精品解析：福建省厦门市第三中学2024-2025学年九年级下学期第四次模拟考试数学试卷

九年级第四次模拟测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在3、、、这四个实数中，是无理数为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列几何体的展开图中，能围成四棱锥的是（ ） A. B. C. D. 3. 人工智能风气涌动，在人工智能的神经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如当计算神经元的激活概率时，假设一个神经网络模型输出了一个神经元的激活概率为0.000000789．作为一名优秀的中学生．用科学记数法表示这个激活概率为（　　） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 的圆周角所对的弦是直径 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 两角互余的三角形是直角三角形 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 8. 不等式的最小整数解是___________． 9. 如图，直尺的一边与重合，另一边分别与、交于点、，、处的读数分别为、，若，则______． 10. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 11. 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图）将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图）．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ．③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的的值． 13. 现有三张不透明的卡片A、B、C，正面分别写有汉字“数”、“学”、“美”，卡片除正面汉字不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张卡片，记下汉字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字的概率． 14. 我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的边上找一点，使； （2）在图②中画的角平分线； （3）在图③中的边上画一点，使． 16. 综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）请求出功率与做功的时间之间的函数关系式． （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象 （3）结合图象，当功率小于时，直接写出做功时间t的取值范围． 17. 某校为增强学生对航天知识的了解，组织七、八年级学生进行了航天知识的学习并进行了测试，从两个年级各随机抽取了50名学生的成绩，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图； b．七年级成绩在这一组的数据是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79； c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 七 m 八 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； （2）直接写出表格中m的值； （3）在这次测试中，七年级子骁同学与八年级子栋同学的成绩都是78分，请判断两位同学在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）若该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 18. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上． （1）求小明从点A走到点D的距离； （2）大树的高度约为多少米？ （参考数据：，，） 19. 近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． （1）甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； （2）当时，求第20天时整个工程已完成多少米； （3）已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 20. 【初步尝试】如图①．点E、G分别是的边的中点，点F为对角线上一点，以点F为直角顶点作，过点E作交于点H，连接，求证：四边形为矩形； 【深入探究】如图②，将图①中的改为菱形．其他条件不变．若，且，直接写出四边形的面积； 【拓展延伸】如图③，将图①中的改为矩形，其他条件不变．若，，直接写出四边形的面积． 21. 如图，在中，，，，是斜边上的中线，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作于点M，连接、，设点P运动的时间为x秒，四边形与重叠部分图形的面积为y个平方单位． （1）当点Q与点D重合时，求x的值； （2）当点Q在线段上时，______（用含x的代数式表示）； （3）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）经过点和，点P和点Q均在该抛物线上，其横坐标分别为m、，点M的坐标为，连结、，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当轴时，求点Q的坐标； （3）当的边与x轴平行时，求抛物线在点P和点A之间的部分（包括点P、点A）的最高点与最低点的纵坐标的差； （4）当时．设的边与x轴的交点为C，连接，当直线将该平行四边形的面积分成两部分时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第四次模拟测试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 在3、、、这四个实数中，是无理数为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐个判断，即可作答． 【详解】解：在3、、、这四个实数中，是无限不循环小数， ∴是无理数， 故选：C． 2. 下列几何体的展开图中，能围成四棱锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查展开图折叠成几何体．棱锥的侧面都是三角形，根据棱锥展开图的特点即可判断． 【详解】解：A、根据图形判断是正方体的展开图，本选项不符合题意． B、根据图形判断是四棱锥的展开图，本选项符合题意． C、根据图形判断是三棱柱的展开图，不符合题意． D、根据图形判断是圆柱的展开图，不符合题意． 故选：B． 3. 人工智能风气涌动，在人工智能的神经网络训练中，经常会遇到非常小的数值，例如当计算神经元的激活概率时，假设一个神经网络模型输出了一个神经元的激活概率为0.000000789．作为一名优秀的中学生．用科学记数法表示这个激活概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数 【详解】解： 故选：D． 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的根的判别式判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键．分别计算的值，逐一进行判断即可． 【详解】解：A： ，，， ，无实数根； B： ，，， ，有两个相等实数根； C： ，，， ，无实数根； D： ，，， ，有两个不相等实数根； 故选：D． 5. 如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查等腰三角形的性质及平行线的性质，根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解 【详解】解：∵等长的支架交于它们的中点E，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 6. 如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 的圆周角所对的弦是直径 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8. 不等式的最小整数解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，解不等式求得x的范围，再求出该范围内的最小整数解． 【详解】解：系数化为1，得：， ∴不等式的最小整数解为， 故答案为：． 9. 如图，直尺的一边与重合，另一边分别与、交于点、，、处的读数分别为、，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先通过三角形三个角相等证明得出，再根据计算出，最后将、带入到即可得出答案 【详解】解：由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 10. 如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴（）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 11. 如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图）将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图）．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】解：，，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ， ， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ．③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤______（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值就是4，求图中被遮住的的值． 【答案】（1） 原式 ， ， 故解题过程中开始出现错误的是步骤②； （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、解分式方程，熟练掌握分式的混合运算法则和解分式方程的步骤是解答的关键． （1）根据分式的混合运算法则化简原式，发现第②步出现错误； （2）根据所给求值后的值是4和化简式子可列分式方程，然后解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵代入求值后的值就是4， ∴， ∴， 解得， 经检验：是方程的解， ∴图中被遮住的的值为． 13. 现有三张不透明的卡片A、B、C，正面分别写有汉字“数”、“学”、“美”，卡片除正面汉字不同外其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张卡片，记下汉字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图． 由树状图知，P（抽出的两张卡片上的汉字恰好是“数、学”这两个字）． 14. 我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 【答案】甲有63只羊，乙有45只羊 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 根据题意，可得， 解得． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的边上找一点，使； （2）在图②中画的角平分线； （3）在图③中的边上画一点，使． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： （3） 如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的知识、等腰三角形三线合一的知识、相似三角形的知识． （1）线根据三角函数与边的关系得出，再代入即可得出答案． （2）根据等腰三角形的三线合一的知识，先构造等腰三角形，再找到底边中点连线即可． （3）根据相似三角形对应边成比例构造的等腰三角形即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴， 以点为顶点，构造等腰三角形， 根据三线合一的知识可知等腰三角形的中线是顶点的角平分线． 【小问3详解】 略 16. 综合应用．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： t（单位：s） 10 20 30 40 50 P（单位：W） 120 60 40 30 24 （1）请求出功率与做功的时间之间的函数关系式． （2）在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象 （3）结合图象，当功率小于时，直接写出做功时间t的取值范围． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握用待定系数法求解反比例函数关系式的方法和步骤，反比例函数的图象为双曲线，以及反比例函数的增减性． （1）设功率与做功的时间之间的函数关系式为，把代入，求出k的值，即可得出函数关系式； （2）根据表格中的数据描点，再用平滑的曲线连接起来即可； （3）先求出时t的值，再结合图象，即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：设功率与做功的时间之间的函数关系式为， 把代入得：， 解得：， ∴功率与做功的时间之间的函数关系式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把代入得： ， 解得：， 由图可知，当时，． 即做功时间t的取值范围为． 17. 某校为增强学生对航天知识的了解，组织七、八年级学生进行了航天知识的学习并进行了测试，从两个年级各随机抽取了50名学生的成绩，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图如图； b．七年级成绩在这一组的数据是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79； c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 七 m 八 根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有______人； （2）直接写出表格中m的值； （3）在这次测试中，七年级子骁同学与八年级子栋同学的成绩都是78分，请判断两位同学在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）若该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数分的人数． 【答案】（1）23 （2） （3） 解：子骁学生在该年级的排名更靠前， 七年级学生子骁的成绩大于中位数，其名次在该班25名之前， 八年级学生子栋的成绩小于中位数，其名次在该班25名之后， 子骁学生在该年级的排名更靠前； （4）336人 【解析】 【分析】（1）根据条形图求出七年级在80分以上（含80分）的学生人数即可； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得． 【小问1详解】 解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有（人）， 故答案为：23； 【小问2详解】 解：七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：估计七年级成绩超过平均数分的人数为： （人）． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 18. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走到点D，此时从点A到D上升的高度为2米，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为，E、A、C在同一水平线上． （1）求小明从点A走到点D的距离； （2）大树的高度约为多少米？ （参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）14米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键． （1）作于，在中，，则．由勾股定理得，即可求出答案； （2）延长交于点G，设．在中，根据求出，在中，，则米在中，，则米，即可求得答案． 【小问1详解】 解∶ 作于，如图所示， 在中， ，， ， ， ， 答：小明从点A到点的距离为米； 【小问2详解】 解： 如图，延长交于点G， 设， 由题意，得， ． 在中，， ． 在中，， ， 解得． 答：大树的高度约为14米． 19. 近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． （1）甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； （2）当时，求第20天时整个工程已完成多少米； （3）已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】（1）9；40 （2）第20天时整个工程已完成580米 （3）完成这次任务的工期范围是27天至35天 【解析】 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． 【小问2详解】 解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； 【小问3详解】 解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 20. 【初步尝试】如图①．点E、G分别是的边的中点，点F为对角线上一点，以点F为直角顶点作，过点E作交于点H，连接，求证：四边形为矩形； 【深入探究】如图②，将图①中的改为菱形．其他条件不变．若，且，直接写出四边形的面积； 【拓展延伸】如图③，将图①中的改为矩形，其他条件不变．若，，直接写出四边形的面积． 【答案】初步尝试： 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵点E、G分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； 深入探究：4； 拓展延伸： 【解析】 【分析】初步尝试：证明，则，根据，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； 深入探究：连接，交于点O，连接，过点作于点T，求出，，，同理初步尝试得：，四边形为矩形，推出点共线，进而得到，求出，，再解直角三角形求出，，，，即可求解； 拓展延伸：连接，作于N，同理深入探究可知，，证明，得到，求出，进而求出，根据即可求解． 【详解】初步尝试： 略 深入探究： 解：连接交于点O，连接，过点作于点T， 四边形是菱形， ∴，， ∵，点E、G分别是边的中点， ∴， 在中， ∴， 同理， 同理初步尝试得：，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴点共线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 拓展延伸：连接，作于N， 同理深入探究可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，是斜边上的中线，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作于点M，连接、，设点P运动的时间为x秒，四边形与重叠部分图形的面积为y个平方单位． （1）当点Q与点D重合时，求x的值； （2）当点Q在线段上时，______（用含x的代数式表示）； （3）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质求出，即可求解； （2）用含x的式子表示出，再根据，可得； （3）分段计算，当时，点Q在上，先证四边形是平行四边形，推出，根据计算；当时，点Q在上，作于E，于F，根据计算． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， 是斜边上的中线， ， 点Q以每秒2个单位长度的速度运动， 当点Q与点D重合时，； 【小问2详解】 解：当点Q在线段上时，如图： 由（1）知， ， 点Q以每秒2个单位长度的速度运动， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，点Q在上，如图： ，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 当时，点Q在上，如图，作于E，于F， ，， ， ； 由（2）知，， ，， ， ， 又，， ， ； ， 综上可知，． 【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等，有一定难度，注意分类讨论是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）经过点和，点P和点Q均在该抛物线上，其横坐标分别为m、，点M的坐标为，连结、，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当轴时，求点Q的坐标； （3）当的边与x轴平行时，求抛物线在点P和点A之间的部分（包括点P、点A）的最高点与最低点的纵坐标的差； （4）当时．设的边与x轴的交点为C，连接，当直线将该平行四边形的面积分成两部分时，直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）1或4 （4）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可知Q点在y轴上，则，求出m的值即可求Q点坐标； （3）由题意可知当轴时，，求出，再结合函数图象求解即可； （4）根据平行四边形的性质求出，当C点在边上时，C是的中点，即；当C在边上时，C是的中点，即，分别求出m即可． 【小问1详解】 解：将点和代入中， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴Q点在y轴上， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当轴时，， 解得或， ∴或， 当点的坐标为时， ∵， ∴顶点为， ∴抛物线在点P和点A之间的部分的最高点为5，最低点为1， ∴最高点与最低点的纵坐标的差为； 当点的坐标为时， ∵ ∴抛物线在点P和点A之间的部分的最高点为2，最低点为1， ∴最高点与最低点的纵坐标的差为； 综上，最高点与最低点的纵坐标的差为1或4； 【小问4详解】 解：设点为中点，且，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴H是的中点， ∵， ∴， 当C点在边上时，且直线将该平行四边形的面积分成两部分，如图， ∴C是的中点， ∴， 解得或（舍）； 当C在边上时，C是的中点， ∴， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $