第22章二次函数章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版

第22章二次函数章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2025•赤坎区校级四模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（2025•陈仓区校级模拟）已知抛物线y＝x2+4x，当﹣3≤x≤a时，y的最大值与最小值之和为1，则a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2或﹣1 C．﹣1 D．1 3．（2025•沈阳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2025•雁塔区校级模拟）关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 5．（2025•碑林区校级四模）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣2m﹣3（m为常数）的图象与x轴有交点，当x＞2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜2 D．m≥﹣2 6．（2025•南岗区校级四模）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•东海县三模）如果把小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：s）的关系式为h＝10x﹣4.9x2.根据该物理规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88，x2≈1.16的解释正确的是（　　） A．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s B．小球经过的时间约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 C．小球离地面的高度为5m时，经过的时间约为0.88s D．小球经过的时间约1.02s离地面的高度为5m 8．（2025•东莞市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＞0；②a+c＞﹣b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb，则抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为（　　） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 10．（2025•新城区模拟）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点（﹣1，1），（1，3）都是“龙点”．若将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线y2的顶点为“龙点”，则a的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．（2025•宁夏一模）已知是二次函数且当x＞0时y随x的增大而增大，则a的值为　 　 ． 12．（2025•凉州区校级二模）已知抛物线y＝mx2﹣2m2x（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上任意两点，若对于﹣3＜x1＜﹣2，2m﹣4＜x2＜2m﹣3，都有y1＞y2，则m的取值范围为　 　 ． 13．（2025•嘉峪关校级二模）已知抛物线的顶点是（﹣3，2），形状与y＝x2相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为 　 　 ． 14．（2025•渝水区校级二模）如图，已知二次函数y＝﹣3x2+6x的图象顶点为A，与x轴交于原点和点B．若在y轴正半轴上有一点P，使△PAB为直角三角形，则点P的坐标为　 　 ． 15．（2025•凉州区校级二模）对于任意函数，定义当x＝x0时，若函数值y＝x0，称（x0，x0）为此函数的不动点，例如函数y＝2x﹣1，当x＝1时 y＝1，则点（1，1）为此函数的不动点，则二次函数y＝2x2﹣4x﹣3的不动点为　 　 ． 16．（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•西湖区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣2，3）． （1）请用含a的代数式表示b． （2）若该抛物线向上平移2个单位后顶点恰好落在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （3）已知B（x1，y1）和C（x2，y2）是该抛物线上的两点．若对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2，求a的取值范围． 18．（2025•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+3（b是常数）与y轴交于点A，且经过点B（3，0）．点M、N是抛物线上两点（点M在点N左侧，点M不与点A重合），横坐标分别为m、n，且MN∥AB． （1）求抛物线的解析式； （2）当点M落在x轴上时，求m+n的值； （3）作直线MA、NB相交于点P． ①当△PAB与△MAB面积相等时，求m的值； ②当△PAB的面积大于△PMN面积的时，直接写出m的取值范围． 19．（2025•老河口市校级模拟）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 20．（2025•老河口市校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）若点P是第二象限内抛物线上一点，当∠PBA+∠OCB＝45°时，求m的值； （3）过点P作y轴的平行线交AC于点M，点N在AC上，且PN＝MN，PN的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l时，请结合l关于m的函数图象，求m的取值范围． 21．（2025•洪山区模拟）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若∠ACD为锐角，且tan∠ACD，求点D的横坐标xD的取值范围； （3）如图2，经过对称轴上一定点P作一次函数y＝kx+b与抛物线交于M，N两点．若的值为定值，求P点的坐标． 22．（2025•枣阳市一模）如图，直线y＝﹣x+4分别交x、y轴于B，C点，抛物线经过B，C两点且与x轴交于另一点A，点P是x轴上方抛物线上一点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，当点P是抛物线的顶点时，连接PA交BC于点E．求CE与BE之间的数量关系； （3）过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，令矩形PMON的周长为C． ①求C与m的函数解析式； ②若矩形PMON围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为U，当C≤10且U内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出m的取值范围． 第22章二次函数章末检测卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C A B A C B C 一．选择题（共10小题） 1．（2025•赤坎区校级四模）抛物线y＝﹣（x﹣1）2的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2的顶点为（1，0）且开口向下，当x＝0时，y＝﹣1， ∴抛物线一定经过第三，四象限． 故选：D． 2．（2025•陈仓区校级模拟）已知抛物线y＝x2+4x，当﹣3≤x≤a时，y的最大值与最小值之和为1，则a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2或﹣1 C．﹣1 D．1 【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝﹣2时，y＝﹣4， 当x＝﹣3和x＝﹣1时，y＝﹣3， ∴当﹣3≤a＜﹣2时，y的最大值为﹣3，最小值为a2+4a， ∵y的最大值与最小值之和为1， ∴﹣3+a2+4a＝1， 解得，此种情况不合题意， 当﹣2≤a≤﹣1时，y的最大值为﹣3，最小值为﹣4，此时最大值与最小值的和为﹣3+（﹣4）＝﹣7，不合题意， 当a＞﹣1时，y的最大值为a2+4a最小值为﹣4， ∵y的最大值与最小值之和为1， ∴a2+4a﹣4＝1， 解得a＝﹣5（不合，舍去）或a＝1， ∴a的值为1， 故选：D． 3．（2025•沈阳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（2025•雁塔区校级模拟）关于抛物线y＝x2﹣（m+1）x+m，下列说法：①开口向下；②与坐标轴有3个交点；③一定过点（1，0）；④顶点一定不在第二象限；其中正确的是（　　） A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【解答】解：在y＝x2﹣（m+1）x+m中， ∵1＞0， ∴开口向上，故①错误； ∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝（m﹣1）2≥0， ∴当m＝1时，抛物线与x轴有一个交点， 由于抛物线与y轴有一个交点，故与坐标轴有2个交点，故②错误； 令x＝1，则y＝0， 故一定过点 （1，0），故③正确； y＝x2﹣（m+1）x+m， 当时，， ∴顶点一定不在第二象限，故④正确； ∴正确的有③④， 故选：C． 5．（2025•碑林区校级四模）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣2m﹣3（m为常数）的图象与x轴有交点，当x＞2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜2 D．m≥﹣2 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2mx+m2﹣2m﹣3（m为常数）的图象与x轴有交点， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0， 即4m2﹣4（m2﹣2m﹣3）≥0，解得m． ∵对称轴为直线x＝﹣m，在x＞﹣m的部分y随x的增大而增大， 且当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴﹣m≤2，解得m≥﹣2， 综上，m的取值范围为m． 故选：A． 6．（2025•南岗区校级四模）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：抛物线的顶点坐标是（﹣2，）， 故选：B． 7．（2025•东海县三模）如果把小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，则小球离地面的高度h（单位：m）与经过的时间x（单位：s）的关系式为h＝10x﹣4.9x2.根据该物理规律，下列对方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88，x2≈1.16的解释正确的是（　　） A．小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s B．小球经过的时间约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 C．小球离地面的高度为5m时，经过的时间约为0.88s D．小球经过的时间约1.02s离地面的高度为5m 【解答】解：方程10x﹣4.9x2＝5的两根x1≈0.88，x2≈1.16分别表示的是上升0.88s时，距离底面为5m，且继续上升；下降过程中，1.16s时，距离底面为5m，且继续下降，两次距离地面5m的时间间隔为1.16﹣0.88＝0.28s， 故A正确，符合题意． 故选：A． 8．（2025•东莞市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＞0；②a+c＞﹣b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0， 故abc＜0，故①错误； 观察函数图象可知当x＝1时，y＞0， 即a+b+c＞0，即a+c＞﹣b，故②正确； ∵该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． ∴由对称性知该函数图象必过点（5，0）， ∴函数解析式可化为交点式，即y＝a（x+1）（x﹣5）， 即多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5），故③正确； 由交点式可知此函数解析式为y＝ax2﹣4ax﹣5a， 从而可得顶点坐标为（2，﹣9a）， 当m＞﹣9a时，可知y＝m与y＝ax2+bx+c无交点坐标， 故关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根，故④正确． 综上，正确的序号为②③④． 故选：C． 9．（2025•山东模拟）用“Φ”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，aΦb，则抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为（　　） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【解答】解：由题意可知，（2Φ3）＝32﹣2＝7，， ∴y＝x2+7x﹣8， 令y＝0，则x2+7x﹣8＝0， ∵Δ＝72﹣4×（﹣8）＝81＞0， ∴抛物线y＝x2+（2Φ3）x﹣（6Φ4）与x轴交点的个数为有两个交点， 故选：B． 10．（2025•新城区模拟）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点（﹣1，1），（1，3）都是“龙点”．若将抛物线向右平移2个单位长度后得到的新抛物线y2的顶点为“龙点”，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， ， 所以原抛物线的顶点坐标为（﹣3a，）， 则平移后所得新抛物线的顶点坐标为（﹣3a+2，）． 因为此点为“龙点”， 所以， 解得a或﹣6． 又因为a＞0， 所以a． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2025•宁夏一模）已知是二次函数且当x＞0时y随x的增大而增大，则a的值为　﹣3　 ． 【解答】解：由条件可知a2﹣7＝2， 解得：a＝3或a＝﹣3， ∵当x＞0时y随x的增大而增大， ∴2﹣a＞0，则a＜2， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 12．（2025•凉州区校级二模）已知抛物线y＝mx2﹣2m2x（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上任意两点，若对于﹣3＜x1＜﹣2，2m﹣4＜x2＜2m﹣3，都有y1＞y2，则m的取值范围为m≥1或m＜0　 ． 【解答】解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝mx2﹣2m2x（m≠0）上任意两点， ∴，， ∴ ＝m（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）， ∵﹣3＜x1＜﹣2，2m﹣4＜x2＜2m﹣3， ∴2m﹣7＜x1+x2＜2m﹣5，﹣2m＜x1﹣x2＜2﹣2m， ∴﹣7＜x1+x2﹣2m＜﹣5， ①当m＞0时，要使y1＞y2，则x1﹣x2＜0， ∴2﹣2m≤0， 解得m≥1，符合题设； ②当m＜0时，要使y1＞y2，则x1﹣x2＞0， ∴﹣2m≥0， 解得m≤0， ∴此时m＜0； 综上，m的取值范围为m≥1或m＜0， 故答案为：m≥1或m＜0． 13．（2025•嘉峪关校级二模）已知抛物线的顶点是（﹣3，2），形状与y＝x2相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为 y＝﹣x2﹣6x﹣7　 ． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k， 由条件可知：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣h）2+k 把顶点（﹣3，2）代入y＝﹣（x﹣h）2+k得： y＝﹣（x+3）2+2＝﹣x2﹣6x﹣7， 故答案为：y＝﹣x2﹣6x﹣7． 14．（2025•渝水区校级二模）如图，已知二次函数y＝﹣3x2+6x的图象顶点为A，与x轴交于原点和点B．若在y轴正半轴上有一点P，使△PAB为直角三角形，则点P的坐标为　或（0，1）或（0，2）　 ． 【解答】解：设点P的坐标为（0，m），m＞0， ∵y＝﹣3x2+6x＝﹣3（x﹣1）2+3， ∴A（1，3）， 令y＝0，则﹣3x2+6x＝0， 解得x＝0或x＝2， ∴B（2，0）， ∴AB2＝（1﹣2）2+（3﹣0）2＝10， AP2＝（1﹣0）2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10， （0﹣m）2＝m2+4， ①当AB为斜边时，m2﹣6m+10+m2+4＝10， 解得m＝1或m＝2， ∴点P的坐标为（0，1）或（0，2）； ②当AP为斜边时，10+m2+4＝m2﹣6m+10， 解得（舍去）； ③当BP为斜边时，10+m2﹣6m+10＝m2+4， 解得， ∴点P的坐标为； 故答案为：或（0，1）或（0，2）． 15．（2025•凉州区校级二模）对于任意函数，定义当x＝x0时，若函数值y＝x0，称（x0，x0）为此函数的不动点，例如函数y＝2x﹣1，当x＝1时 y＝1，则点（1，1）为此函数的不动点，则二次函数y＝2x2﹣4x﹣3的不动点为　（3，3）或　 ． 【解答】解：当x＝x0时，若函数值y＝x0，称（x0，x0）为此函数的不动点， 即x＝y， ∴2x2﹣4x﹣3＝x，整理得：2x2﹣5x﹣3＝0， 解得x＝3或， ∴二次函数的不动点为（3，3）或， 故答案为：（3，3）或． 16．（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　34%　 ． 【解答】解：根据题意得：二次函数y＝2x2+bx+c经过（1，10），（2，20）， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为y＝2x2+4x+4， 当x＝3时，y＝2×9+4×3+4＝18+12+4＝34， ∴第三年的增长率为34%， 故答案为：34%． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•西湖区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣2，3）． （1）请用含a的代数式表示b． （2）若该抛物线向上平移2个单位后顶点恰好落在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （3）已知B（x1，y1）和C（x2，y2）是该抛物线上的两点．若对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣2，3）， ∴3＝4a﹣2b+3， ∴b＝2a； （2）∵b＝2a， ∴y＝ax2+2ax+3， ∴该抛物线向上平移2个单位后得到y＝ax2+2ax+5， ∵顶点恰好落在x轴上， ∴Δ＝（2a）2﹣4•a•5＝0， 解得a＝5或a＝0（舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为y＝5x2+10x+3； （3）∵b＝2a， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ①当a＞0时，对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2， ∴B（x1，y1）和C（x2，y2）都在对称轴右侧， ∵在对称轴的右侧，y随x增大而增大， ∴3≤2a， ∴a； ②当a＜0时，1＜x1＜3， ∴B（x1，y1）在对称轴右侧， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（x1，y1）关于对称轴的对称点为（﹣2﹣x1，y1）， ∴﹣5＜﹣2﹣x1＜﹣3， ∵对于1＜x1＜3，x2＝2a，都有y1＜y2， ∴2a≥﹣3， ∴a＜0； 综上，a＜0或a． 18．（2025•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+3（b是常数）与y轴交于点A，且经过点B（3，0）．点M、N是抛物线上两点（点M在点N左侧，点M不与点A重合），横坐标分别为m、n，且MN∥AB． （1）求抛物线的解析式； （2）当点M落在x轴上时，求m+n的值； （3）作直线MA、NB相交于点P． ①当△PAB与△MAB面积相等时，求m的值； ②当△PAB的面积大于△PMN面积的时，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）将B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3， ∴﹣9+3b+3＝0， 解得b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）∵点M、N横坐标分别为m、n， ∴M（m，﹣m2+2m+3），N（n，﹣n2+2n+3）， ∵点M落在x轴上， ∴﹣m2+2m+3＝0， 解得m＝3或m＝﹣1， ∵点M在点N左侧，点M不与点A重合， ∴m＝﹣1， ∴M（﹣1，0）， ∴直线MN的解析式为y＝﹣（n﹣3）x﹣m2﹣m+3+mn， ∵A（0，3），B（3，0）， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3， ∵MN∥AB， ∴3﹣n＝﹣1， 解得n＝4， ∴m+n＝3； （3）①∵△PAB与△MAB面积相等， ∴P点到直线AB的距离与M点到AB的距离相等， ∴AP＝AM， ∴A是MP的中点， ∴P（﹣m，m2﹣2m+3）， ∵直线MN的解析式为y＝﹣（m+n﹣2）x+3+mn， ∴（m+n﹣2）m﹣m2﹣m+3+mn＝m2﹣2m+3②， ∵﹣（m+n﹣2）＝﹣1， ∴m+n＝3②， 联立①②可得m或m＝3（舍）； ②当m时，△PAB与△MAB面积相等，即△PAB的面积等于△PMN面积的， M、N重合时，m＝n， ∵m+n＝3， ∴m， ∴m＜0或0＜m时，△PAB的面积大于△PMN面积的． 19．（2025•老河口市校级模拟）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B（4，4），点O（0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O（0，0）代入函数表达式， 解得：a， ∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4， 即yx2+2x（0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1， ∴将x＝1代入yx2+2x， 解得：y1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 20．（2025•老河口市校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）若点P是第二象限内抛物线上一点，当∠PBA+∠OCB＝45°时，求m的值； （3）过点P作y轴的平行线交AC于点M，点N在AC上，且PN＝MN，PN的长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②当l时，请结合l关于m的函数图象，求m的取值范围． 【解答】（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入， ∴， 解得； （2）由（1）可知yx2﹣x+4， 在OA上取点E使OE＝OB，设AC与BP的交点为F，过点F作FD⊥x轴交于D点， ∴∠BCO＝∠ECO， ∵OA＝OC＝4， ∴∠CAO＝45°， ∵∠PBA+∠OCB＝45°，∠ACE+∠CEO＝45°， ∴∠PBD＝∠ACE， ∴△ABF∽△ACE， ∵OE＝BO＝2，OA＝4， ∴AE＝2， ∵OC＝4，OA＝4， ∴AC＝4，AB＝6， ∴， ∴AF， ∵∠CAO＝45°， ∴△ADF是等腰直角三角形， ∴FDAD， ∴F（，）， ∴直线BF的解析式为yx， 当x2﹣x+4x时，解得x＝2或x， ∴P（，）， ∴m； （3）①直线AC的解析式为y＝x+4， 设P（m，m2﹣m+4），则M（m，m+4）， ∵PN＝MN， ∴PM的中点的纵坐标与N点纵坐标相同， ∴N（m2，m2+4）， ∴PN＝l|m2+m|， 当0≤m＜2时，lm2m； 当﹣4＜m＜0时，lm2m； ②∵当0≤m＜2时，m2m时，m＝﹣2±； ∴m＞﹣2时，l； 当﹣4＜m＜0时，m2m，解得m＝﹣2±， ∴﹣2m＜﹣2时，l； 综上所述：m＞﹣2或﹣2m＜﹣2时，l． 21．（2025•洪山区模拟）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若∠ACD为锐角，且tan∠ACD，求点D的横坐标xD的取值范围； （3）如图2，经过对称轴上一定点P作一次函数y＝kx+b与抛物线交于M，N两点．若的值为定值，求P点的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点， ∴.， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2； （2）如图1，过点A作AE⊥AC，使，连接AE交抛物线于点D，过点E作EF⊥x轴于点F， ∵y＝x2+x﹣2，令x＝0，得y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， 又∵A（﹣2，0）， ∴OA＝OC＝2， ∴△OAC是等腰直角三角形， ∴，∠OAC＝45°， ∴， ∵∠CAE＝90°， ∴∠EAF＝45°， ∵∠AFE＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴， ∴OF＝OA+AF， ∴， 设直线CE解析式为y＝kx+b， 则 解得： ∴直线CE解析式为， 联立方程组得， 解得：（舍去），， ∴， ∵点D是抛物线上第三象限内的一点， ∴； （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN为， 由，得， ∴x1+x2＝k﹣1，， ， ， ∴ ， ∵是定值， ∴4b+9＝1， ∴b＝﹣2，即原式＝4， ∴点P的坐标为． 22．（2025•枣阳市一模）如图，直线y＝﹣x+4分别交x、y轴于B，C点，抛物线经过B，C两点且与x轴交于另一点A，点P是x轴上方抛物线上一点，且点P的横坐标为m． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，当点P是抛物线的顶点时，连接PA交BC于点E．求CE与BE之间的数量关系； （3）过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，令矩形PMON的周长为C． ①求C与m的函数解析式； ②若矩形PMON围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为U，当C≤10且U内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4分别交x、y轴于B，C点， 当y＝0时，得：﹣x+4＝0， 解得x＝4； 当x＝0时，得：y＝4， ∴B（4，0），C（0，4）， 抛物线经过B，C两点且与x轴交于另一点A，把点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式； （2）过点C作CF⊥AB交AP于点F，如图1， 则∠FCE＝∠ABE，∠CFE＝∠BAE， ∴△CEF∽△BEA， ∴， 当y＝0，得：， 解得x1＝﹣2，x2＝4， ∴A（﹣2，0），B（4，0）， ∴AB＝6， 由， ∴顶点， 设直线AP的解析式为y＝kx+m，将点A，点P的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线AP的解析式为， 当y＝4时，得x+3＝4， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）①由题意，知，﹣2＜m＜4， 过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，令矩形PMON的周长为C， ∴m≠0，矩形PMON周长C＝2（PM+PN）， 当﹣2＜m＜0时，，PN＝﹣m， ∴， 当0＜m＜4时，，PN＝m， ∴， 综上所述，； ②m的取值范围是或．理由如下： 当﹣2＜m＜0时，﹣m2+8≤10恒成立， 此时，仅点（﹣1，1）符合要求， 当y＝2时，， 解得，（不合题意，舍去）； 当y＝1时，， 解得，（不合题意，舍去）； 结合函数图象知：； 当0＜m＜4时，﹣m2+4m+8≤10， 解得或， 此时，仅点（1，1），（2，1），（3，1）符合要求， 结合函数图象知：， ∴， 综上所述，m的取值范围是或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$