专题2.2 一次式（举一反三讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题2.2 一次式（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 一次式的概念】 2 【题型2 指出一次式的同类项】 2 【题型3 合并一次式的同类项】 3 【题型4 一次式的去括号】 3 【题型5 一次式的加减】 3 【题型6 数与一次式相乘】 3 【题型7 一次式的化简求值】 4 【题型8 一次式加减的应用】 4 知识点1 一次式的概念 代数式是、和4的和，我们把、、4称作代数式的项，、只含有一个字母，且字母的指数是1，叫做一次项．不含字母的项叫作常数项．一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数．例如的系数是，的系数是；代数式的一次项是和，一次项的系数分别是和． 像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式． 知识点2 一次式的同类项 在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项．所有的常数项都是同类项． 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加． 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项．合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加． 知识点3 一次式的加减 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“－”号，去掉括号后，括号内各项都变号． 知识点4 数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加．在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变．运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号． 【题型1 一次式的概念】 【例1】找出下列代数式中的一次式： 、、． 【变式1-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）关于代数式，下列说法中正确的是（　　） A．它的一次项系数是 B．它的常数项是 C．它是一个一次式 D．它是一个一次项 【变式1-2】指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： 、、、、 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如果是关于的一次式，那么 ． 【题型2 指出一次式的同类项】 【例2】（24-25六年级下·上海·假期作业）指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 【变式2-1】下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【变式2-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）一次式中是一次同类项是 . 【变式2-3】指出一次式中的同类项． 【题型3 合并一次式的同类项】 【例3】化简_____________． 【变式3-1】下列式子中，合并同类项正确的是(    ) A. B. C. D. 【变式3-2】化简：________． 【变式3-3】合并结果是(    ) A. 等于零 B. 小于零 C. 大于零 D. 无法确定 【题型4 一次式的去括号】 【例4】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）下列各式中，去括号正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式4-1】化简：          ． 【变式4-2】对于有理数、，定义，则化简后为________． 【变式4-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）去括号后应为（    ） A． B． C． D． 【题型5 一次式的加减】 【例5】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是 ． 【变式5-1】在横线上填入合适的一次式：（ ）． 【变式5-2】一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【题型6 数与一次式相乘】 【例6】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是 ． 【变式6-1】若一次式的值为3，那么一次式= ． 【变式6-2】一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对一道得3分，答错得2分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则用式子表示他的成绩为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差为 ． 【题型7 一次式的化简求值】 【例7】当时，一次式的值为 ． 【变式7-1】已知，，，则 【变式7-2】当时，化简后求一次式的值． 【变式7-3】 （24-25六年级上·上海·期末）已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 【题型8 一次式加减的应用】 【例8】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图是2024年10月份的月历，“阶梯”框型（阴影部分）在月历中移动，必须覆盖其中6个数：    (1)如果用表示6个数字中最小的数，用含的代数式按从小到大的顺序依次表示其余被覆盖的5个数； (2)试说明“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； (3)在此月历中，直接写出（1）中的最大值． 【变式8-1】如图，用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是，它的长是．如何用一次式表示这根铁丝的长度？ 【变式8-2】乐乐平均每分钟用电脑输入x个文字，现有一篇文稿，乐乐先用5分钟输入了文稿的部分文字．又用3分钟完成文稿的剩余文字输入，乐乐一共用了8分钟完成整篇文稿的文字输入．如何用一次式表示这篇文稿的总字数？ 【变式8-3】甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车距离是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一次式（举一反三讲义） 【沪教版五四制2024】 【题型1 一次式的概念】 2 【题型2 指出一次式的同类项】 3 【题型3 合并一次式的同类项】 4 【题型4 一次式的去括号】 6 【题型5 一次式的加减】 7 【题型6 数与一次式相乘】 9 【题型7 一次式的化简求值】 10 【题型8 一次式加减的应用】 12 知识点1 一次式的概念 代数式是、和4的和，我们把、、4称作代数式的项，、只含有一个字母，且字母的指数是1，叫做一次项．不含字母的项叫作常数项．一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数．例如的系数是，的系数是；代数式的一次项是和，一次项的系数分别是和． 像这样，由一次项与常数项组成，或仅含一次项的代数式叫作一次式． 知识点2 一次式的同类项 在一次式中，字母相同的项叫作一次式的同类项．所有的常数项都是同类项． 一次式中含字母的同类项可以合并，合并时只要把含字母的同类项的系数相加． 一般地，把同类项合并成一项，称为合并同类项．合并一次式的同类项时，把含字母的同类项的系数相加所得的结果作为系数，字母不变；常数项直接相加． 知识点3 一次式的加减 数的运算中的去括号方法在一次式中同样适用，即括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号内各项都不变；括号前面是“－”号，去掉括号后，括号内各项都变号． 知识点4 数与一次式相乘 一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加．在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变．运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号． 【题型1 一次式的概念】 【例1】找出下列代数式中的一次式： 、、． 【答案】 、 【分析】本题考查了一次式，根据一次式的概念求解即可． 【详解】解：在、、中，一次式有、、 【变式1-1】（24-25六年级上·上海宝山·期末）关于代数式，下列说法中正确的是（　　） A．它的一次项系数是 B．它的常数项是 C．它是一个一次式 D．它是一个一次项 【答案】C 【详解】本题考查了一次式的概念，熟练掌握一次式的项数和次数是关键．根据一次式的相关概念逐项分析判断即可． 【解答】解：， A、一次项系数是，不符合题意； B、常数项是，不符合题意； C、是一次式，符合题意； D、它是一次二项式，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数： 、、、、 【答案】答案见详解 【分析】本题主要考查一次式的知识，根据一次项，常数项，一次项系数的定义“只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数”即可求解． 【详解】解：的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为； 的一次项为，常数项为，一次项的系数为． 【变式1-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）如果是关于的一次式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查一次式的定义，熟练掌握一次式的相关定义是解题的关键．利用关于的一次式的次数为，得，且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一次式， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 【题型2 指出一次式的同类项】 【例2】（24-25六年级下·上海·假期作业）指出下列一次式的同类项 (1)； (2)． 【答案】(1)和是同类项； (2)与是同类项，与是同类项，与是同类项． 【分析】本题考查了同类项的定义. 直接根据同类项的定义判断即可. 【详解】（1）解：根据同类项的定义可知：和是同类项； （2）解：根据同类项的定义可知：与是同类项，与是同类项，与是同类项． 【变式2-1】下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【答案】D 【分析】本题考查一次式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与一次式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母x的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）一次式中是一次同类项是 . 【答案】和 【分析】此题考查了同类项的定义：含有相同的字母，且相同字母的指数也相同．据此求解即可． 【详解】解：一次式中是一次同类项是和． 故答案为：和． 【变式2-3】指出一次式中的同类项． 【答案】和是同类项，和是同类项，和5是同类项 【分析】本题考查了同类项．熟练掌握同类项． 根据同类项的定义判断同类项． 【详解】解：由题意知，中，和是同类项，和是同类项，和5是同类项. 【题型3 合并一次式的同类项】 【例3】化简_____________． 【答案】  【分析】 本题主要考查的是合并同类项的有关知识，直接利用合并同类项的法则进行合并同类项即可． 【详解】 解：原式 【变式3-1】下列式子中，合并同类项正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查合并同类项，解题的关键是掌握合并同类项法则． 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此解答即可． 【详解】 解：，故此选项不符合题意； B.与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； C.，故此选项符合题意； D.，故此选项不符合题意． 故选：． 【变式3-2】化简：________． 【答案】  【分析】 本题主要考查的是一次式的加减，利用合并同类项进行计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为． 【变式3-3】合并结果是(    ) A. 等于零 B. 小于零 C. 大于零 D. 无法确定 【答案】D  【分析】 本题考查合并同类项，分类讨论的思想方法． 先合并，再分情况讨论，即可得出结论． 【详解】 解： 当时， 当时， 当时， 则算式结果无法确定符号． 【题型4 一次式的去括号】 【例4】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）下列各式中，去括号正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，去括号时，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号，据此判断即可求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选： 【变式4-1】化简：          ． 【答案】  【分析】 此题主要考查了合并同类项，正确掌握去括号法则是解题关键． 先去小括号，再去中括号，进而合并同类项得出答案． 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】对于有理数、，定义，则化简后为________． 【答案】  【详解】解：因为， 所以 ， 故答案为． 【变式4-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）去括号后应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次式的加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据去括号，合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【题型5 一次式的加减】 【例5】（24-25六年级上·上海闵行·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．设这个一次式是，由题意得，求出表示的式子即可解答． 【详解】解：设这个一次式是， 由题意得，， ， 这个一次式是． 故答案为：． 【变式5-1】在横线上填入合适的一次式：（ ）． 【答案】 【分析】根据一次式的加减运算法则，即可求解， 本题考查了，一次式的加减，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-2】一次式M与的和是，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次式的加减运算，解答时合并同类项即可． 【详解】解： 故选：C 【变式5-3】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 【题型6 数与一次式相乘】 【例6】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴老师捂住的一次式是， 故答案为：． 【变式6-1】若一次式的值为3，那么一次式= ． 【答案】3 【分析】根据题意列出关系式，所求式子变形后将关系式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：，即， ． 故答案为：3. 【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想． 【变式6-2】一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对一道得3分，答错得2分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则用式子表示他的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式以及一次式的加减，根据答对题目的得分加答错的题的得分，列式可得结论． 【详解】解：由题意可得：他的成绩是：． 故选：B． 【变式6-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次式的项，项的系数，代数式求值，以及有理数的乘方运算，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简一次式，得到与的值，再根据题意列式计算求解，即可解题． 【详解】解： ， 一次式的一次项的系数为，常数项为， ，， 则与的差为， 故答案为：． 【题型7 一次式的化简求值】 【例7】当时，一次式的值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体思想．先合并同类项，得出，然后再将整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 故答案为：15． 【变式7-1】已知，，，则 【答案】0 【分析】根据去括号法则化简，再代入数字计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，，时， 原式 ， 故答案为0． 【点睛】本题考查一次式的加减求值，解题关键是去括号时注意符号的选取． 【变式7-2】当时，化简后求一次式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次式的加减的化简求值，先去括号，再合并同类项将一次式的加减，最后将x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式7-3】 （24-25六年级上·上海·期末）已知都是一次式，且．先化简，再求出当，时的值． 【答案】， 【分析】该题主要考查了一次式的化简求值，解题的关键是正确计算． 根据先化简，再代入，进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 当，时， ． 【题型8 一次式加减的应用】 【例8】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图是2024年10月份的月历，“阶梯”框型（阴影部分）在月历中移动，必须覆盖其中6个数：    (1)如果用表示6个数字中最小的数，用含的代数式按从小到大的顺序依次表示其余被覆盖的5个数； (2)试说明“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； (3)在此月历中，直接写出（1）中的最大值． 【答案】(1)，，，， (2)见解析 (3)14 【分析】本题考查列代数式，整数的混合运算，列代数式的应用，读懂题意是关键． （1）由日历可发现：第一行后面的数比前面的数多1，第二行第一个数比最小的数多8，第二个数比最小的数多9，第三行第一个数比最小的数多16，第二个数比最小的数多17，据此即可解答； （2）将6个数相加即可得出结论； （3）根据最大的数与最小的数相差17可得结论． 【详解】（1）解：由日历可发现：第一行后面的数比前面的数多1，第二行第一个数比最小的数多8，第二个数比最小的数多9，第三行第一个数比最小的数多16，第二个数比最小的数多17， 所以，其余被覆盖的5个数为：，，，， （2）解： 所以，“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； （3）解：因为，且这个月有31天， 所以，， 所以，最大的数是14． 【变式8-1】如图，用一根铁丝围成一个长方形，这个长方形的宽是，它的长是．如何用一次式表示这根铁丝的长度？ 【答案】 【分析】本题考查了一次式的加减的应用，先列出代数式，并进行化简即可． 【详解】根据题意，铁丝的长为，即， 根据乘法对加法的分配律与乘法结合律，得 ． 【变式8-2】乐乐平均每分钟用电脑输入x个文字，现有一篇文稿，乐乐先用5分钟输入了文稿的部分文字．又用3分钟完成文稿的剩余文字输入，乐乐一共用了8分钟完成整篇文稿的文字输入．如何用一次式表示这篇文稿的总字数？ 【答案】 【分析】考查了代数式，一次式的加减应用，利用总字数等于先后两次输入的字数和即可列出式子． 【详解】解：乐乐先用5分钟输入了个文字，再用3分钟输入了个文字，完成了剩余文字输入， 该文稿的总字数可以表示为； 即5． 48． 【变式8-3】甲、乙两车相距，同时出发，相向而行，甲车的速度是，乙车的速度是． (1)用一次式表示经过后两车的距离； (2)经过，两车距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握速度、路程和时间的关系． （1）根据甲车、乙车的速度和甲、乙两车间距离，列出代数式即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：经过后两车的距离为： ； （2）解：， 把代入得： ． 答：经过，两车距离是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$