第13章 全等三角形 回顾与反思-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

第十三章 全等三角形 回顾与反思 课题 回顾与反思 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P55—58 教学目标 1. 从整体的角度，回顾本章所学过的内容，找出知识之间的联系，形成知识网络. 2. 梳理、归纳本章知识，使学生加深对所学知识的认识和理解. 3. 进一步理解证明的意义，理解基本事实、定义、定理在证明中的作用. 教学重难点 重点：全等三角形的判定和性质. 难点：三角形相关知识的综合应用. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1. 知识结构 总结反思知识结构，培养学生善于归纳、总结的能力. 二.总结与反思 本章的主要内容是命题与证明、全等三角形的性质及判定、三角形的尺规作图. 推理是数学的基本思维方式，也是一种基本的数学思想方法，在本章中，我们主要进行演绎推理，即证明.证明是说明一个命题正确性的重要方法.证明的依据是已学过的定义、基本事实、法则和定理等.证明要合乎逻辑，证明过程中要做到步步有据. 1. 命题、逆命题、证明. 一般地，命题是有条件和结论两部分组成.将一个命题的条件和结论互换，就得到这个原命题的逆命题.原命题和它的逆命题的真假没有必然的联系.若要说明一个命题是假命题，只要举反例即可；若要说明一个命题是真命题，则需要证明. 2.全等三角形. 全等三角形是能够完全重合的两个图形，而全等三角形是全等图形之一.两个图形全等包括两个方面：一是形状相同，二是大小相等.两者缺一不可. 全等三角形的性质是：对应边相等、对应角相等. 判定两个三角形全等的三个基本事实是： （1）如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等； （2）如果两个三角形的两边和他们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； （3）如果两个三角形的两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等. 全等三角形的判定定理：如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等. 3.三角形的尺规作图. 已知三条边、两边、及其夹角或两角及其夹边，都可以用尺规作三角形. 3. 专题复习 专题一　三角形全等的判定与性质的综合应用 【专题分析】 三角形全等的判定要根据具体题目的具体情况确定采用“SAS"“ASA"“AAS"“SSS”中的哪个,而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题. 【例1】如图所示,AC，BD相交于点O，且OA=OC,OB=OD. 求证AD∥BC. 证明:在ΔAOD和ΔCOB中, ∵ ∴ΔAOD≌ΔCOB(SAS). ∴∠A=∠C，∴AD∥BC. 专题二　全等三角形的性质及判定的实际应用 【专题分析】 全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题,解题的关键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大. 【例2】如图所示，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走40米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走40米到D处,在D处转90°沿DE方向再走28米，到达E处,此时A,C与E在同一直线上,求点A，B之间的距离. 解:∵从B处与AB成90°角的方向出发， ∴∠ABC=90°， ∵BC=40米，CD=40米，∠EDC=90°, ∴在ΔABC与ΔEDC中， ∴ΔABC≌ΔEDC，∴AB=DE， ∵沿DE方向再走28米，到达E处，即DE=28米, ∴AB=28米. 答:点A,B之间的距离为28米. 专题三　利用尺规作图-—作三角形 【专题分析】 尺规作图是数学的重要知识之一，作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图，很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的. 【例3】如图所示，已知ΔABC. (1)请用直尺和圆规作一个三角形,使所作三角形与ΔABC全等; （2)请简要说明你所作的三角形与ΔABC全等的依据. 解:（1)如图所示，ΔEDF即为所求.（作法不唯一) （2)在ΔEDF和ΔABC中， ∴ΔEDF≌ΔABC(SSS）. 专题四　分类讨论思想 【专题分析】 对于三角形全等的性质和判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题，常用到分类讨论的思想. 【例4】如图所示,点F,C在线段BE上，且∠1=∠2，AC=DF,若使ΔABC≌ΔDEF,则需补充一个条件是　　　　或　　　　或　　　　.  答案：BC=FE　∠A=∠D　∠B=∠E 专题五　转化思想 【专题分析】 证三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法，证线段（或角)相等,往往转化为证线段(或角)所在的两个三角形全等.当需要证的两个全等的三角形不明显时,还要添加辅助线,构造全等三角形. 【例5】如图所示,D,E分别是等边三角形ABC的边BC，CA延长线上的点,且CD=AE,连接AD，BE,求证AD=BE.（提示：等边三角形的三个内角均为60°) 证明:∵ΔABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB, ∴∠EAB=∠ACD=120°, ∵在ΔABE和ΔCAD中, ∴ΔABE≌ΔCAD(SAS），∴AD=BE. 专题六　数学建模思想 【专题分析】 全等三角形在实际生活中有很多的应用.比如，测量工具内槽宽的工具——卡钳,测量不能直接测量的两点间的距离等.对于这些实际问题,往往是根据实际情况建立数学模型,利用数学原理解决问题. 【例6】如图所示，有一座小山，现要在小山A,B的两端开一条隧道，施工队要知道A,B两端的距离,但A,B间的距离不能直接测量，请你用已学过的知识按以下要求设计测量方案： (1）画出测量图; (2)写出测量方案; (3）写出推理过程. 解:（1）如图所示. （2）①找个能同时看见A点和B点的C点, 然后连接AC并延长到D,使AC=DC; ②连接BC并延长到E,使BC=EC,测量DE的长度,即为A,B间的距离. (3)在ΔACB和ΔDCE中， ∴ΔACB≌ΔDCE(SAS),∴AB=DE. 专题七　类比思想 【专题分析】 对于几何图形的运动问题（如平移、旋转等）以及一些规律探究题,常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单,而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论,类比基本图形，可以解决复杂图形的问题,主要考查观察、推理、猜测的能力. 【例7】如图所示,ΔABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D,E是BC上的两点,且∠DAE=45°.将ΔAEC绕着点A顺时针旋转90°后,得到ΔAFB，连接DF. （1）DF与DE之间有何数量关系？ （2）证明你猜想的结论. 解：(1)猜想:DF=DE. 证明：(2）∵∠BAC=90°,∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°. ∵将ΔAEC绕着点A顺时针旋转90°后，得到ΔAFB, ∴AF=AE，∠FAB=∠EAC， ∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=45°=∠DAE. 在ΔADF和ΔADE中, ∴ΔADF≌ΔADE（SAS），∴DF=DE. 通过专题复习帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点. 四.本章节测试 单元测试卷 一、单选题 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形周长相等 B．全等三角形面积相等 C．全等三角形对应角都相等 D．全等三角形对应边都相等 2．已知图中的两个三角形全等，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用三角形的（    ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 4．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，OA=OB=OC=OD，且点A、O、D与点B、O、C分别共线，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线AD于点E，分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（    ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 6．如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 7．如图，在中，于点D，于点E，与相交于点F，若，则与相等的线段是（    ） A． B． C． D． 8．如图4所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的， 若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数是（  ） A．80° B．100 ° C．60° D．45°． 二、填空题 9．如图，△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠BCB′的值为 ． 10．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为 度． 11．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于 度    12．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接．一只蜗牛在爬行速度不变的情况下，从C爬到D所用的最短时间与它爬行线段________________所用的时间相同．（不要使用图形中未标注的字母） 三、解答题 13．如图，给出五个等量关系：①，②，③，④，⑤．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明． 14．尺规作图：如图，已知线段a，． 求作：等腰三角形，使其腰长为a、底角为． 15．如图，已知点M是的边上一点，，且，则的长为多少？ 16．已知：如图，，且，E为的中点． （1）求证：； （2）在不添加辅助线的情况下，除外，请再写出两个与的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明） 17．如图（1），，将和的顶点B与顶点E重合，把绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O． （1）当旋转至如图（2）位置，点，C，D在同一直线上时，与的数量关系是________． （2）当继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 单元测试卷答案 1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．C 7．B 8．A 9．1：4 10．65 11．15° 12． 13．已知：． 求证：． 证明：在和中， ∵， ∴， ∴．（答案不唯一） 14．解：就是所求的等腰三角形． 15．解：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴． 16．解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵E是的中点， ∴， ∴； （2）根据平行线间的距离处处相等，及等底等高的三角形面积相等，可知的面积与的面积相等．（答案不唯一） 17．解：（1）， ． 又，， ． （2）（1）中的结论成立．理由如下： ， ，，，，，即． 在与中，， ， ， ， 即． 又， ． 通过单元测试卷，进一步巩固本章所学内容，检测学习效果. 学科网（北京）股份有限公司 $$