15.4三元一次方程组的解法同步课件2024-2025学年人教版（五四制）数学七年级下册

15.4三元一次方程组的解法 1、什么叫二元一次方程组? 有代入消元法和加减消元法. 2、解二元一次方程组的方法有哪些? ① 方程组中含有两个未知数 ②含有未知数的式子都是整式 ③含有未知数的项的次数都是 1 ④一共有两个方程 复习回顾 已知小明、小天、小红三个同学年龄之和为 26 岁，小明年龄的 2 倍与小天的年龄之和比小红大 18 岁，小明比小红大 1 岁，求三个同学的年龄. 情境导入 问题1：你能找出哪些等量关系？ 用方程表示等量关系. 等量关系： (1)小明的年龄 + 小天的年龄 + 小红的年龄 = 26 (2)小明的年龄 = 小红的年龄 + 1 (3) 2×小明的年龄+小天的年龄=小红的年龄+18 x + y + z = 26 ① x = z + 1 ② 2x + y = z + 18 ③ 问题 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛.积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场? 探索新知 思考 （1）题目中有几个未知量? （2）题目中有哪些等量关系? （3）如何用方程表示这些等量关系? 设这支球队胜、平、负的场数分别为x，y，z. x + y + z = 22 3x + y = 47 x = 4z + 2 等量关系: ①胜的场数+平的场数+负的场数=22； ②胜场积分+平场积分+负场积分=47； ③胜的场数=负的场数×4+2. x + y + z = 22 3x + y = 47 x = 4z + 2 观察列出的三个方程，你有什么发现? 二元一次方程 未知数的项的次数都是 1 未知数的项的次数都是 1 含两个未知数 含三个未知数 三元一次方程 都是整式 都是整式 这个问题的解必须同时满足上面的三个条件，因此，把这三个方程合在一起，写成方程组 x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . 一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组. 方程组中一共含有三个未知数. 含有未知数的式子都是整式. 含有未知数的项的次数都是1. (不一定每个方程都含有三个未知数) x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . 2.三元一次方程组中，各方程的公共解叫做这个三元一次方程组的解. 1.三元一次方程组必须满足的三个条件： 下面方程组为三元一次方程组的是（ ） C 怎么解三元一次方程组呢? x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . ① ② ③ 类比二元一次方程组，能不能像以前一样“消元”，把“三元”化为“二元”呢? 把③分别代入①②，得到关于y、z的二元一次方程组. y+5z=20， y+12z=41. 解这个方程组，得 y=5， z=3， 把z=3代入③，得x=14. 因此，这个三元一次方程组的解为 还有其他解法吗? 解: x + y + z = 22， 3x + y = 47， x = 4z + 2 . ① ② ③ ②-①，得 2x-z = 25. ④ ③与④组成方程组 2x-z=25， x=4z+2. 解这个方程组，得 x=14， z=3， 把x=14代入②，得 y=5. 因此，这个三元一次方程组的解为 y=5， z=3. x=14， 解: 解三元一次方程组的基本思路是什么？ 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 消元的方法 代入消元法 加减消元法 解三元一次方程组 3x + 4z = 7， 2x + 3y + z = 9， 5x - 9y + 7z= 8. ① ② ③ 解:②×3+③，得 11x + 10z = 35. ④ ①与④组成方程组 3x+4z=7， 11x+10z=35. 解这个方程组，得 x=5， z=-2. 把x=5，z=-2代入②，得 2×5+3y-2=9， 因此，这个三元一次方程组的解为 z=-2. x=5， 还有其他解法吗? + 3y - 9y y= 解：把②代人①，得 z + 1 + y + z = 26 ④. 把②代人③，得 2(z + 1) + y = z + 18 ⑤. 解得 y = 7， z = 9， z + 1 + y + z = 26 ④， 2(z + 1) + y = z + 18 ⑤， ④和⑤组成二元一次方程组 将 y = 7，z = 9 代入①中，得 x = 10. 因此原方程组解为 y = 7， z = 9. x = 10， x + y + z = 26 ① x = z + 1 ② 2x + y = z + 18 ③ 解三元一次方程组 解三元一次方程组的一般步骤： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x=-1时，y = 0； 当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c 的值. 分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组. 解：根据题意，列得三元一次方程组 a - b + c = 0 ① 4a + 2b + c = 3 25a + 5b + c = 60 ② ③ a = 3 c = -5 b = -2 解得 因此 a，b，c 的值分别为 3，-2，-5. 若| a -b -1| + (b - 2a + c)2 + |2c - b| = 0， 求 a，b，c 的值. 解：因为三个非负式的和等于0，所以每个非负式的值均为 0. 可得方程组 a - b - 1 = 0 b - 2a + c = 0 2c - b = 0 解得 a = -3 b = -4 c = -2 随堂练习 C 随堂练习 随堂练习 随堂练习 随堂练习 课堂小结 三元一次方程组 概念 含未知数的项的次数都是 1 方程组中一共含有 3 个未知数 解法 化“三元”为“二元” 含有三个整式方程 消元 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 $$