14.1 平方根课件 2026—2027学年冀教版 数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方根与算术平方根，通过“正方形花圃面积求护栏长度”的生活情境导入，引导学生从具体问题出发，经探究活动（填表、思考）抽象出平方根概念，再延伸至性质、表示方法及开平方运算，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境问题培养数学眼光，通过“问题链+填表活动”发展数学思维，如用正方形面积问题观察现实，通过表格总结平方根性质培养推理意识。双重非负性例题（如已知平方根求字母值）强化数学语言表达，助力学生提升抽象能力与运算能力，教师可借助结构化流程高效教学。

14.1 课时1 平方根的概念与性质 小明家有面积为100㎡的正方形花圃，花圃周围要用护栏围起来，则需要护栏多少米？ 分析：要求出护栏的长，需要知道正方形的边长，即找到一个平方等于100的数. 平方等于100的会是什么样的一个数呢？我们来探究一下吧...... 2 1.和的平方等于多少？ 10和－10的平方等于多少？ 2.平方等于的数有哪些？平方等于100的数呢？ 3.满足x2 = 25的x的值是多少？ 活动1.完成下列问题. 探究一：平方根的概念. ，； ，； 思考：如果我们定义为25的平方根，小组讨论说说平方根的该怎么定义？ 平方根： 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就 叫做a的平方根(square root)，也叫做a的二次方根. 比如，的平方根为和，100的平方根为10和－10. 知 1.下列说法： ①±5是25的平方根；②49的平方根是－7； ③8是16的平方根；④－3是9的一个平方根． 其中正确的个数是(　　) A．1　 　B．2　 　C．3　 　D．4 B x ... -3 -1 0 1 3 ... x2 ... ... 9 1 0 1 9 问题1：正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？ 问题2：0和负数有平方根吗？ 活动.填写下列表格，回答问题. 探究二：平方根的性质. 平方根的性质： (1) 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2) 0只有一个平方根，是0本身； (3)负数没有平方根． 平方根的表示方法： 一个正数有两个平方根：一个正数，一个负数. 正数 a的正平方根用符号“ ”表示，读作“根号a”; 正数a的负平方根用符号“ ”表示，读作“负根号a”. 正数a的两个平方根记为 ，其中a称为被开方数. 被开方数a一定是怎样的一个数？ a≥0 如4的平方根为 ，被开方数是4；0.01的平方根为 ，被开方数是0.01. 被开方数 根指数 （省略不写） 1.已知3＋a的平方根是±5，求a的值； 2.一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a－1，求a的值和这个正数x的值． 解：(1)因为 所以25的平方根是 ，即3+a=25,所以a=22. (2)因为正数x有两个平方根，分别是－a＋2与2a－1， 所以－a＋2+2a－1=0，解得a=－1,所以 1.运用平方根的定义中被开方数等于它的平方根的平方列方程； 2.运用平方根的性质中正数的两个平方根的关系列方程，通过方程思想求相关待定字母的值是数学中常用的方法． 观察P69中的“大家谈谈”的两类运算，说说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系. 活动.填写下列表格，回答问题. 探究三：平方与开方运算的关系. 开平方：求一个数的平方根的运算； 方法：借助平方运算来求一个正数的平方根 开方与平方的关系：对于正数来说，开平方与平方互为逆运算. 36 平方运算 开平方运算 求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3) . 解：(1)因为，所以的平方根为，即； (2)因为，所以的平方根为，即； (3)因为，所以的平方根为，即. 注意: 平方根的通用符号是，防止粗心大意漏掉“”而出错. 1.36的平方根是±6的数学表达式是(　D　) A. ＝6 B. ± ＝6 C. ＝±6 D. ± ＝±6 D 2. 下列说法正确的是(　A　) A. 0的平方根是0； B. 1的平方根是1 C. －1的平方根是－1； D. 0.01是0.1的一个平方根 3.若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是( ) A．－3 B．－1 C．1 D．－3或1 D A 两个不同点的方位角问题 4. 填表： x 0 －2 － ± ±2 ±11 x2 0 4 ​ 4 121 5. 25的平方根是 ⁠. ± ±2 ±11 0 4 ​ 　 6.计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； 解：（1）；（2）； （3）因为，所以 平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 开平方及相关运算 性质：（1）正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.（2）0的平方根还是0.（3）负数没有平方根. 课时2 算术平方根 1.平方根的概念和开平方运算： 一般地，如果一个数x 的平方等于a，即x2=a，那么这个数x 就叫做a 的平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方.. 2.平方根的性质： (1)正数有两个平方根，它们互为相反数. (2)0只有一个平方根，是0本身. (3)负数没有平方根. 20 学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9 dm2的正方形画布，临摹自己的最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 因为32=9，所以这个正方形画布的边长应取3 dm. 活动1.完成下列情境中的问题，并回答相关思考. 探究一：算术平方根的概念和性质. 思考：根据上表可知已知正方形的面积求边长，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，那么这个正数与其平方是什么关系呢？ 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 1 3 4 6 算术平方根： 一个正数的两个平方根互为相反数.我们把一个正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根(arithmetic square root). 记法：a(a≥0)的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 例如：25的算术平方根，记作. 思考： 1.一个正数的算术平方根有几个？ 2.0的算术平方根有几个？ 3.-2有算术平方根吗？负数有算术平方根吗？ 注意：1.一个正数的算术平方根有1个；2.0的算术平方根有1个，是0； 3.负数没有算术平方根. 算术平方根的性质： (1)正数的算术平方根是正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根； 当求得一个正数的算术平方根后，它的负的平方根可相应求得. 1.下列说法中，正确的是(　　) A．9的平方根是±3，应表示为92＝±3 B．±3是9的平方根，应表示为± ＝3 C．9开平方能得到9的平方根，即 ＝±3 D．9的算术平方根是3，应表示为 ＝3 D 注意根式的符号意义： (1)± (a≥0)表示非负数a的平方根; (2) (a≥0)表示非负数a的算术平方根； (3)把非负数a开平方，它的平方根可用± 表示． (1)144；(2)0. 01；(3)；(4)132；(5)(－16)2. 解：(1)144的算术平方根是 ，即 = 12； (2)0.01的算术平方根是 ，即 =0.1； (3) 的算术平方根是 ，即 = ； (4)132的算术平方根是 ，即 =13 ； (5)(-16)2的算术平方根是 ，即 =16 . 活动1.求下列各数的算术平方根，并回答问题. 探究二：算术平方根的双重非负性. 思考：观察个数算术平方根的运算结果，想想的结果是怎样的？ = (a≥0) (a≤0) a -a 即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. 算术平方根具有双重非负性： ①被开方数a是________，即a≥0; ②算术平方根本身是非负数，即_______. 非负数 1.计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 解： 某小区有一块长方形草坪. 为了加强保护，小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来. 已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪面积是900 m². 求所需篱笆的长度. 解：设这块长方形草坪的宽为x m，则长为4x m. 因为长方形草坪的面积是900 m²，所以，即， 所以，因为不合题意，舍去， 所以，所以. 答：所需篱笆的总长度是150 m. 活动2.利用算术平方根求解实际问题. 1. 9的算术平方根是(　C　) A. ±3 B. ±9 C. 3 D. －3 C 2. 下列说法中正确的是(　A　) A. 因为62＝36，所以6是36的算术平方根 B. 因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根 C. 因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根 D. 以上说法都不对 A 3. 下列说法中正确的是(　A　) A. 表示25的算术平方根； B. － 表示2的算术平方根； C. 2的算术平方根记作± ； D. 2是 的算术平方根； A 4.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9， 那么图中阴影部分的面积为___. 2 5.已知y＝ ＋5，求x＋y的值． 解：由题意可得x－8≥0且8－x≥0， 即x≥8且x≤8. ∴x＝8. 当x＝8时，y＝5. ∴x＋y＝8＋5＝13. 定义 算术平方根 性质 正数a有两个平方根± ，我们把正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根.记作 . 算术平方根的计算：. (1)非负数有算术平方根，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0. (2)算术平方根双重非负性，. $