角的度数为60°， 故答案为：60°． 12．（2025•太原一模）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D是△ABC外的一点，∠BAD＞∠BAC，AD＝AC．若CD＝6，连接BD，则线段BD的长为　34　 ． 【解答】解：以A为圆心，以AB长为半径作圆， ∵△ABC是边长为5的等边三角形，AD＝AC， ∴AD＝AC＝AB＝BC＝5，∠BAC＝60°， ∴点B、C、D都在⊙A上， ∴∠BDC∠BAC＝30°， ∵点D是△ABC外一点，CD＝6， ∴60°＜∠CAD＜90°， ∴120°＜∠ABD＜150°， ∴BD＞BC， ∴BD＞5， 作BE⊥DC交DC的延长线于点E，则∠E＝90°， ∵BE2＝BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2，且DE＝6+CE， ∴BD2﹣（6+CE）2＝52﹣CE2， 整理得CEBD2， ∴DE＝6BD2BD2， ∵cos30°， ∴DEBD， ∴BD2BD， 整理得BD2﹣6BD+11＝0， 解得BD＝34或BD＝34（不符合题意，舍去）， ∴BD的长为34， 故答案为：34． 13．（2025•于都县一模）在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（4，0），点P在x轴上，连接AP，把AP绕点P顺时针旋转90°得到线段A′P，连接A′B．若△A′PB是直角三角形，点P的横坐标为 　2或或　 ． 【解答】解：∵A（0，2），B（4，0）， ∴OA＝2，OB＝4， 设点P（m，0）， 当∠BPA′＝90°时，点B在直线AP上（且不与点P重合）， ∴点P不能为直角顶点， ①如图，当点P在x轴的正半轴上，且∠PBA′＝90°时， 由旋转可知，PA＝PA′，∠APA′＝90°， ∴∠APO+∠BPA′＝90°，∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠OAP＝∠BPA′， ∴△OAP≌△BPA′（AAS）， ∴PB＝OA＝2，A′B＝OP＝m， ∴OP＝OB﹣PB＝4﹣2＝2， ∴m＝2，即点P的横坐标为2； ②如图，当点P在x轴的正半轴上，且∠PA′B＝90°时， 过点A′作A′D⊥PB于点D，则OP＝m（m＞0）， 由旋转可知，PA＝PA′，∠APA′＝90°， ∴∠APO+∠DPA′＝90°，∠OAP+∠APO＝90°， ∴∠OAP＝∠DPA′， ∴△OAP≌△DPA′（AAS）， ∴PD＝OA＝2，A′D＝OP＝m， ∴BD＝OB﹣PD﹣OP＝4﹣2﹣m＝2﹣m， ∵∠PA′B＝∠A′DB＝∠A′DP＝90°， ∴∠A′PB+∠B＝90°，∠A′PB+∠PA′D＝90°，∠DA′B+∠B＝90°， ∴∠B＝∠PA′D， ∴tanB＝tan∠PA′D， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点P的横坐标为； ③如图，当点P在x轴的负半轴上，且∠PA′B＝90°时， 过点A′作A′D⊥PB于点D，则OP＝m， 同理可得△OAP≌△DPA′（AAS）， ∴PD＝OA＝2，A′D＝OP＝﹣m， ∴PB＝OP+OB＝4﹣m，BD＝PB﹣PD＝4﹣m﹣2＝2﹣m， 同理可得∠B＝∠PA′D， ∴tanB＝tan∠PA′D， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴点P的横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为2或或， 故答案为：2或或． 14．（2025•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D在边BC上，BD＝1，AD＝2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，若点E恰好落在边BC上，则线段EC的长为 　4　 ． 【解答】解：构造旋转后的图形将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴△ADE为等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°，AD＝AE＝DE＝2， ∴∠B+∠BAD＝60°，∠BDA＝∠AEC＝120°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， ∴∠BAD＝∠C， ∴△ABD∽△CAE， ∴， ∴CE＝4． 故答案为：4． 15．（2025•雁塔区校级四模）如图，P是边长为6cm的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，则PA+PD+PQ的最小值是 　（6+3）　 cm． 【解答】 解：如图，将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则易知△AFP是等边三角形， 作EH⊥BC于H，交AD于G． ∵PA+PD+PQ＝EF+FP+PQ≥EH， ∴EG＝AE•sin60°＝63cm，GH＝AB＝6cm， ∴EH＝（6+3）cm， ∴PA+PD+PQ≥36， ∴PA+PD+PQ的最小值（36）cm． 故答案为：（6+3）． 16．（2025•杭州一模）菱形ABCD绕点A旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在BC上，B'C'交CD于点E．若ABBB'＝6，则CE的长为　　 ． 【解答】解：如图，过点C作CF∥C′D′，交B′C′于点F， ∵菱形AB′C′D′中，AB′∥C′D′， ∴AB′∥CF∥C′D′， ∵AB＝AB′， ∴∠B＝∠AB′B， ∵∠AB′C′＝∠B， ∴∠FB′C＝∠BAB′， ∵AB′∥FC， ∴∠B′CF＝∠AB′B， ∵AB＝2BB'＝4， ∴B′C＝BB′＝2， ∴△ABB′∽△B′CF， ∴， ∴， ∴FC＝1， 由旋转可知，△ABB′≌△ADD′， ∴DD′＝BB′＝2， ∴C′D＝2， 又由CF∥C′D， ∴△C′DE∽△FCE， ∴， ∴， ∴， ∴CE． 故答案为：． 三．解答题（共6小题） 17．（2024•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长． 【解答】（1）证明：∵△DEF和△ABC关于点O对称， ∴DF＝AC，DF∥AC， ∴四边形ACDF是平行四边形； （2）解：连接CF交AD于点O． ∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵四边形ACDF是菱形， ∴CF⊥AD， ∵•AC•CB•AB•CO， ∴CO， ∴AO． 18．（2024•金安区校级一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣4）； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 19．（2023秋•东平县期末）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB、DC交于点G． （1）求证：AB⊥DE； （2）求证：FB+BGBC． 【解答】证明：（1）∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC， ∴∠A＝∠D，∠ACD＝∠BCE＝90°， ∵∠DGB＝∠CGA， ∴∠DBG＝∠ACG＝90°， ∴AB⊥DE； （2）∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC， ∴∠ABC＝∠DEC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC， ∴∠ACB﹣90°＝∠DCE﹣90°，即∠BCG＝∠ECF， ∴△CBG≌△CEF（AAS）， ∴EF＝BG， ∴EF+BF＝BG+BF，即BE＝BG+BF， ∵EC＝BC，∠BCE＝90°， ∴△BCE为等腰直角三角形， ∴BEBC， 即FB+BGBC． 20．（2024•广安区校级模拟）如图5×5方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． （1）在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； （2）在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为20； （3）在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； （4）在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 【解答】解：（1）如图1所示即为所求； （2）如图2所示即为所求； （3）如图3所示即为所求； （4）如图4所示即为所求； 21．（2024春•沈丘县校级期中）如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AD＝AE． （1）如图2，点P在线段BE上，作EF⊥DP于点F，连接AF．求证：DF﹣EFAF； （2）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【解答】解：（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E ∴AE⊥AD于A，∠FPE＝∠ADP ∵AD＝AE，∠EAD＝90° ∴将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG ∴△AEF≌△ADG，∠FAG＝90° ∴AG＝AF，∠ADG＝∠AEF ∵EF⊥PD，AE⊥BC ∴∠AEF+∠PEF＝90°，∠FPE+∠PEF＝90° ∴∠AEF＝∠FPE ∵∠ADG＝∠AEF，∠FPE＝∠ADP ∴∠ADG＝∠ADP ∴点G在PD上 ∵AF＝AG，∠FAG＝90° ∴ ∵FG＝DF﹣DG＝DF﹣EF ∴ （2）①如图3，点F在PD上，DF+EFAF． 理由：将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG ∴△AEF≌△ADG， 同（1）可得：DG＝EF，AG＝AF， GFAF， 则EF+DFAF． ②如图4，点F在PD的延长线上，EF﹣DFAF， 同①证法相同（略） 22．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$