精品解析：广西壮族自治区贵百河—南宁二中、武鸣高中2026届高三上学期8月摸底考试数学试题

2026届“贵百河—南宁二中、武鸣高中”8月高三摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知等差数列的前项和为，则的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，的零点依次为，，，则以下大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥母线与底面所成的角为 B. 圆锥的侧面积为 C. 挖去圆柱的体积为 D. 剩下几何体的表面积为 10. 若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 11. 已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线和直线的斜率的乘积为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为________． 13. 已知向量，满足，，且，则________． 14. 某盒子中有黑、白球各1个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则的数学期望为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程； （2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知向量，，设函数． （1）化简并写出的最小正周期； （2）在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 18. 已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 19. 已知是曲线上不同的三点．若点的横坐标成等比数列，且曲线在点处的切线的斜率小于直线的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”．已知． （1）讨论的极值点个数； （2）若，证明：是上的“等比左偏函数”； （3）当时，数列满足，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届“贵百河—南宁二中、武鸣高中”8月高三摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求得，再根据复数的模公式求解. 【详解】由题，， 所以. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交补运算求集合. 【详解】由或，则， 所以． 故选：B 3. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】将已知数据按从小到大的顺序排列，求，结合百分位数定义求结论即可. 【详解】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15， 又， 所以该组数据的30%分位数是． 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，则的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件，结合等差数列通项公式，建立关于和d的方程；利用已知条件，结合前n项和公式，建立方程；联立两个方程，解出公差d. 【详解】已知，由通项公式，当时： （方程①）， 已知，由前n项和公式，当时： ，化简得 （方程②）， 用方程①减去方程②：， 故选：D. 5. 若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两个对称中心的最短距离为半个周期求得周期，然后得到的值，然后求得的值. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，， 则， 故选：A. 6. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 7. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 8. 已知函数，，的零点依次为，，，则以下大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别作出函数，，，图像，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，令，，， 可得，，， 作出函数，，，图像， 结合图象，可得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥母线与底面所成的角为 B. 圆锥的侧面积为 C. 挖去圆柱的体积为 D. 剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后即可逐项求解. 【详解】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 10. 若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】由与关系可得出数列的通项公式，再对选项逐一判断即可. 【详解】当时，， 当时，由有， 所以， 所以数列时以为首项，2公比的等比数列，故C正确； ，故A正确； 由，故B错误； 因为，所以是等比数列，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知直线与双曲线的图象相切，双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，若是双曲线上一点，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 直线和直线的斜率的乘积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，由，求得，即可判断A；将代入双曲线方程，求得，即可判断B；由，即可判断C；由三角形的面积，可求得，即可判断D. 【详解】解：将代入， 整理得， ， 解得，故A正确； 将代入双曲线方程得：， 可得，即，故B正确； ，易得.，C故错误； 由题意可知双曲线的焦距为， 则， 又， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】对求导得，，切点为， 故切线方程为，即． 故答案为： 13. 已知向量，满足，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由两边平方，结合数量积的性质及条件可求，再由结合数量积性质求结论. 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以． 故答案为：. 14. 某盒子中有黑、白球各1个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量，则的数学期望为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设  为第一次操作后，直到首次得到另一种颜色所需的额外操作次数，则  服从成功概率  的几何分布，根据几何分布的期望公式结合期望的线性运算性质可得到的数学期望. 【详解】第一次操作必然得到一种颜色（黑或白，概率均为 )，此时已有一种颜色； 此后，每次操作以概率  得到另一种颜色（即首次成功集齐两种颜色），或以概率  得到相同颜色（状态不变）. 设  为第一次操作后，直到首次得到另一种颜色所需的额外操作次数. 则  服从成功概率  的几何分布，分布列为, 其期望为 , 记,则, 两式错位相减得, ∴, ∴, ∴ , 总操作次数，故期望为：, 因此， 的数学期望为 3. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来（）年的增长数据（万吨），如下表所示： 1 2 3 4 5 26 37 50 64 93 （1）经探究与之间具有相关关系，求关于的经验回归方程； （2）为了检验，两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在，两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表： 地区 用M设备 用设备 A 30 20 B 15 35 根据小概率值的独立性检验，能否认为增收情况与使用，两种不同设备有关? 参考公式：①，； ②（其中为样本容量）. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）认为增收情况与使用，两种不同设备有关 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出，，，，从而可求解； （2）设出零假设，再利用独立性检验即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，， ，， . ， 故经验回归方程为. 【小问2详解】 零假设为：增收情况与设备相互独立，即增收情况与使用不同设备无关联. 则. 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以认为增收情况与使用，两种不同设备有关. 16. 已知向量，，设函数． （1）化简并写出的最小正周期； （2）在中，角对的边分别为，若，，的面积为，是线段的中点，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的周期公式求最小正周期即可； （2）由求出，由三角形面积公式和余弦定理求出和，再根据是线段的中点可得，利用数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 由题意可得 ， 故最小正周期为． 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得， 由，得， 由余弦定理即，解得， 又因为是线段的中点，所以， 得， 故． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． （1）求证：平面平面； （2）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为四边形为菱形，所以 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）解法一：由二面角的性质可知即为二面角的平面角，利用垂直关系和等面积法求出的边长，进而求出的余弦值即可；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面， 因为平面，所以，， 又，平面平面，所以即为二面角的平面角， 当取得最小值时，有， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在菱形ABCD中，，， 所以，， 又因为，所以， 又因为在中，，解得, 则在中，， 所以二面角的余弦值为． 解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直， 又当取得最小值时，有， 以为原点，分别为轴建空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，，， 所以，为等边三角形，易得，， 则，，，，， 易知为平面的法向量， 又由（1）得平面，平面， 所以，又因为，，平面，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量， 又， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知曲线C上任一点到两个定点和的距离和为定值4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P． （ⅰ）证明：直线PM过定点Q； （ⅱ）对于（ⅰ）中的点Q，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）依题意可设直线l的方程为， 设，，． 联立得得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将代入直线方程，化简得定点；用坐标表示数量积，将代入化简求范围. 【小问1详解】 因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，，解得，， 故C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． 19. 已知是曲线上不同的三点．若点的横坐标成等比数列，且曲线在点处的切线的斜率小于直线的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”．已知． （1）讨论的极值点个数； （2）若，证明：是上的“等比左偏函数”； （3）当时，数列满足，，证明：． 【答案】（1）当时，极值点个数为； 当时，极值点个数为1； （2）证明：时，，设，， 不妨设，令 ∵，∴曲线在点处切线的斜率， 又， 要证是上的“等比左偏函数”， 只需证， 令，则，即证， 即证，令，即证． 令，则， ∴在上单调递减，∴，所以是上的“等比左偏函数”． （3）证明：当时，，， 令，，则， 仅当时，，∴在上单调递增， ∵，，∴， 从而，，…，故． 由（2）知时，，故， 又因为，所以， ∴， 即，从而，∴，． 即，． ∴当时， ， 又当时，，符合上式， ∴． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，然后对的取值进行分类讨论，得出导数的正负性，进而可以判断函数的单调性，进而确定极值点的个数； （2）根据新定义，设出点的坐标，然后分别求出曲线在点处的切线斜率和直线的斜率，作差后换元令，令，构造函数，求导判断其单调性，得其最值，进而可证明是上的“等比左偏函数”； （3）根据已知条件得到的递推关系，构造函数，利用导数判断单调性，结合的值证明，再对放缩，得出.再通过变形得到的不等式，进而求出的取值范围，最后分和两种情况，对求和并于比较，证明不等式成立. 【小问1详解】 由，，， ①当时，，在上单调递减， 函数没有极小值点，也没有极大值点，函数的极值点个数为0； ②当时，令，可得，令，可得， 故在上单调递增，上单调递减． ∴在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为1． 综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $