14.1 第2课时 算术平方根-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

14.1 平方根 第2课时 算术平方根 课题 平方根 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P63—65 教学目标 1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根. 2.理解算术平方根与平方根的联系与区别. 教学重难点 重点：算术平方根的概念和性质. 难点：对算术平方根意义的理解. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 一起思考下面的问题： 【问题1】学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴,他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布,画上他自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少? 老师：怎样算出画布的边长呢？(思考1分钟) 【问题2】填表: 正方形面积 1 9 16 36 正方形边长 老师：怎样根据正方形的面积，确定正方形的边长呢？ 总结：已知正方形的面积求边长，本质上就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题. 那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢? 下面我们来共同探讨这个问题. 从正方形的面积，引出求一个正数的正的平方根,让学生初步认识算术平方根,为下面的学习做好铺垫. 2.实践探究，学习新知 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题.实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数. 一个正数的两个平方根互为相反数，我们把一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.也就是，在等式x2=a(x≥0)中，规定x=. 思考：这里的数a应该是怎样的数呢？ 【试一试】你能根据等式112=121，说出121的算术平方根吗？并用等式表示出来吗？ 解：121的算术平方根是11，用等式表示为=11. 实际上，当求得一个正数的算术平方根后，它的负的平方根可相应得到. 例如：9的算术平方根为3，它的负的平方根就是-3，即=3，-=-3. 的算术平方根为，它的负的平方根为，即 ，. 0的平方根只有一个，就是0，我们也说0的算术平方根为0，即. 【知识拓展】平方根与算术平方根的区别和联系. 区别：（1）概念不同：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根;非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根. （2）表示方法不同:正数a的平方根表示为±;正数a的算术平方根表示为. （3）个数及取值不同：一个正数的算术平方根只有一个，是正数；一个正数的平方根有两个,一正一负且互为相反数. 联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，一个数的算术平方根是一个数的平方根中的一个. （2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有. （3）0的平方根、算术平方根都是0. （4）求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算. 【做一做】 求下面各数的算术平方根： （1）144； （2）0.01； （3）； （4）132； （5）（-16）2. 【解题思路】确定哪个正数的平方等于题目中给出的数，这个正数就是所求数的算术平方根. 解：（1）因为122=144，所以144的算术平方根是12. （2） 因为0.12=0.01，所以0.01的算术平方根是0.1. （3） 因为，所以的算术平方根是. （4） 132的算术平方根是13. （5） 因为162=（-16）2，所以（-16）2的算术平方根是16. 【总结】由平方根的意义，易知：当a>0时，. 【例题讲解】 例2 计算下列各式. （1）；　（2）-;　（3）± ； （4）-. 说明:要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和算术平方根的概念进行求解，注意解题格式. 解：（1）=1.3.　 （2）-=—=-15.　 (3)±=±=±. （4）-=-=—17. 例3 某小区有一块长方形草坪，为了加强保护，小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900 m2，求所需篱笆的总长度. 【思路分析】（1）如果设所需篱笆的宽为x m，它的长是多少？怎样列方程？（2）怎样求出x的值？ 解：设这块长方形草坪的宽为x m,则长为4x m. 因为长方形草坪的面积是900 m2， 所以4x·x=900，即x2=225， 所以x=±=±=±15. x=-15不合题意,舍去. 所以x=15， 2×(15+4×15）=150(m). 答:所需篱笆的总长度是150 m. 【知识拓展】 小组讨论得出: 语言表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 使学生初步体会算术平方根的意义. 让学生在小组间进行必要的合作与交流，以加深学生对平方根及算术平方根意义的理解。 体会平方根和算术平方根的实际意义，理解实际情境中值的取舍；规范步骤，让学生养成良好的书写习惯。 3.学以致用，应用新知 考点1 求一个数的算术平方根 【例1】求下列各数的算术平方根. (1）49;　(2)0.36;　(3）. 思路分析：根据开平方运算,可得一个数的算术平方根. 解：（1）=7.　 （2）=0.6.　 （3）. 考点2 算术平方根的性质 【例2】若a，b为实数，且，则a+b的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【思路分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解析】∵， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴a+b＝﹣1. 【答案】B 考点3 算术平方根的应用 例3 小区准备将原来的400 m2的正方形草坪改建成300 m2的长方形球场，且其长、宽的比为5：3，如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【思路分析】根据算术平方根的性质得出正方形的边长，从而得出这些栅栏的总长度，求出长方形的长和宽得出长方形的面积，与长方形的球场面积进行比较即可得出答案． 解：∵正方形的草坪面积为400m2， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为20×4＝80m， 设长方形球场的长和宽分别为5x、3x， ∴（5x+3x）×2＝80，解得：x＝5， ∴长方形的长为5×5＝25m，宽为3×5＝15m， ∴长方形的面积为25×15＝375m2＞300m2， ∴这些铁栅栏够用． 巩固算术平方根的求法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0. 注意：a²≥0，|a|≥0，≥0. 结合实际生活中的场景，利用算术平方根的性质进行解答，体现了数学在生活中的应用. 4.随堂训练，巩固新知 1．64的算术平方根是（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D． 答案：B 2．的算术平方根是（　　） A． B．﹣ C． D．± 解析：＝，的算术平方根是． 答案：C 3．（﹣5）2的算术平方根是（　　） A．±5 B．﹣5 C．5 D．25 解析：（﹣5）2＝25，25的算术平方根是5. 答案：C 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：D 5．若，则x+y的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 解析：∵， ∴x﹣3＝0，y+2＝0， ∴x＝3，y＝﹣2， 则x+y＝3+（﹣2）＝1． 答案：B 6.已知（4﹣a）2与互为相反数，则a﹣b的平方根是（　　） A． B． C． D． 解析：由题意得，（4﹣a）2+＝0， 而（4﹣a）2≥0，≥0， ∴4﹣a＝0，b+1＝0， 解得a＝4，b＝﹣1， ∴a﹣b＝5， ∴a﹣b的平方根是. 答案：C 7．求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 解：（1）； （2）， （3）； （4）． 8．已知x、y是实数，且（y﹣2）2与互为相反数，求x2+y3的平方根． 解：∵（y﹣2）2与互为相反数， ∴y﹣2＝0，2x+2＝0， 解得：y＝2，x＝﹣1， 则x2+y3＝（﹣1）2+23＝9， 故x2+y3的平方根为±3． 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1.算术平方根的定义：一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。 2.表示方法：（a≥0）（即非负数有算术平方根） 3.的意义： 表示一个数的平方的算术平方根，它等于这个数的绝对值.即： 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 1.课本P64--65练习T1-T3 2.课本P65习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 14.1　平方根 第2课时 算术平方根 表示一个数的平方的算术平方根，它等于这个数的绝对值.即： 提纲掣领，重点突出. 教后反思 算术平方根的教学是在学生认识了非负数的平方根的基础上进行的，一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根.教学中首先让学生由正方形的面积,得到它的边长，感知求边长就是求这个正数的正的平方根,从而引出算术平方根的定义。通过算术平方根与平方根的对比,让学生更进一步认识它们之间的联系与区别。通过“做一做”及例题，让学生通过练习强化计算算术平方根的能力，达到了对知识的理解和掌握。教学设计环节紧凑，学生参与热情高,小组合作意识强，突出了本节课的重点。 因为有平方根的知识的铺垫，所以学生比较容易理解算术平方根的概念.在本节中,教师在总结的结果时，例题较少，忽略了让学生发现问题、总结规律这个环节。 对于这一问题的探究,教师可侧重安排计算正数、0、负数的平方的算术平方根，从这三种类题中让学生发现规律，然后通过小组的合作讨论，最后总结出规律. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$