14.1 第1课时 平方根-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

14.1 平方根 第1课时 平方根 课题 平方根 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P60—63 教学目标 1.能说出平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根. 2.知道开平方与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根. 3.知道表示的是非负数a的平方根. 教学重难点 重点：平方根的概念及求法. 难点：有关平方根的运算. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 情景一：我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算，但在现实生活中，有些问题仅运用这五种运算是无法解决的. 已知一个数，我们就可以求出这个数的平方，反过来，如果已知这个数的平方，又能否求出这个数呢？ 我们看下面这个问题： 小明家有一块面积为100 m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来，需要护栏多少米？ 思考一下：要求护栏的长，需要知道什么？ 答：需要知道正方形花圃的边长. 问：解题思路是怎样的呢？ 答：求花圃的边长就是已知一个数的平方等于100，求这个数. 【概念】解决这个问题就要运用一种新的运算，这种运算叫做开平方. 情境二：玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?” 玲玲认为正方形桌子更大，可以多放点书，又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子。于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为70 cm，你能算出这张桌子的周长和面积吗? 如果玲玲更直接地告诉爸爸：“我想要一张面积约为25 dm2的正方形桌子”。爸爸能为她购置到满意的桌子吗? 计算正方形的面积必须要知道正方形的边长，根据边长求面积是乘方运算，而根据面积求边长又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题. 新课程数学课堂强调，从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展. 好的故事情境，充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系，从中体会学习数学的重要性，使学生更能积极地投入到本节的学习之中. 2.实践探究，学习新知 【回答问题】 1.和的平方等于多少?10和-10的平方等于多少？ 解答：，. 102=10×10=100，（-10）2=-10×（-10）=100. 发现：和的平方相同，10和-10的平方相同. 2.平方等于的数有哪些？平方等于100的数呢? 解答：根据第1题，我们发现：平方等于的数有和，平方等于100的数有10和-10. 感受：平方等于一个正数的数有两个. 3.满足x2=25的x的值是多少? 解答：因为52=25，（-5）2=25，所以x的值是5或-5. 【概念】 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 【师生互动】 老师：16的平方根是多少？ 学生：16的平方根是4和-4. 老师：的平方根是多少？ 学生：的平方根是和. 老师：16的平方根是多少？ 学生：16的平方根是4和-4. 【一起探究】 填写下表. x … -3 - —1 0 1 3 … x2 … … 学生填完表格后,引导学生观察： （1）当一个正数和一个负数互为相反数时，它们的平方有什么关系？ （2）正数有平方根吗？如果有,有几个?它们有什么关系? （3）0有平方根吗?如果有，它是什么数？ （4）负数有平方根吗？ 学生独自思考，通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出： （1）它们的平方相等。 （2）一个正数有两个平方根,它们互为相反数。 （3）0有一个平方根，是0本身. （4）负数没有平方根。 【课堂小结】 一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 0只有一个平方根，是0本身. 负数没有平方根. 一个正数有两个平方根：一个正数，一个负数.我们把正数a的正的平方根用符号“”表示，读作“根号a”；把正数a的负的平方根用符号“”表示，读作“负根号a”. 正数a的两个平方根记为.其中，a称为被开方数. 如4的平方根为，被开方数是4； 0.01 的平方根为，被开方数是0.01. 【大家谈谈】 观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系。 我们把求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 【要点提示】 （1）我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根. （2）对于正数来说，开平方与平方互为逆运算. 【例题讲解】 例1 求下列各数的平方根： （1）81； （2）； （3）0.04. 思路分析：利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根. 解:（1）因为(±9）2=81，所以81的平方根为±9，即 ±=±9. （2）因为，所以的平方根为，即 . （3）因为（±0.2)2=0.04，所以0.04的平方根为±0.2， 即±=±0.2. 【思考】 1.±表示什么意思？这里的a可取什么样的数呢? 2.-又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢? 3.下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由. -64，0，(-4）2. 解：-64没有平方根，0的平方根是0，（-4）2的平方根是±4. 【知识拓展】 （1）平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，指的是一种运算，是求平方根的过程. （2）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. （3）平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解：已知底数m和指数2，求幂，是平方运算，即m2=？；已知幂a和指数2，求底数，是开平方运算，即?2=a. 使学生初步体会到：（1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系. 通过具体数的平方根的探究，引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况. 明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明. 理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算. 通过例题，让学生掌握平方根的计算方法，强化对平方根性质的理解，进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0。 3.学以致用，应用新知 考点1 求一个数的平方根 【例1】求下列各数的平方根： (1)16； (2)； (3)1； (4)(-2.1)2. 解：(1)由于42＝16，因此16的平方根是4与-4， 即±＝±4. (2)由于()2＝，因此的平方根是与-， 即±＝±. (3)1＝，由于＝，因此1的平方根是与-， 即±＝±. (4)(-2.1)2＝2.12，因此(-2.1)2的平方根是2.1与-2.1， 即±＝±2.1. 考点2 利用平方根的意义求字母的值 【例2】某正数的两个不同的平方根是2a-1与-a＋2，则这个数是(　　) A．1 B．3 C．-3 D．9 解析：因为一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a＋2， 所以(2a-1)+(-a＋2)＝0，解得a＝-1. 故这个数是（2a-1）²=（-3）²=9. 答案：D 巩固平方根的求法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0. 易错警示：注意本题要求的是这个数，而不是字母a的值. 4.随堂训练，巩固新知 1．16的平方根是（　　） A．2 B．﹣4 C．4 D．±4 解析：16的平方根是±4. 答案：D 2．下列各数没有平方根的是（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 解析：∵正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根， ∴﹣1没有平方根. 答案：A 3．下列说法正确的是（　　） A．正数的平方根是它本身 B．100的平方根是10 C．﹣10是100的一个平方根 D．﹣1的平方根是﹣1 答案：C 4．平方根等于它本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 解析：平方根等于它本身的数是0． 答案：B 5．若2（x﹣1）2＝18，则x等于（　　） A．4 B．﹣2 C．±3 D．﹣2或4 解析：2（x﹣1）2＝18， （x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3， 所以x＝﹣2或x＝4. 答案：D 6．（﹣3）2的平方根是（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．9 解析：（﹣3）2＝9，9的平方根是±3． 答案：C 7．如图是小佳的练习册，她答对的题目数量是（　　） 判断题：（1）﹣x2一定没有平方根（√） （2）﹣9的平方根是±3（×） （3）25的平方根是5（×） （4）6是36的一个平方根（√） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 解析：∵当x＝0时，﹣x2有平方根，∴小佳对（1）的解答错误； ∵﹣9没有平方根，∴小佳对（2）的解答正确； ∵25的平方根是±5，∴小佳对（3）的解答正确； ∵36的平方根是±6，∴6是36的一个平方根，∴小佳对（4）的解答正确. 综上所述，小佳她答对的题目是（2）（3）（4），共3道． 答案：C 8．一个正数的两个平方根分别为2m﹣1与2﹣m，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 解析：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣1与2﹣m， ∴2m﹣1+2﹣m＝0，解得m＝﹣1． 答案：C 9．若a2﹣49＝0，则a＝　 　. 答案：±7 10．若正数a的两个平方根分别是x+2和2x﹣5，则a的值为　 　． 解析：∵正数a的两个平方根分别是x+2和2x﹣5 ∴x+2+2x﹣5＝0，解得：x＝1． ∴a＝（x+2）2＝32＝9． 答案：9 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1.平方根的定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 2.表示方法：当a为正数时，a的平方根为±. 3.平方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数. （2）0只有一个平方根，是0本身. （3）负数没有平方根. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 1.课本P62练习T1-T3 2.课本P62-63习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 14.1　平方根 第1课时 平方根 平方根的性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数. （2）0只有一个平方根，是0本身. （3）负数没有平方根. 提纲掣领，重点突出. 教后反思 1.对于平方根性质的得出，要在设计题型上进行归纳，多举些例子,让学生发现、总结规律。 2.在规范书写格式上，要通过多媒体展示、个别指导等方式，通过练习，使学生的书写格式做到规范。 3.对于平方根的计算，可出几个开平方开不尽的数，如求2的平方根等，使学生认识到2的平方根就是±，不能再进行化简。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$