2025-2026学年苏科版数学八年级上册元旦练习卷

八年级数学元旦练习卷 一、选择题 1．下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 2．已知点A（2，3m+1）关于x轴的对称点为点B（n﹣2，﹣4），则m+n的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 3．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3） 4．一次函数y＝ax﹣a（a≠0）在平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B． C．D． 5．如图，在平面直角坐标系中，B（6，0），D（10，0），OA＝AB＝BC＝CD，AB⊥BC于点B，则点C的坐标为（　　） A．（7，3） B． C．（8，3） D．（9，2） 6．若，则A÷B的值可能为（　　） A． B． C． D．0 7．点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，两条互相垂直的直线l1、l2交于点O，点A、点C在直线l1上，点B、点D在直线l2上，且始终满足AB＝2，CD＝4，点M、N分别是AB和CD的中点，当∠ONM最大时，MN的长为（　　） A．1 B． C． D．3 二、填空题 9．当分式的值为零时，x的值为 　 　 ． 10．已知点A（a，6），B（b，﹣2）在直线y＝﹣3x+m上，则a　 　 b．（填“＞”“＜”或“＝”） 11．已知y﹣2与x+3成正比，且x＝1时，y＝6，则y与x的关系式是　 　 ． 12．若一次函数y＝（k+1）x+2k﹣4的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 　 　 ． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上，且点D为△ABC边AB的中点，则线段CD的长为　 　 第13题 第14题 14．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x和y2＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点P（m，1），则不等式2x＞kx+b的解集是 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣7，0），点B（﹣1，4），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 　 　 ． 第15题 第16题 16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，E是BC中点，连接DE，作AF⊥DE于点F，若AD＝CD＝6，AB＝2，则EF＝　 ． 三、解答题 17．请你先化简：（x+1）÷（），然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 18．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）若点P在x轴上，则点P的坐标为　 　 ； （2）若点A的坐标为（﹣2，1），当直线PA平行于y轴时，点P的坐标为　 　 ； （3）若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 19．已知一次函数y＝2x+m． （1）它的图象经过一次函数，y＝x+4图象的交点，求m的值． （2）它的图象与坐标轴所围成的图形的面积为8，求m的值． 20．如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且CDAB． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若AC＝2，CD＝3，求△ABC的面积． 21．泡桐树中学秋季研学路线有走进朱德故里，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在朱德纪念馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出“朱德故里欢迎您”的语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时BC＝2.4m，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 22．某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据表格素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一： 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） x y 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出y关于x的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求出利润w的最大值． 23．如图，直线y1x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3． （1）直接写出b的值：　 　 ； （2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若OBCD，求m的值． 24．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线l1经过点A（﹣8，1）和B（﹣4，3），右侧边界线l2的函数表达式为y＝﹣3x+6，l1和l2相交于点P，即点P为灭点． （1）求左侧边界线AB的函数表达式； （2）求灭点P的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持l1的位置不变，将l2向上平移c个单位长度（c＞0），使得灭点的纵坐标不小于6，求c的取值范围． 25．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，4），线段AB∥x轴．动点P从点B出发，沿B→A方向运动；同时，动点Q从原点出发，沿x轴向右运动，动点P，Q的运动速度均为1个单位长度/秒．当点P到达终点A时，点Q也随之停止运动．连接PQ，过PQ的中点M作垂直于PQ的线段MN，点N在PQ右侧且MNPQ，如图①．设运动时间为t秒． （1）当t＝3时，点M的坐标为 　 　 ；点N的坐标为 　 　 ； （2）当点N落在x轴上时，求t的值； （3）如图②，连接NA，NO，探究△NAO的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 答案与解析 1．下列各式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可． 【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下： A、中，分子、分母不含公因式，原式是最简分式，故本选项正确； B、，原式不是最简分式，故本选项错误； C、，原式不是最简分式，故本选项错误； D、，原式不是最简分式，故本选项错误； 故选：A． 2．已知点A（2，3m+1）关于x轴的对称点为点B（n﹣2，﹣4），则m+n的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得m，n的值，进而可得答案． 【解答】解：∵点A（2，3m+1）关于x轴的对称点为点B（n﹣2，﹣4）， ∴n﹣2＝2，3m+1＝4， ∴m＝1，n＝4， ∴m+n＝1+4＝5． 故选：C． 3．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（3，﹣3） 【分析】根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得． 【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（﹣2，2），（﹣3，0）， ∴得出坐标轴如图所示位置： ∴点C的坐标为（2，﹣3）． 故选：B． 4．一次函数y＝ax﹣a（a≠0）在平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B． C．D． 【分析】本题考查一次函数的图象，分a＞0和a＜0两种情况分类讨论进行解题即可． 【解答】解：当a＞0时，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）图象经过一、三、四象限，当a＜0时，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）图象经过一、二、四象限， 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，B（6，0），D（10，0），OA＝AB＝BC＝CD，AB⊥BC于点B，则点C的坐标为（　　） A．（7，3） B． C．（8，3） D．（9，2） 【分析】过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，根据题意得出OB＝6，OD＝10，再由等腰三角形的性质确定BF＝DF＝2，OE＝BE＝3，利用全等三角形的判定和性质得出CF＝BE＝3，即可求解． 【解答】解：过点A作AF⊥x轴，过点C作CE⊥x轴， ， 因为点B坐标为（6，0），点D坐标为（10，0）， 所以OB＝6，OD＝10， 则BD＝10﹣6＝4． 因为BC＝CD，OA＝AB， 则BF＝DF＝2，OE＝BE＝3， 所以OF＝6+2＝8， 即点C的横坐标为8． 因为AB⊥BC，∠ABO+∠CBF＝90°，∠ABO+∠BAE＝90°， 所以∠BAE＝∠CBF． 在△ABE和△BCF中， ， 所以△ABE≌△BCF（AAS）， 所以CF＝BE＝3， 所以点C的坐标为（8，3）． 故选：C． 6．若，则A÷B的值可能为（　　） A． B． C． D．0 【分析】根据分式的除法法则把A÷B化简，根据分式有意义的条件计算，判断即可． 【解答】解：A÷B•， 由题意可知：x≠±3、0， 则A÷B的值不可能为、、0， 当x＝﹣2时，A÷B的值为， 故选：C． 7．点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】首先用消元法消去a，得到y与x的函数关系式，然后根据一次函数的图象及性质即可得出结论． 【解答】解：根据题意可知，， ①+②，得3x﹣3y＝3， 化简可得一次函数的解析式为：y＝x﹣1， ∵一次函数y＝kx+b中，k＝1＞0，b＝﹣1＜0， ∴一次函数y＝x﹣1的图象经过一，三，四象限，不经过第二象限． 故选：B． 8．如图，两条互相垂直的直线l1、l2交于点O，点A、点C在直线l1上，点B、点D在直线l2上，且始终满足AB＝2，CD＝4，点M、N分别是AB和CD的中点，当∠ONM最大时，MN的长为（　　） A．1 B． C． D．3 【分析】连接OM，根据直角三角形斜边中点的性质得出OM1，ONCD＝2，由在△OMN中，OM，ON是定值，即可得出当OM⊥MN时，∠MNO最大，利用勾股定理即可求得此时MN的长． 【解答】解：连接OM， ∵两条互相垂直的直线l1、l2交于点O， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵点M、N分别是AB和CD的中点， ∴OM1，ONCD＝2， 在△OMN中，OM，ON是定值， ∴当OM⊥MN时，∠MNO最大， ∴此时MN， 故选：B． 9．当分式的值为零时，x的值为 　﹣2　 ． 【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x+2＝0且x﹣1≠0， 解得x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．已知点A（a，6），B（b，﹣2）在直线y＝﹣3x+m上，则a　＜　 b．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 一次函数的解析数为y＝﹣3x+m， 则y随x的增大而减小． 因为点A（a，6），B（b，﹣2）在直线y＝﹣3x+m上，且6＞﹣2， 所以a＜b． 故答案为：＜． 11．已知y﹣2与x+3成正比，且x＝1时，y＝6，则y与x的关系式是y＝x+5　 ． 【分析】由y﹣2与x+3成正比可设y﹣2＝k（x+3）（k≠0），代入x＝1时y＝6即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：由题意可设y﹣2＝k（x+3）（k≠0）． 又∵当x＝1时，y＝6， ∴6﹣2＝k（1+3）， ∴k＝1， ∴y﹣2＝x+3，即y＝x+5． ∴y与x的关系式为y＝x+5 故答案为：y＝x+5． 12．若一次函数y＝（k+1）x+2k﹣4的图象不经过第二象限，则k的取值范围是 　﹣1＜k≤2　 ． 【分析】由一次函数y＝（k+1）x+2k﹣4的图象不经过第二象限可以得到k+1＞0，2k﹣4≤0，由此即可求出k的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y＝（k+1）x+2k﹣4的图象不经过第二象限， ∴k+1＞0且2k﹣4≤0， 解得﹣1＜k≤2， ∴k的取值范围是﹣1＜k≤2． 故答案为：﹣1＜k≤2． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上，且点D为△ABC边AB的中点，则线段CD的长为　　 【分析】利用勾股定理的逆定理证明∠ACB＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 【解答】解：∵， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵点D为△ABC边AB的中点， ∴AD＝DB， ∴CDAB，则线段CD的长为． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝2x和y2＝kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点P（m，1），则不等式2x＞kx+b的解集是 x　 ． 【分析】先求出m的值，再根据图象即可确定不等式的解集． 【解答】解：将点P（m，1）代入y＝2x， 得2m＝1， 解得m， ∴P（，1）， 根据图象，不等2x＞kx+b的解集为x， 故答案为：x． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣7，0），点B（﹣1，4），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 　（，）　 ． 【分析】将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2），取AA′的中点K（﹣2，﹣1），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．求出直线BK的解析式，利用方程组确定交点P坐标即可 【解答】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2）， 取AA′的中点K（﹣2，﹣1）， 直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P． ∵直线BK的解析式为y＝5x+9， 由， 解得， ∴点P坐标为（，）． 故答案为：（，）． 16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，E是BC中点，连接DE，作AF⊥DE于点F，若AD＝CD＝6，AB＝2，则EF＝ 　　 ． 【分析】连接AE，过点E作EK⊥BC于点K，KE的延长线交AB的延长线于点T，证明四边形ADKT为矩形得KT＝AD＝6，AT＝DK，AB∥TK，再证明△BET和△CEK全等得ET＝EKTK＝3，BT＝CK，进而由DK＝CD﹣CK＝6﹣BT，AT＝AB+BT＝2+BT得BT＝CK＝2，在△BEK中，由勾股定理得BE＝5，再由三角形面积公式得AF，在Rt△ADF中，由勾股定理得DF，由此可得EF的长． 【解答】解：连接AE，过点E作EK⊥BC于点K，KE的延长线交AB的延长线于点T，如图所示： ∴∠BKT＝∠EKC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠T＝∠EKC＝90°， ∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝6，AB＝2， ∴∠BKT＝∠T＝∠ADC＝90°， ∴四边形ADKT为矩形， ∴KT＝AD＝6，AT＝DK，AB∥TK， ∵点E是BC中点， ∴BE＝CE， 在△BET和△CEK中， ， ∴△BET≌△CEK（AAS）， ∴ET＝EK＝1/2TK＝3，BT＝CK， ∴DK＝CD﹣CK＝6﹣BT， 又∵AT＝AB+BT＝2+BT， ∴6﹣BT＝2+BT， ∴BT＝2， ∴BT＝CK＝2， 在△BEK中，由勾股定理得：BE5， ∵AF⊥DE于点F， ∴由三角形面积公式得：S△ADEDE•AFAD•DK， ∴AF， 在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF， ∴EF＝BE﹣DF． 故答案为：． 17．请你先化简：（x+1）÷（），然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式 • 由于x≠﹣1且x≠2 当x＝0时， 原式＝1 当x＝1时， 原式＝3 18．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）若点P在x轴上，则点P的坐标为　（，0）　 ； （2）若点A的坐标为（﹣2，1），当直线PA平行于y轴时，点P的坐标为　（﹣2，4）　 ； （3）若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 【分析】（1）点P在x轴上时，点P的纵坐标为零，据此列方程即可求解； （2）直线PA平行于y轴，即P点横坐标等于A点横坐标，据此列方程求解即可； （3）点P到x轴，y轴距离相等，即P点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，据此列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴3m+1＝0， m 此时2m﹣4＝24， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）； （2）∵直线PA平行于y轴，且A（﹣2，1）， ∴2m﹣4＝﹣2， 解得m＝1， 此时3m+1＝3×1+1＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，4）． 故答案为：（﹣2，4）； （3）点P到x轴，y轴距离相等， ∴|2m﹣4|＝|3m+1|， 2m﹣4＝﹣3m﹣1或2m﹣4＝3m+1， 解得：m＝﹣5或m． 19．已知一次函数y＝2x+m． （1）它的图象经过一次函数，y＝x+4图象的交点，求m的值． （2）它的图象与坐标轴所围成的图形的面积为8，求m的值． 【分析】（1）可先求出直线yx+1与y＝x+4图象的交点，然后把交点坐标代入y＝2x+m，即可得到m的值； （2）分别求出一次函数y＝2x+m与坐标轴的交点，求出面积的表达式为S|m|×||＝8，即可求得m． 【解答】解：（1）由， 解得， ∴一次函数yx+1和y＝x+4的交点为（﹣2，2）， 把x＝﹣2，y＝2代入y＝2x+m， ∴m＝6； （2）令x＝0，得y＝m；令y＝0，得x， ∴S|m|×||＝8， ∴m＝±4； 20．如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且CDAB． （1）求证：△ABC是直角三角形； （2）若AC＝2，CD＝3，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，用三角形的内角和定理，即可求出∠ACD+∠BCD＝90°，即可得出结论； （2）由勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BDAB， ∵CDAB， ∴AD＝CD＝BD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD， 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°， ∴∠ACD+∠BCD+∠ACD+∠BCD＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC为直角三角形； （2）解：∵CDAB， ∴AB＝2CD＝2×3＝6， 在Rt△ABC中， BC4， ∴△ABC的面积AC•BC24＝4． 21．泡桐树中学秋季研学路线有走进朱德故里，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅，在朱德纪念馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出“朱德故里欢迎您”的语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时BC＝2.4m，并测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，则CE＝AB＝1.8m，AE＝BC＝2.4m，设迎宾门铃距离地面xm，则AD＝CD＝xm，DE＝（x﹣1.8）m，在Rt△AED中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）MN为该生向前走1.4m后的位置，则AN＝1.4m，NE＝1m，由（1）可知，DE＝1m，然后在Rt△NED中，由勾股定理求出DN的长即可． 【解答】解：（1）AD＝CD，BC＝2.4m，AB＝1.6m，∠ABC＝∠DCB＝90°， 过点A作AE⊥CD于点E，如图1， 则CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝2.4m， 设迎宾门铃距离地面xm，则AD＝CD＝xm，DE＝（x﹣1.6）m， ∵AE2+DE2＝AD2，即2.42+（x﹣1.6）2＝x2， ∴x＝2.6， 答：迎宾门铃距离地面2.6m； （2）MN为该生向前走1.4m后的位置，如图2， 则AN＝1.4m， ∴NE＝AE﹣AN＝2.4﹣1.4＝1（m）， 由（1）可知，DE＝2.6﹣1.6＝1（m）， ∴DN（m）， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶m． 22．某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据表格素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一： 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） x y 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出y关于x的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利w元，求出利润w的最大值． 【分析】任务一：设甲类图书每本进价为m元，乙类图书每本进价为n元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； 任务二：①根据该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，列出y关于x的关系式即可；②求出w关于x的关系式，再由一次函数的性质即可得出结果． 【解答】解：任务一：设甲类图书每本进价为m元，乙类图书每本进价为n元， 由题意可得：， 解得：， ∴甲类图书每本进价为36元，乙类图书每本进价为45元； 任务二：①由条件可知36x+45y＝4500， ∴， ∵， ∴x≤125， ∴x为0到125之间5的倍数， ∴y关于x的关系式为（x为0到125之间5的倍数）； ②由题意可得：， ∵﹣2＜0，x的取值范围是“60≤x≤125且x为5的倍数的整数”， ∴当x＝60时，w取得最大值，为﹣2×60+500＝380， 故利润w的最大值为380元． 23．如图，直线y1x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2＝x交于点E，点E的横坐标为3． （1）直接写出b的值：　4　 ； （2）在x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线，与直线y1x+b交于点C，与直线y2＝x交于点D，若OBCD，求m的值． 【分析】（1）先求出E点坐标，再代入求出b的值， （2）由点B的坐标，可求出OB的长，进而求出CD的长，由于点C、D分别在两条直线上，由题意得CD的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案． 【解答】解：（1）点E在直线y2＝x上，点E的横坐标为3． ∴E（3，3）， ∴把E（3，3）代入直线， ∴b＝4； 故答案为：4； （2）由条件可知B（0，4），即：OB＝4， ∵， ∴CD＝2OB＝8， 如图， ∵点C在直线上，点D在直线y2＝x上， ∴或， 解得：x＝﹣3或x＝9， 即：m＝﹣3或m＝9． 答：m的值为﹣3或9． 24．在艺术创作中，“透视”是一种利用数学原理在平面上表现三维空间的方法，“灭点”是指在透视图中，原本平行的直线看起来会汇聚到一个点上．如图1，当我们站在笔直的公路上向远方看去，公路的两边虽然在现实中是平行的，但在图片中，它们看起来像是在远处相交于一个点，这个点就是“灭点”，它帮助我们感受空间的深度和立体感． 【问题探究】在现实中，某条公路的左右边界线互相平行．如图2，将该公路的透视图放置于某平面直角坐标系内，已知公路的左侧边界线l1经过点A（﹣8，1）和B（﹣4，3），右侧边界线l2的函数表达式为y＝﹣3x+6，l1和l2相交于点P，即点P为灭点． （1）求左侧边界线AB的函数表达式； （2）求灭点P的坐标； 【迁移应用】为满足艺术创作的需求，艺术家要对该画作进行调整：保持l1的位置不变，将l2向上平移c个单位长度（c＞0），使得灭点的纵坐标不小于6，求c的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求AB的解析式即可． （2）联立两直线，求出点P的坐标即可． 迁移应用：由题意知l2平移后的函数表达式为y＝﹣3x+6+c，再联立两直线，求出点P的坐标，根据点P的纵坐标大于6列出关于C的一元一次不等式求解即可得出答案． 【解答】解：（1）设左侧边界线AB的函数表达式为y＝kx+b， 把A（﹣8，1）和B（﹣4，3）代入得：， 解得， ∴左侧边界线AB的函数表达式为； （2）联立， 解得， ∴灭点P的坐标为； 迁移应用：将l2向上平移c个单位长度后得直线y＝﹣3x+6+c， 联立， 解得， ∵灭点的纵坐标不小于6， ∴， 解得c≥6， ∴c的取值范围是c≥6． 25．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，4），线段AB∥x轴．动点P从点B出发，沿B→A方向运动；同时，动点Q从原点出发，沿x轴向右运动，动点P，Q的运动速度均为1个单位长度/秒．当点P到达终点A时，点Q也随之停止运动．连接PQ，过PQ的中点M作垂直于PQ的线段MN，点N在PQ右侧且MNPQ，如图①．设运动时间为t秒． （1）当t＝3时，点M的坐标为 　（3，2）　 ；点N的坐标为 　（5，2）　 ； （2）当点N落在x轴上时，求t的值； （3）如图②，连接NA，NO，探究△NAO的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）先根据坐标与图形性质求得P（3，4），Q（3，0），进而可求解M、N的坐标； （2）证明△PNQ是等腰直角三角形，PN＝4，得到QN＝PN＝4，ON＝AP＝6﹣t，列方程求解即可； （3）过N作CD⊥x轴于D，交AB于C，连接PN，PM，证△PNC≌△NQD得到PC＝ND，CN＝DQ，进而求得PC+DQ＝4，AP+OQ＝6，然后由OD+AC＝OQ+DQ+PC+AP＝4+6＝10求得OD＝5，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意，当t＝3时，BP＝3，OQ＝3， ∵点B的坐标为（6，4），AB∥x轴， ∴AB＝6，OA＝4， ∴AP＝AB﹣BP＝6﹣3＝3， ∴P（3，4），Q（3，0），则PQ＝4， ∵M为PQ的中点， ∴， ∴M（3，2）， ∵MN⊥PQ， ∴N（5，2）， 故答案为：（3，2），（5，2）； （2）如图，连接PN， 由题意，t秒时，BP＝OQ＝t，则AP＝6﹣t， ∵M为PQ的中点， ∴， ∵MN⊥PQ， ∴∠MQN＝∠MNQ＝∠MPN＝∠MNP＝45°， ∴QN＝PN，∠PNQ＝90°，即PN⊥x轴， ∴△PNQ是等腰直角三角形， ∵PN＝4， ∴QN＝PN＝4，ON＝AP＝6﹣t， ∵ON﹣OQ＝QN， ∴6﹣t﹣t＝4， ∴t＝1， ∴当点N落在x轴上时，t＝1； （3）过N作CD⊥x轴于D，交AB于C，连接PN，PM， 则∠PCN＝∠NDQ＝90°，CD＝4，OD＝AC， ∵，MN⊥PQ， ∴△PNQ是等腰直角三角形，∠PNQ＝90°，则 PN＝NQ， ∵∠PNC+∠NPC＝90°，∠PNC+∠QND＝90°， ∴∠NPC＝∠QND， 在△PNC和△NQD中， ， ∴△PNC≌△NQD（AAS）， ∴PC＝ND，CN＝DQ， ∴PC+DQ＝ND+CN＝CD＝4， ∵AP＝6﹣t，OQ＝t， ∴AP+OQ＝6， ∴OD+AC＝OQ+DQ+PC+AP＝4+6＝10， 又∵OD＝AC， ∴OD＝5， ∴△NAO的面积OA•CD4×5＝10， 故△NAO的面积为定值10． 2 学科网（北京）股份有限公司 $