14.2 立方根-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

14.2 立方根 课题 立方根 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P66-68 教学目标 1.了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立方根的唯一性. 2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根，分清一个数的立方根与平方根的区别. 教学重难点 重点：立方根的概念和性质. 难点：区别立方根和平方根. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 师:请同学们回忆我们是怎样定义平方根的？它的符号怎么表示？ 生:如果x2=a,那么x叫做a的平方根（或二次方根).符号表示:±,其中a≥0. 师：我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？它是怎么定义的? 生：开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，与平方互为逆运算. 师:那么平方根有什么样的性质呢？ 生：正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根还是0;负数没有平方根. 教师引导学生回忆，并回答出平方根的定义、符号表示及性质，对定义及符号进行板书，性质利用表格的形式板书出来,有利于跟本节课的新知识进行对比. 被开方数 平方根 正数 2个，互为相反数 0 0 负数 无 【探究1】复习引入（学生活动） 已知一个正方体的棱长是4， 则这个正方体的体积是______. 【探究2】探究教材P6问题② 要做一个容积是64 dm3的正方体木箱，问它的棱长是多少？ 【师生活动】学生尝试解答，列方程. 设正方体木箱的棱长为x dm，根据题意，有 x³=. 教师提问：怎么解这个方程呢？ （学生讨论，教师引导）想哪个数的立方是64? 1³=1,2³=8,3³=27,4³=64，x=4. 【思考】利用数的平方运算可以求出一个数的平方根.已知一个数的立方，能不能求出这个数呢？ 【观察与思考】如图所示，已知小正方体的棱长为2，那么它的体积是多少？反过来，如果大正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长x呢？ 【师生互动】 老师：想一想，正方体的体积公式是什么? 学生：正方体的体积=棱长3. 老师：你能解答这道题吗? 学生：…… 小亮是这样想的:由已知小正方体的棱长为2，可以求出它的体积为23=8；同样，根据正方体的体积公式以及立方运算，由大正方体的体积，也可以求出它的棱长. 他是这样做的： 因为33=27，所以，这个大正方体的棱长为3. 你认为小亮的想法和做法有没有道理?你是怎么做的? 通过对平方根的复习，可以增加学生对平方根的印象，同时,教师也能通过学生复习过程的表现，间接了解学生对知识的掌握程度,也能让学生在学习完立方根后,更好地对这两个概念进行比较. 复习：已知正方体棱长求体积. 思考：已知正方体体积如何求棱长？ 正方体的体积=棱长³ 通过解决实际问题，引导学生理解求立方根的必要性. 所列方程是已知一个数的立方，求这个数. 2.实践探究，学习新知 我们知道了平方根的定义，那么什么叫做立方根呢?请同学们完成下面的问题. 【试着做做】 求满足下列各式的x的值. （1)x3=-1；　（2）x3=64;　(3)x3=0.008;　（4）x3=-. 指导学生独立完成，然后指名回答. 解:(1)x=-1.　(2）x=4.　（3）x=0.2.　（4)x=-. 要点提示：本题是已知一个数x的立方，求这个数的值，而平方根是已知一个数的平方，求这个数，从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念. 老师：对比平方根的定义，你能归纳出立方根的定义是什么吗? 学生谈论思考，教师引导归纳概念. 【概念归纳】 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根. 例如，-1的立方根为-1，64的立方根为4，0.008的立方根为0.2，的立方根为. 在上面问题中，因为33=27，所以3是27的立方根. 类比开平方的运算，我们也可以定义出开立方运算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.因此，我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根. 【大家谈谈】 1.一个正数有几个立方根？正数的立方根是正数还是负数？ 答：一个正数有一个立方根，正数的立方根是正数. 2.一个负数有几个立方根?负数的立方根是正数还是负数? 答：一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数. 3.0的立方根是什么数？ 答：0的立方根是0. 【归纳】 一个正数有一个正的立方根. 一个负数有一个负的立方根. 0的立方根是0. 教师根据学生的回答将以下的表格填写完整，可以清晰地看出平方根和立方根的区别，同时要求学生记在笔记上. 被开方数 平方根 立方根 正数 两个,互为相反数 有一个，是正数 0 0 0 负数 无 有一个,是负数 教师还要指导学生：我们发现，进行立方运算，当底数互为相反数时，它们的幂也互为相反数，这与平方运算不同.平方运算的底数互为相反数，但它们的幂相等，故一个正数的平方根有两个，但一个正数的立方根却只有一个. 【总结归纳】 老师：我们发现，表述一个数的立方根太复杂了，是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示呢？请大家一起讨论. 【开立方的表示及概念】 我们把数a的立方根用符号“”来表示，读作“三次根号a”.其中，a称为被开方数，3称为根指数. 例如：，，，. 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 开立方和立方互为逆运算.借助立方运算，可以求一个数的立方根. 【例题讲解】 例1 求下列各数的立方根. （1）;　(2)-8;　(3)-0.064. 解:（1)因为，所以的立方根为, 即. (2)因为（-2)3=-8,所以-8的立方根为-2， 即=-2. （3)因为（-0.4)3=-0.064，所以-0.064的立方根为-0.4， 即=-0.4. 在书写过程中要重点强调：“”的根指数3不能省略，同时3的书写位置也要重点注意. 问题1：学习了立方根的符号后，大家是否有个疑问，立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢？如果有,它的根指数是多少？ 答：算术平方根也有根指数，且为2，因此也可以读作“二次根号a”，但是这里的根指数可以省略。 问题2:我们已经学过算术平方根的符号中的a必须是非负数，那么立方根的符号中的a的取值有什么限制吗? 答：立方根的符号中的a没有限制，可以取任何数。 通过这个问题总结出:任何数都有立方根，且它的立方根都只有一个，但只有非负数才有平方根. 例2 求下列各式的值. （1）;　（2）. 思路分析：先分析出每题的含义，然后再求解。 含义:（1）表示-0.027的立方根。（2)表示—的立方根. 解:（1)=-=-=-0.3. (2）=-=-=-. 【知识拓展】 平方根与立方根的联系与区别. 联系:①都有相应的乘方运算与开方运算互为逆运算，开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算；②0的平方根与立方根都是它本身. 区别：①用根号表示平方根时，根指数2可以省略,而用根号表示立方根时，根指数不能省略；②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有。如-8没有平方根,但有立方根，为-2；③正数的平方根有2个，而正数的立方根只有1个。如2的平方根是±，而立方根只有。 联系平方根的概念，让学生类比,给出立方根的概念，学生初步体会到立方根与平方根的联系和区别. 让学生动手计算,亲身感受任何一个数都有一个立方根，以及一个数的立方根的唯一性,并体会到开立方与立方互为逆运算，求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理.教学中,教师注意引导学生养成边做边总结的习惯,有利于学生明晰道理。 在了解立方根的性质的同时，让学生掌握立方根的表示方法；通过对问题的探究,让学生掌握立方根的一些规律,从而能够灵活应用。例题着重于弄清立方根的概念,不仅让学生会求立方根，还让学生学会从开立方与立方是互为逆运算中寻找解题途径。 3.学以致用，应用新知 考点1 求一个数的立方根 【例1】求下列各数的立方根： (1)1 000； (2)； (3)0.125； (4)(-2.1)3. 解：(1)由于10³＝1 000，因此1 000的立方根10，即=10； (2)由于()³＝，因此的立方根是，即； (3)由于0.5³＝0.125，因此0.125的立方根0.5，即=0.5； (4)=-2.1. 考点2 立方根与平方根的综合问题 【例2】如果为的算术平方根，为的立方根，求2a-3b的立方根． 解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3，所以b＝－2，a＝1. 所以2a－3b＝2×1－3×(－2)＝2＋6＝8. 所以＝＝2. 【例3】如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那么这个数是(　　) A．1 B．0或1 C．0或±1 D．任意非负数 答案：B 任何一个数的立方根的符号与原数的符号相同． （4）根据公式=a可直接写出答案. 本题利用了算术平方根、立方根的意义建立方程，求出字母的值，进而求出2a-3b的立方根，体现了方程思想的应用． 只有0和1的算术平方根等于本身； 只有-1,0和1的立方根等于本身. 4.随堂训练，巩固新知 1．8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．24 答案：B 2．等于（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 答案：B 3．下列各式正确的为（　　） A． B． C． D． 答案：D 4．如果x是64的立方根，那么x的算术平方根是（　　） A．4 B．2 C． D．±4 解析：∵43＝64，∴64的立方根是4，即x＝4. ∵22＝4，∴x的算术平方根是2． 答案：B 5．下列语句： ①81的立方根是3， ②， ③立方根等于平方根的数是1， ④4的算术平方根是2． 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：D 6．若，则的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．15 D．25 解析：∵， ∴x﹣5＝0，y+25＝0， 解得：x＝5，y＝﹣25， ∴． 答案：A 7．计算：＝　　． 答案：﹣ 8．若一个正方体的体积为64，则它的棱长为　　． 答案：4 9．一个正数a的两个平方根是m+7和2m﹣1，则a﹣m的立方根为　 　． 解析：由题意知m+7+2m﹣1＝0， 解得m＝﹣2，∴a＝52＝25， ∴a﹣m＝25﹣（﹣2）＝27， 即a﹣m的立方根为3. 答案：3 10．已知4a+4的立方根是2，2a+4b+2的算术平方根是4，则a+b的平方根是　 　． 解析：∵4a+4的立方根是2，2a+4b+2的算术平方根是4， ∴4a+4＝23＝8，2a+4b+2＝42＝16， 解得a＝1，b＝3，∴a+b＝1+3＝4， ∴a+b的平方根是±2. 答案：±2 11.如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题． （1）当x＝64时，输出的y的值为　　． （2）当输出的y的值为时，输入的x的值可以是　 　．（填写两个不同的x的值） （3）小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？ 解：（1）当x＝64时，64的立方根是4，4 是有理数，当x＝4时，4的立方根是，是无理数， ∴当x＝64时，输出的y的值为； 故答案为：. （2）当y＝时，（）3＝2，所以输入的x的值可以是2. ∵23＝8，∴输入的x的值可以是8； 综上所述：当输出的y的值为时，输入的x的值可以是2或8. 故答案为：2或8（答案不唯一）. （3）∵1的立方根永远是1，﹣1的立方根永远是﹣1，0的立方根永远是0， ∴小明输入x的值可能是1或﹣1或0，就永远得不到y的值． 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1.立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于 a，即x3=a，那么这个数x就叫做 a 的立方根，也叫做a的三次方根. 2.一个正数有一个正的立方根. 一个负数有一个负的立方根. 0的立方根是0. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 1.课本P68练习T1-T2 2.课本P68习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 14.2　立方根 立方根的性质： 一个正数有一个正的立方根. 一个负数有一个负的立方根. 0的立方根是0. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 立方根是在学生学习了平方根、平方根的性质和算术平方根等知识的基础上学习的.本节从内容上看与上一节平方根的内容基本平行,主要研究立方根的概念、立方根的性质和求法;从知识的展开顺序上看也基本相同，本节也是先从具体的计算出发归纳给出立方根的概念，在探究新知的环节，主要采取类比学习的方法，并结合问题,由学生归纳得出立方根的概念及表示方法.然后讨论立方与开立方的互逆关系,研究立方根的特征.整节过程中,学生能积极参与教学的全过程,小组讨论热烈，学生学得轻松,对知识的理解和掌握较好。 应该让学生进一步体会立方运算的结果是幂，开立方的结果是立方根。通过填空题的形式，反复体现它们之间的关系.同时可以增加有关立方根的实际应用问题,体现立方根在实际生活中的应用。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$