10.4 三元一次方程组的解法（第2课时）（教案+课件+学案）-2024-2025学年人教版（2024版）七年级下册数学

《10.4 三元一次方程组的解法（第2课时）》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节内容是探究实际问题与三元一次方程组，通过学生在实际问题中进行分析，从而提高将实际问题转化为数学模型的能力；在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。 学习者分析 学性已掌握了三元一次方程组的解法，能够利用二元一次方程组解决实际问题。然而，对于三元一次方程组的认识和解题能力尚需进一步加强。 教学目标 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。 教学重点 分析实际问题中的相等关系，利用三元一方程组解决实际问题。 教学难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．如果方程组含有______未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有______方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“_______”转化为“_______”，使解三元一次方程组转化为解_________________ ，进而再转化为解一元一次方程． 答案：1．三个，1，三个 2．代入，加减，三元，二元，二元一次方程组 导入：在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过解方程组获得问题的答案． 学生活动2： 学生积极主动回答问题 活动意图说明： 通过复习三元一次方程组的相关知识，为探究列方程组解决实际问题做好知识上的铺垫 环节三：新知讲解 教师活动3： 例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 ②－①，得 a＋b＝1； ④ ③－①，得 4a＋b＝10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把代入①，得 c＝－5． 因此 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5． 例2： 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组． 解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z． 根据题意，列得三元一次方程组 解这个方程组，得 因此这个三位数是473． 归纳：利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 学生活动3： 学生认真读题、理解题意后小组合作探究，班内交流汇报 活动意图说明： 通过对例题的探究，让学生体会三元一次方程组解决实际问题的基本思路、数学建模思想，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤，提高学生的应用能力。 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：10.4 三元一次方程组的解法（第2课时） 一、利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路 二、列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在等式中，当𝑥=0时𝑦=1 ，当时𝑦=0；当时，则的值为 ． 答案： 2．李红在做这样一个题目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝21；当x＝－1时，y＝0；当x＝－2时，y等于多少？她想：在求y值之前应先求a，b，c的值．你认为她的想法正确吗？请你帮她求出a，b，c的值． 解：她的想法正确． 根据题意，得 解得 即a，b，c的值分别为4，3，－1． 3．有一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和．如果把个位上的数字与百位上的数字交换，那么新数比原来的数大99；如果把个位上的数字移至百位上的数字之前，那么新三位数比原数大63．求原三位数． 解：设原三位数的百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z． 根据题意，得 解这个方程组，得 所以原三位数为374． 选做题： 4．在整式ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值． 解：因为在ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28， 所以 解这个方程组，得 即a，b，c的值分别为11，－30，19． 【综合拓展类练习】 5．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 答案： 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值． 解：由题意，得 解这个方程组，得 所以a2＋2ab＋c2＝32＋2×3×(－2)＋(－5)2＝9－12＋25＝22． 2．仔细观察图，认真阅读对话： 根据以上对话内容，可知小明买的5元邮票有（　　）． A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚 答案：B 3．某学校的篮球的数量比排球的2倍少3，足球与排球的数量之比是2∶3，这三种球共41个，则三种球各有多少个？ 解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个． 根据题意，得 把①代入③，得3y＋z＝44， 所以z＝44－3y．④ 把④代入②，得y＝12． 把y＝12分别代入①④，得x＝21，z＝8． 所以这个方程组的解为 答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个． 选做题： 4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值． 解：因为|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，且|x＋2y－5|≥0，(2y＋3z－13)2≥0，(3z＋x－10)2≥0， 所以 解这个方程组，得 即x，y，z的值为1，2，3． 【综合拓展类作业】 5．聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来 解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则 ， 得， 购A，B，C三样商品各一件共150元． 教学反思 本课教学采用启发式教学，强调学生的独思考、探索与合作探究，以提高学生的分析与解决问题的能力，并进一步体会了数学建模的思想。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同步探究学案 课题 10.4 三元一次方程组的解法（第2课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级 学习 目标 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。 重点 分析实际问题中的相等关系，利用三元一方程组解决实际问题。 难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。 探究过程 导入新课 【引入思考】 1．如果方程组含有______未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有______方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“_______”转化为“_______”，使解三元一次方程组转化为解_________________ ，进而再转化为解一元一次方程． 新知探究 本节课来研究： 本节我们借助三元一次方程组，解决含有三个未知数的问题。 例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 例2： 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 归纳：利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 课堂练习 【知识技能类练习】 1．在等式中，当𝑥=0时𝑦=1 ，当时𝑦=0；当时，则的值为 ． 2．李红在做这样一个题目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝21；当x＝－1时，y＝0；当x＝－2时，y等于多少？她想：在求y值之前应先求a，b，c的值．你认为她的想法正确吗？请你帮她求出a，b，c的值． 3．有一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和．如果把个位上的数字与百位上的数字交换，那么新数比原来的数大99；如果把个位上的数字移至百位上的数字之前，那么新三位数比原数大63．求原三位数． 选做题： 4．在整式ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值． 【综合拓展类练习】 5．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值． 2．仔细观察图，认真阅读对话： 根据以上对话内容，可知小明买的5元邮票有（　　）． A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚 3．某学校的篮球的数量比排球的2倍少3，足球与排球的数量之比是2∶3，这三种球共41个，则三种球各有多少个？ 选做题： 4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值． 【综合拓展类作业】 5．聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来 学科网（北京）股份有限公司 $$第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 （第2课时） 经历运用三元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。 01 学习目标 1．如果方程组含有______未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是____，一共有______方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“_______”转化为“_______”，使解三元一次方程组转化为解_________________ ，进而再转化为解一元一次方程． 三个 三个 1 三元 二元 代入 加减 二元一次方程组 02 新知导入 在解决一些含有三个未知数的问题时，可以考虑列三元一次方程组，通过解方程组获得问题的答案． 02 新知导入 4 例1：在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值． 分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组． 　　解：根据题意，得三元一次方程组 03 新知讲解 5 ②－①，得 a＋b＝1； ④ ③－①，得 4a＋b＝10． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 解这个方程组，得 把代入①，得 c＝－5． 因此 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5． 03 新知讲解 6 例2： 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组． 各数位上的数的和为14 百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99 03 新知讲解 解：设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z． 根据题意，列得三元一次方程组 解这个方程组，得 因此这个三位数是473． 03 新知讲解 数学问题 (三元一次方程组) 实际问题 设未知数 列方程组 解方程组 代入法 加减法 数学问题的解 (三元一次方程组的解) 实际问题的答案 检验 利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路。 （消元） 03 新知讲解 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 03 新知讲解 【知识技能类练习】必做题： 1．在等式中，当𝑥=0时𝑦=1 ，当时𝑦=0；当时，则的值为 ． 04 课堂练习 【知识技能类练习】必做题： 2．李红在做这样一个题目：在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝21；当x＝－1时，y＝0；当x＝－2时，y等于多少？她想：在求y值之前应先求a，b，c的值．你认为她的想法正确吗？请你帮她求出a，b，c的值． 解：她的想法正确．根据题意，得 解得 即a，b，c的值分别为4，3，－1． 04 课堂练习 【知识技能类练习】必做题： 3．有一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和．如果把个位上的数字与百位上的数字交换，那么新数比原来的数大99；如果把个位上的数字移至百位上的数字之前，那么新三位数比原数大63．求原三位数． 解：设原三位数的百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z．根据题意，得 解这个方程组，得所以原三位数为374． 04 课堂练习 【知识技能类练习】选做题： 4．在整式ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28．求a，b，c的值． 解：因为在ax2＋bx＋c中，当x＝1，2，3时，整式的值依次是0，3，28，所以 解这个方程组，得 即a，b，c的值分别为11，－30，19． 04 课堂练习 【综合拓展类练习】 5．幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 ． 04 课堂练习 三元一次方程组 列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤 利用三元一次方程组解决实际问题的基本思路 05 课堂小结 【知识技能类作业】必做题： 1．对于等式y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝－5．求a2＋2ab＋c2的值． 解：由题意，得 解这个方程组，得 所以a2＋2ab＋c2＝32＋2×3×(－2)＋(－5)2＝9－12＋25＝22． 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2．仔细观察图，认真阅读对话： 根据以上对话内容，可知小明买的5元邮票有（　　）． A．1枚 B．3枚 C．5枚 D．7枚 B 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 3．某学校的篮球的数量比排球的2倍少3，足球与排球的数量之比是2∶3，这三种球共41个，则三种球各有多少个？ 解：设篮球有x个，排球有y个，足球有z个．根据题意，得 把①代入③，得3y＋z＝44，所以z＝44－3y．④ 把④代入②，得y＝12．把y＝12分别代入①④，得x＝21，z＝8． 所以这个方程组的解为 答：篮球有21个，排球有12个，足球有8个． 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4．若|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0，试求x，y，z的值． 解：因为|x＋2y－5|＋(2y＋3z－13)2＋(3z＋x－10)2＝0， 且|x＋2y－5|≥0，(2y＋3z－13)2≥0，(3z＋x－10)2≥0， 所以 解这个方程组，得 即x，y，z的值为1，2，3． 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5．聪聪是数学爱好者，多次参加“希望之星竞赛”活动．有一天聪聪和妈妈去商场购物，购A，B，C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元，而另一位阿姨购A，B，C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元，聪聪想了想，说：“我能算出购A，B，C三样商品各1件共多少钱．”请你用所学的知识算一算，相信你一定能算出来 解：设A，B，C三样商品的单价分别是x，y，z元，则 ， 得， 购A，B，C三样商品各一件共150元． 06 作业布置 $$