黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高二开学考试数学试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求.) 1,已知复数：=-2)，则：在复平面内所对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C所对的边，若B=60°，b=5,c=√互，则C=() A.45° B.135 C.45°或135° D.120° 3.已知平面向量ā=(cos0,2),b=(-2,4),若ā川(a-b),则sin0=() A.-1 月 C.0 D.1 4.已知x>0,y>0,x+y=1,则（) B.+524 D.+23 x y x y 5.已知1，m,n为三条不同直线，a,阝，Y为三个不同平面，则下列判断正确的是（) A.若l⊥m,m⊥n,则n/ B.若a⊥B,y⊥B,则y11a C.若m⊥a,a⊥B,则m1/p D.若m⊥a,m/川p,则a⊥B 6.已知一组数x,,,x的平均数是x=4,方差2=2，则数据2x+3,2x2+3,2x+3, 2x+3的平均数和方差分别为（) A.11,4 B.8,8 C.11,8 D.4,2 7.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)x-2是R上的偶函数，且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间 [L,3]上单调递减，则实数a的取值范围是() A.（-0,4) B.(-0,4] C.[6,+o) D.(-,4]U[6,+w） 8.如图，元件4(i=12,3.4)通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在 M,N之间通过的概率是 A M A A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.9891 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列四个命题中，假命题有() A对立事件一定是互斥事件 B.若A,B为两个享件，则P(AUB)=P(A)+P(B) C.若事件A,B,C彼此互斥，则P(A)+PB)+P(C)=1D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 10.函数f(x)=cos2 xcosp-sin2 xsin p 0<<)的图象的一个对中心为（0小，则下列说法正 确的是() A直线x= 江是函数了)的图象的一条对称轴 12 B.函数fx)在 上单调递减， C.函数fx)的图象向右平移石个单位可得到y=cos2x的图象 D函表代)在0，写上的最大值为1 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D的长为1，则下列结论正确的是() A.平面ACD,被正方体内切球所截，则载面面积为 12 B.四校锥A,-ABCD与四棱锥B,-ABCD公共部分的体积为 4 C者点P在线段BC上运动，则∠BPD≥号 D.以D为球心，25为半径作球，则球面与正方体的表面的交线长为 π 6 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12.e3+log23×1og,4-(π-3)°-(5°= 1B.已知函数/)=Aco+p4>0>0网←的部分图像如图所示， 则 14.我国南宋着名数学家素九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题， 其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为 实；一为从隔，开平方得积.”现设△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，S为面积若把以上 这段文字写成公式，即S a- 若a=3,且bcsC-ccoB=2g,则△MBC面 积的最大值为 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分） 15.(满分13分)已知ā，b,c是同一平面内的三个向量，ā=(2,1). (1)若=2W5,且c∥a,求c的坐标： 2诺问=5，且ā+25与2a-6垂直，求后与6的夹角0. 16.(满分15分)设△4BC是锐角三角形，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 sin2A+sin2C-sin2B=2 sin Asin C (1)求角B: (2)若c=3V6,b=6,点D在BC的延长线上，且CD=10,,求cos∠CAD. 频泽 组距 17.(满分15分)学期期末，某大学有200名学生参加体育成绩 0.030 0.025 测评，将他们的分数（单位：分）按照 0.015 0.010 [50,60[60,7070,8080,9090,100]分成五组，绘制成如图所示的 5060708090100 分数 频率分布直方图 (1)求a的值及这组数据的第60百分位数： (2)按分层随机抽样的方法从分数在[50,60)和[90,100]内的学生中抽取6人，再从这6人中任 选2人，求这2人成绩之差的绝对值大于10的概率. 18. (满分17分)已知平面四边形ABCD,AB=AD=2,∠BAD=60°，∠BCD=30°，现将 △ABD沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD,此时 AD⊥CD,P为线段AD的中点. (I)求证：BP⊥平面ACD: (2)若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值； (3)在(2)的条件下，求二面角P-BM-D的平面角的余弦值. 19。(满分17分)某数学兴趣小组探家三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形的 三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧），沿者三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一 点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点），如图，已知锐角△ABC中，BC=4,其 外接圆0的半径为 万，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点H, (I)求sin ZHCA: (2)若点T为劣弧BHC上一动点，求TB.TC的最小值： (3)若BO.AC=-10,求HA+HB+HC的值. 答案 一、单选题 1.已知复数：=-2少，则：在复平面内所对应的点位于（) A.第一象限 B。第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【分析】利用复数的除法法则进行运算，再利用复数的几何意义进行判断即可 【详搬】：--2少.-i+4.3i.仔-4.-效+f.4-, i i i- 则：在复平面内所对应的点为(-4，-3)，位于第三象限 故选：C 2.已蜘a,bc分别为A4BC三个内角4B,C所对的边，若B=60,b=√5，c=√反，则C=() A.45° B.135 C.45°或135 D.120° 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得C=5,结合三角形边角关系即可求出角c. 【详解】由正弦定理，。 “ac,可得nC.csn8,5x 2 2 因c<b,则c<B=60,故C=45 故选：A 3.已知平面向里a=(cos6,2),i=(-2,4),若a(a-),则n8=（) A.-1 c.0 D.1 【答案】C 【分析】根据ā（ā-），套入平面向里平行坐标公式即可求解 【详解】ā=(cos82),6=(-2,4) .a-i=(cos6+2,-2) a(a-) .-2cos6=2cos日+4解得c0s8=-1 .sin=v1-cos=0. 故选：C 4.已知x>0,y>0,x+y=1,则() 1+x≤4 B. 1+x≥4 1+x≤3 D. 1+x≥3 x y C.y x y 【答案】D 【分析】利用“1的代换及均值不等式计算可求解。 【详解】因为x>0,y>0,x+y=1, 当且仅当=，即x=y=时取等号. x y 故选：D 5.已知/，m，”为三条不月直线，a，B,y为三个不月平面，贝则下列判断正确的是() A.若1⊥m,m⊥n,则n/1 B.若a⊥B,y⊥B,则y11a C.若m⊥x,a⊥B,则m/1B D.若m⊥a,m/1B,a⊥B 【答案】D 【分析】利用直线与平面的相关判定与性质定理可逐一排除A,B,C项，对于D,应作出图形，利用线面平行的 性质定理和线面垂直的性质，以及面面垂直的判定定理即可证明 【详解】对于A,若1Lm,m⊥n,则n/1、相交或异面，故A错误； 对于B,若a⊥B,y⊥B,则yIIa或相交；故B错误； 对于C,若m⊥a,a⊥B,则m/B或mcB,故C错误； 对于D,如图，因m/1B,经过直线m和平面B内一点A可作平面y, 设y⌒B=a,则m11a,因m⊥a,故a⊥a,又因acB,故a⊥B,即D正确 故选：D 6.已知一组数x，x，x,x的平均数是x=4,方差2=2，数据2x+3,2x+3,2x+3,2x+3的平均数 和方差分别为() A.11,4 B.8,8 C.11,8 D.4,2 【答案】C 【解析】根据题意，数x，太，x,x的平均数是x=4,方差=2， 则2x+3,2x+3,2x+3,2x+3的平均数为2×4+3=11， 方差为22×2=8.故选C 7.已知函数f(x)=(m-5m+5)x是R上的偶函数，且嫩g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[13]上单调递减， 贝实数a的取值范围是() 1（-04)】 B.(-o,4C.[6+∞）D.(-o,4小[6，+o) 【答案】C 【解析】本题考查利用函数的单调性解决参数问题，简单的幂☑函数的图象与性质，幂函数的概念，属于中档题 根据幂函数的定义与奇偶性求出m的值，可得出函数()的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，从而得解 【解答】 解：因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)x是R上的偶函数， 则m3-5m+5=1,解得m=1或m=4, 当m=1时，f(x)=x,该涵数是定义域为{x忄≠0}的奇函数，不合乎题意， 当m=4时，)=x2，该涵数是定义域为R的偶函数，合乎题意， 所以f)=x2,则g(x)=x2-(2a-6)x，其对称轴方程为x=a-3, 因为g{x)在区间[13]上单调递减， 则a-3≥3，解得a≥6.故选：C. 8.如图，元件A(i=1,2,3,4)通过电流的搬率均为0.9，且各元件提否通过电流相互独立，则电流能在M,N之 间通过的版率是 M A A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.9891 【答案】B 【详解】试题分析：电流能通过4，A的概率为0.9×0.9=0.81，电流能通过4，的概率为0.9，故电流不能通过4,4 也不能通过4的率为1-0.81)(1-0.9)=0.019，所以电流能通过系统A,4,A的概率为1-0.019=0.981，而电流 能通过4的概率为0.9，所似电流能在M,N之间通过的概率为1-0.019)×0.9=0.8829，故选B. 考点：相互独立事件的概率乘法公式， 【方法点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式.所求事件的概率与它的对立事件之间概率的关系，体 现了转化的数学思想，属于基础题.求出电流不能通过A,A,也不能通过4，的解率，用1减去此概率即得到电流能通 过系统A,A,A的概率，再根据电流能通过A的概率，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求得电流在M,N之 间通过的概率。 二、多选题 9.下列四个命题中，假命题有( A对立事件一定是互斥事件 B.若AB为两个事件，侧P(AUB)=P(A+PB) C.若事件A,B,C彼互斥，则P(A+PB+P(C=1 D.若事件A,B足P(A+PBF1贝AB是对拉事件 【答案】BCD 【解析】易知A是真命题 对于B,当A与B为互斥事件时，有P(AUB-P(AHP(B),当A与B为任意两个事件时有PAUB-PArP(B)P(AB),B 是假命题 对于C,不妨令事件AB,C分别表示拼一次骰子试验中的事件“掷出1点掷出2点“掷出3点则事件AB,C彼此互 斥，但P(AUBUC)C是假命题 对于D,例如袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，从袋中任摸一个球设事件A=摸到红球或黄球”事件B=“摸 到黄球或黑球 则PAPB)=P(APB)-1,但事件A与B不对立拉D是假命题 故选BCD. 10.函数fx)=cos2 xcos-sim2 x sin o0<p< 的图豫的一个对称中心为 名0小，列法正是) A直线x= 段是锁了心)的图象的条对称神 上单调递减 C.函数八x)的图像向右平移个单位可得到y=cos2x的图酸 1 D曦在， 上的竭大值为1 解折：由f(e)=cos2 r cos-sin2 rsinp=cos(2x+),由（石，0）是函数图象的-个对称中心， 即2x吾+p=受+km,k∈Z,0<o<受，所以p=吾，所以f)=cos(2红+)， 对于A选项：令红+吾=，k∈名，解得：=一音+经，k∈么，当k=1时，工= 6 12 ，即直线：=钙是函数的一条对称轴，故4选项正确， 对于B选项：令2km≤2红+音≤+2km,k∈乙，解得-亚+k标≤x≤ n 12 +kx,k∈Z, 即函数的单调递减区间为-音+饭，晋+标人k€么，当k=0时，函数在音·登单润递减， 所以函数在(-音一吾)止单调递增，B选项错误；对于C选项：函数f()的图象向右平移亚个单 位可得y=cos2(z-及)+吾]=os2z,C选项正确； 对于D选项：当z∈0,1时，2红+吾∈唔，石1，所以函数f)=cos(2x+)∈【-1， 号1。即最大值为受，D选项错误：故选：4C 11.已知正方体ABCD-AB,C,D,的棱张为1，则下列结论正的是() A平面4CD,被正方体内切球所截，则截面面积为7 B.四棱锥A一ABCD与四陵锥8-ABCD公共部分的体积为 24 C若点p在搬BC上动，则∠BPD,号， D以D为球心， 25为径作球，则球缅与正方的表面的交线张长为 6 解析：对于A:分别取侧面CDD1C、侧面ADD1A1和底面ABCD的中心E,G,F, 则E,G,F为平面ACD1与正方体内切球的交点， D 可知平面ACD1被正方体内切球所战得的圆为△EFG的外接圆， 且GE= AC= 1 2 可知△EFG是以边长为 的等边三角形， 2 2 1 其外按圆半径r= 2 2sin60=V6' 截面面积 为后)=G,故A错误： 对于B:取AD,BC的中点M,N,设 ACnBD=O,A1BnABI=01, D 四棱锥A1一ABCD与四棱锥B1-ABCD公 共部分为三棱柱OMN一O1AB和四棱锥 O-CDMN的组合体， 11,1115 所以其体积为4×2+3×2×豆=24 故B正确； 对于C:设B1CnBG=K,KP=aeO,号1则BP=V2+DP=+是 D1B=V3,由余弦定理可得cos∠BPD1=BP2+D1P2-D1B= 2a2-1 2BP·D1P 2a2+·a2+是 因为a∈0,2,2a2-1≤0，在三角形中可得ZBPD≥，故C正确 对于D:因为球的半径R=2Y3, ,则D,r=Ve-DD=,aanD,Dr=品= DD 3,可知 ∠DDT= 6, 结合图形可知：球面与正方体的表而的交线由3段半径为 ,图心角为石和3段半径为y3 2v3 不 6 ，圆 心角为。的圆弧组成，所以其长度为3× 3x6+3× 3 G元，故D正确故选：BCD 2= 三、填空题 12.e3+1og:3x1og,4-(x-3°-(5)°=_ 【答案】-5 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】。+1og3x0g,4---(=3+g×242-1-3.-5 1g21g3 l3.已知函数f()=4co以rx+叭4>0，o>0,k的部分图如图所际，则/ 11π 12 5 【答案】4 【分析】由五点法求函数解析式再计算函数值 5 +9= 元 0=2 【详解】由函数过点货0和晋0 由五点作图法可知 11元 ，解得 3π = 12 +p= 又函数f)的图象过点Q2,则4o写-2，解得4=4： 所以/网=4o2x-引则/6-4cos2x号引-4. 故答案为：4. 14.我国南宋著名教学家秦九留在《数书九章》中出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是： “以小斜幂并大斜幂中斜幂，余半之，自秉于上.以小斜幂大斜幂城上，余四约之，为实；一为从隔，开平方 得积.”现设△4BC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，S为面职。若把以上这段文字写成公式，即 s- c+a-b c 2 若a=3,且bcosC-ccosB-2 ，风则△8C面和的最大值为