15.2二次根式的乘除运算（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

15.2二次根式的乘除运算 （4大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 二次根式乘除法法则成立的条件 题型二 二次根式的乘法 题型三 二次根式的除法 题型四 二次根式乘除法混合运算 能力提升题 题型一 将根号外的因式（数）移到根号内 题型二 二次根式的乘除运算的实际应用 题型三 二次根式的乘除运算中的错题复原问题 题型一 二次根式乘除法法则成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 4．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 5.当时，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6.要使等式成立的的值为 ． 题型二 二次根式的乘法 7．计算等于（    ） A．4 B． C． D． 8．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 9．估计的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 10．设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 11．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．下列各数中与的积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 14．下列各式中，一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 15．计算： (1) (2) (3) (4) 16．探索：先观察下列各式的计算情况，再完成后面的问题． ，，，，． (1)用，，表示上述规律为： ； (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)设，，试用含x，y的式子表示． 题型三 二次根式的除法 17．计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 18．若，则中的数是（   ） A．2 B． C． D． 19．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 20．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 21．若，则中是（   ） A． B． C． D． 22．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 23．下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 24．下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 26．计算： (1)． (2)． 27．计算： (1) (2) 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 题型四 二次根式乘除法混合运算 30．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 31．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 32．计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 33．计算：等于（   ） A． B． C． D． 34．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 35．计算： (1)； (2)； (3)． 36．计算： (1) (2) 37．计算： (1)． (2)． ． 题型一 将根号外的因式（数）移到根号内 38.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 39.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 40.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 题型二 二次根式的乘除运算的实际应用 41.长方体容器中装有一定量的水，相关数据（长度单位：）如图所示，另有一些大玻璃球和小玻璃球，每个大玻璃球的体积是小玻璃球的倍． (1)求长方体容器的底面面积． (2)嘉嘉通过实验发现，若单独加入小玻璃球若干个或单独加入大玻璃球若干个都会使水面上升（水没过全部玻璃球），且加入的小玻璃球比大玻璃球多两个，求小玻璃球的体积． 42．如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 43．如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 题型三 二次根式的乘除运算中的错题复原问题 44．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 45．小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 46．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 47．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 48．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 49．阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2二次根式的乘除运算 （4大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 二次根式乘除法法则成立的条件 题型二 二次根式的乘法 题型三 二次根式的除法 题型四 二次根式乘除法混合运算 能力提升题 题型一 将根号外的因式（数）移到根号内 题型二 二次根式的乘除运算的实际应用 题型三 二次根式的乘除运算中的错题复原问题 题型一 二次根式乘除法法则成立的条件 1．要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 2．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质得出求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得：， 故选：B． 3．若成立，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可． 本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可． 【详解】解：∵成立， ∴且且， 解得：， ∴的值可以是0． 故选：B 4．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 5.当时，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质以及二次根式和分式的有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：A．当时，，故，选项错误； B．当时，，故，选项错误； C．当时，，，故，符合题意； D．当时，，分母为0，根式无意义，选项错误，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 6.要使等式成立的的值为 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义需满足：且，解得： 要使等式成立，则或，解得：或， 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键． 题型二 二次根式的乘法 7．计算等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 8．计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算和化简，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则． 利用二次根式乘法法则进行计算，然后化简即可． 【详解】解：， 故选：B． 9．估计的运算结果应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：C． 10．设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将进行化简变形，然后把a，b的值代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 11．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．根据二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：．，正确，所以选项符合题意； B．，原计算错误，所以B选项不符合题意； C．，原计算错误，所以C选项不符合题意； D．，原计算错误，所以D选项不符合题意． 故选：A． 12．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次根式的计算，根据二次根式的乘法，二次根式的性质分别计算、化简，再判断，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.与无意义，故此项不正确； B.不相等，故此项不正确； C.，相等，故此项正确； D.，不相等，故此项不正确； 故选：C． 13．下列各数中与的积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，有理数和无理数的定义，根据二次根式的乘法法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不是有理数，故此选项不符合题意； B、，不是有理数，故此选项不符合题意； C、，是有理数，故此选项符合题意； D、，不是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 14．下列各式中，一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法法则，利用完全平方公式因式分解，正确理解二次根式的性质是解题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，．分别利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A、只有当且时，即时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； B、只有当时， 才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； C、，只有当时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； D、，故选项成立，符合题意， 故选：D． 15．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 16．探索：先观察下列各式的计算情况，再完成后面的问题． ，，，，． (1)用，，表示上述规律为： ； (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)设，，试用含x，y的式子表示． 【答案】(1)（，） (2)2 (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则即可得解； （2）根据二次根式的乘法法则运算即可得解； （3）根据二次根式的乘法法则运算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：用，，表示上述规律为：； （2）解：； （3）解：，， ． 题型三 二次根式的除法 17．计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 【详解】解：． 故选：B． 18．若，则中的数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 直接根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 19．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法．根据二次根式的性质和二次根式的除法法则，即可得到答案． 【详解】解：； 故选：A． 20．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算以及二次根式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意；     D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 21．若，则中是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法运算法则，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：B； 22．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的计算，无理数的估值，正确地进行计算是关键． 先对二次根式进行计算，再对进行估值即可． 【详解】解： ， ， ， 估计的值应在6与7之间， 故选：C． 23．下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法法则依次计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 24．下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 25．小明在进行二次根式运算时发现：；；；，由此猜想，上述探究过程蕴含的思想方法是（   ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的除法、数学思想，根据题意确定蕴含的思想方法． 【详解】解：题目先是从特殊情况算起，再总结一般性的规律，探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般， 故选：A． 26．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的除法即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式； （4）解：原式 ． 29．计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）解：； （6）解： ； （7）解：． 题型四 二次根式乘除法混合运算 30．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 31．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 32．计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选C． 33．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 34．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意平方差公式的应用． 先将原式变形，再根据平方差公式计算即可． 【详解】 故选：． 35．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式除法法则进行计算即可； （3）原式先计算二次根式的乘法，再计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 36．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先计算括号内，再进行除法运算即可； （2）利用除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 37．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． ． 题型一 将根号外的因式（数）移到根号内 38.把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 39.把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可. 【详解】解：原式=×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键. 40.把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 【答案】（1）;（2）;（3）. 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知a>0，利用二次根式的乘法法则化简； （2）(3)利用二次根式的乘法法则求解即可． 【详解】(1)  ∵>0,∴a>0,a=,∴a·; (2)  ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0. ∴, ∴··; (3)  ∵0<a<b,∴ab>0, b-a＞0,∴ab=, ∴ab·. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定a、b和x的范围是关键． 题型二 二次根式的乘除运算的实际应用 41.长方体容器中装有一定量的水，相关数据（长度单位：）如图所示，另有一些大玻璃球和小玻璃球，每个大玻璃球的体积是小玻璃球的倍． (1)求长方体容器的底面面积． (2)嘉嘉通过实验发现，若单独加入小玻璃球若干个或单独加入大玻璃球若干个都会使水面上升（水没过全部玻璃球），且加入的小玻璃球比大玻璃球多两个，求小玻璃球的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据长方形的面积公式列式计算即可； （）设小玻璃球的体积为，则大玻璃球的体积为，设加入的小玻璃球个，则加入的大玻璃球个，根据题意列出方程求出的值，进而列出方程求出的值即可； 本题考查了二次根式乘法的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：长方体容器的底面面积为； （2）解：设小玻璃球的体积为，则大玻璃球的体积为，设加入的小玻璃球个，则加入的大玻璃球个， 由题意得，， 解得， ∴， 解得， 答：小玻璃球的体积为． 42．如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 43．如图，已知正方形的面积为2，将正方形和等腰直角三角形两个障碍物放在数轴上，使正方形顶点与数轴原点重合，边与在数轴上． (1)点表示的数为______；的长度为______． (2)甲虫从点处沿的方向以每秒1个单位长度的速度爬到点． ①求甲虫爬行的距离； ②另一只甲虫从点沿的方向爬行到点，两只甲虫同时出发，在中点处相遇，求甲虫的爬行速度． 【答案】(1)；2． (2)①；②每秒个单位长度． 【分析】本题考查轴上的几何问题，重点在于理解正方形和等腰直角三角形的性质，以及如何在数轴上表示和计算点的位置和距离．同时，需要运用速度和时间的关系来求解甲虫的爬行距离和速度． （1）根据正方形面积计算出边长，即是点到原点的距离，且点在原点右侧，注意符号；是等腰直角三角形的斜边，根据勾股定理可以求出长度． （2）①甲虫爬行的距离可以根据图像将甲虫走过的线段长度求和； ②根据相遇位置，求出甲虫所走过的距离，从而得到两只甲虫相遇的时间，再根据甲虫走过的距离，求出甲虫的爬行速度． 【详解】（1）解：正方形的面积为2， 正方形的边长为， 点表示的数为． 为等腰直角三角形， ． 故答案为：，2． （2）解：①根据题意，甲虫爬行的距离； ②甲虫，相遇时，甲虫爬行距离为， 则甲虫爬行时间为秒， 甲虫爬行距离为， 爬行速度为， 甲虫的爬行速度为每秒个单位长度． 题型三 二次根式的乘除运算中的错题复原问题 44．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【答案】(1)不对，见解析 (2)且 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得； （2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得． 【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对． 正确的化简过程如下： ． （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 45．小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确；见解析 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的除法运算法则，先算出括号里的式子，再算乘除，由此即可求解． 【详解】解：不正确，正确解答过程为： ． 46．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 47．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 48．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． 已知：，求： (1)①求代数式中的取值范围 ②求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程：； 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）①根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；②运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）中②的方法构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：① 由二根式有意义的条件得到：， 解得， 即的取值范围是； ②∵ ， 而， ∴； （2）解：由（1）得， 而， 两式相加得到， 即， 则， 解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； 49．阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【答案】(1)，； (2)13或7 ． 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 50．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $