学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（青岛版2024，第1章～第3章3.2）

第 1 页 第 2 页 第 3 页 2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15．______________ 16．______________ 三、解答题（本题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8 分） （1） （2） 18．（8 分） 19．（10 分） 20．（10 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12 分） （1） （2） （3） 23．（14 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版2024第1章~第3章3.2。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 2．根据下列条件作出的三角形不唯一是（     ） A．AB=6，∠A=60°，∠C=40° B．AB=5，BC=4，CA=6 C．AB=5，AC=4，∠C=40° D．∠A=50°，AB=8，AC=6 3．命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．当时分式有意义 C．分式的值为0，则的值为 D．无论为何值，总有意义 5．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（   ） A．①②⑤⇒④ B．①②④⇒③ C．①③⑤⇒② D．②③⑤⇒① 6．若分式 的值为0，则x的值为（      ） A． B．0 C．1 D． 7．如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 8．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（    ） A． B． C． D．且 9．某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（   ）    A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 10．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 12．在下列各式中：、、、、，分式有 个． 13．若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 对全等三角形． 15．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 16．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 计算： (1)； (2)． 18．（8分） 如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 19．（10分） 用圆规和直尺作图，不写作法，但要保持作图痕迹．已知，点在上，求作点在内部，且，． 20．（10分） 在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 21．（10分） 如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 22．（12分） 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 23．（14分） 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D D C A C B C B 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．② 12．2 13．10 14．3 15． 16．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 【解析】（1）解：原式 ；（4分） （2）解：原式 ．（8分） 18．（8分） 【解析】证明：， ．（2分） 在和中， （4分） ，（6分） ，（7分） ．（8分） 19．（10分） 【解析】（10分） 20．（10分） 【解析】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ，（2分） ， ；（5分） 选择小颖的作图进行证明： ， ，（2分） ， ；（5分） 选择小红的作图进行证明： ， ，（2分） ， ；（5分） （2）证明： ，（7分） ，（9分） 即．（10分） 21．（10分） 【解析】（1）证明：∵ ∴ ∴（2分） 在和中 （4分） ∴（5分） （2）∵ ∴（7分） 在和中 ∴（9分） ∴ ∴（10分） 22．（12分） 【解析】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式；（2分） （2）；（6分） （3），（9分） 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，，（10分） 的可能整数值为．（12分） 23．（14分） 【解析】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，（2分）理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，（3分） ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，（5分） 在中，， ∴， ∴， ∴；（7分） （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：，（10分） ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：，（13分） 综上所述：当时，；当时，．（14分） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 6 小题，每小题3分，共1 8 分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 1 ． ______________ 1 2 ． ______________ 1 3 ． ______________ 1 4 ． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17 ．（8分） （1） ) ( （2） 18．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（10分） 20．（10分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （10分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（12分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 23．（1 4 分） （1） （2） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版2024第1章~第3章3.2。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 2．根据下列条件作出的三角形不唯一是（     ） A．AB=6，∠A=60°，∠C=40° B．AB=5，BC=4，CA=6 C．AB=5，AC=4，∠C=40° D．∠A=50°，AB=8，AC=6 3．命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．当时分式有意义 C．分式的值为0，则的值为 D．无论为何值，总有意义 5．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（   ） A．①②⑤⇒④ B．①②④⇒③ C．①③⑤⇒② D．②③⑤⇒① 6．若分式 的值为0，则x的值为（      ） A． B．0 C．1 D． 7．如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 8．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（    ） A． B． C． D．且 9．某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（   ）    A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 10．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 12．在下列各式中：、、、、，分式有 个． 13．若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 对全等三角形． 15．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 16．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 计算： (1)； (2)． 18．（8分） 如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 19．（10分） 用圆规和直尺作图，不写作法，但要保持作图痕迹．已知，点在上，求作点在内部，且，． 20．（10分） 在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 21．（10分） 如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 22．（12分） 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 23．（14分） 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版2024第1章~第3章3.2。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【详解】解：A．，正确； B．，正确；     C．，故不正确； D．，正确； 故选C． 2．根据下列条件作出的三角形不唯一是（     ） A．AB=6，∠A=60°，∠C=40° B．AB=5，BC=4，CA=6 C．AB=5，AC=4，∠C=40° D．∠A=50°，AB=8，AC=6 2．【答案】C 【详解】试题解析：C.∠C并不是AB，AC的夹角，所以可画出多个三角形，故此选项错误； 故选C. 3．命题“若，则”的逆命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．【答案】D 【详解】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 4．下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．当时分式有意义 C．分式的值为0，则的值为 D．无论为何值，总有意义 4．【答案】D 【详解】解：A、不符合分式的定义，代数式不是分式，故该选项不符合题意； B、要分式有意义，则，即，故该选项不符合题意； C、要使分式的值为0，则且，即，故该选项不符合题意； D、因为无论为何值，始终不等于0，所以无论为何值，总有意义，故该选项符合题意； 故选：D． 5．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（   ） A．①②⑤⇒④ B．①②④⇒③ C．①③⑤⇒② D．②③⑤⇒① 5．【答案】C 【详解】解：A、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，所以无法证明，不符合题意； B、由，，可知，，又，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； C、由，，，可知，所以，可得，即，符合题意； D、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； 故选：C． 6．若分式 的值为0，则x的值为（      ） A． B．0 C．1 D． 6．【答案】A 【详解】由题意得：|x|−1＝0，x2−3x+2≠0，解得，x＝-1， 故选：A． 7．如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A．平分 B． C． D． 7．【答案】C 【详解】解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 8．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应该假设（    ） A． B． C． D．且 8．【答案】B 【详解】解：用反证法证明命题“已知在中，若，则， ∴首先应该假设． 故选：B． 9．某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（   ）    A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 9．【答案】C 【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法： 第二块仅保留了原三角形的一部分边，不符合任何判断方法； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：C． 10．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 10．【答案】B 【详解】解：由基本作图方法可得：， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有 （填序号）． 11．【答案】② 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 12．在下列各式中：、、、、，分式有 个． 12．【答案】2 【详解】解：下列各式中：、、、、，是分式的有、，共2个． 故答案为：2． 13．若分式的值为5，当，都扩大为原来的2倍时，所得分式的值为 ． 13．【答案】10 【详解】解：∵， ∴当，都扩大为原来的2倍时：； 故答案为：10 14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 对全等三角形． 14．【答案】3 【详解】试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F， ∴PE=PF，∠1=∠2， 在△AOP与△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP， ∴AP=BP， 在△EOP与△FOP中， ， ∴△EOP≌△FOP， 在Rt△AEP与Rt△BFP中， ， ∴Rt△AEP≌Rt△BFP， ∴图中有3对全等三角形， 故答案为3． 15．如图，已知点在上，点在上，，且，若，则 ． 15．【答案】 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ． 16．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【详解】解：由题意得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分） 计算： (1)； (2)． 17．（8分） 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分） 如图，在中，为边上一点，连接并延长到点，使，过点作，交于点，交于点，求证：． 18．（8分） 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 19．（10分） 用圆规和直尺作图，不写作法，但要保持作图痕迹．已知，点在上，求作点在内部，且，． 19．（10分） 【详解】解：如图所示，点即为所求； ∵ ∴， 根据作图可得 ∴点即为所求； 20．（10分） 在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 20．（10分） 【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 21．（10分） 如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)求证：． 21．（10分） 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ （2）∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ 22．（12分） 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 22．（12分） 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 23．（14分） 如图1，，，，垂足分别为A、B，．点P在线段上以3的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？此时线段PC和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为x，其他条件不变，当与全等时，求出相应的与的值． 23．（14分） 【详解】（1）解：当时，与全等；线段和线段的位置关系是：，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3，且运动的时间， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）依题意得：，， ∵， ∴， 又∵，， 当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， ②当，时，， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， 解得：， 综上所述：当时，；当时，． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$