13.4 三角形的尺规作图-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

13.4 三角形的尺规作图 课题 三角形的尺规作图 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P52—54 教学目标 1.会利用尺规作三角形. 2.会写出作三角形的已知、求作. 3.知道作图的依据，会运用两个三角形全等的条件解释作图的合理性. 教学重难点 重点：训练和提高学生的尺规作图技能,能依据作图语言作出相应的图形. 难点：培养学生用规范的作图语言描述作法，并能依据要求作出相应的图形. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 导入一： 嘉琪书上的三角形被墨迹污染了一部分,你能帮他在作业本上画出一个与书上完全一样的三角形吗? 如何作一个三角形与已有的三角形一样呢？ 导入二： 前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些简单的几何证明题.在学习中常常需要有准确、方便的画图方法，画出符合条件的几何图形.本节我们学习几种作图方法. 导入三： 学生回顾三角形的基本元素,以及学过的基本作图——作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角. 【做一做】 1.如图所示,已知线段a，求作线段AB，使得AB=a. 2.如图所示,已知∠α,求作∠AOB，使∠AOB=∠α. 说明:对于两种基本作图，可以根据两个具体题目，找两名学生板演示范,其他学生在练习本上完成.完成后，请学生试着叙述作法,教师规范学生的语言. 情境导入，让学生带着问题进入本节的学习,体现学习数学知识的重要性及数学应用的价值. 直接导入，切入主题,使学生很自然地进入到本节课的学习之中. 对两个基本作图的复习,是为后面的学习做铺垫.教师应对做得好的学生给予鼓励,说明学习知识要扎实,基础要打好，后续的学习才会比较容易. 2.实践探究，学习新知 探究一：尺规作图的意义 说明：我们前面所画的图形大都是用刻度尺、三角尺、量角器和圆规等各种工具画出的.实际上,只用直尺(没有刻度)和圆规也可以画出一些图形.这种方法被称为尺规作图.用直尺（没有刻度)和圆规作图，是一种具有特殊要求的作图方法，这种作图方法不必用具体数据,只是按给定图形进行作图，这也是它与画图的区别所在. ［知识拓展]　画图一般不限定工具,既可以用直尺和圆规,也可以用其他辅助工具，比如量角器、三角板、刻度尺等.在尺规作图中，直尺的作用只能用来连接两点之间的线段或过两点画直线和射线. 探究二:尺规作三角形 师生共同探索、研究、交流、经历利用尺规作三角形,学生用自己的语言表述作图的过程.本环节学生要按要求完成三个尺规作三角形的内容： (1)已知三角形的两角及一边,求作这个三角形; (2)已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形； (3)已知三角形的三边,求作这个三角形. 说明：在此环节中要求学生小组合作完成，对于学生出现的问题，教师巡视指导,再全班讲评，并用多媒体演示画图的过程. 1.基础练习 活动内容：①如图所示，你能用尺规作一个直角三角形,使其两条直角边分别等于已知线段a,b吗？并写出作法. ②如图所示,已知∠α和∠β，线段a，用尺规作一个三角形,使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β，且∠α的对边等于a. 2.拓展提高 活动内容：如图所示，已知线段a，b和∠α，求作ΔABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a,另有一边等于b. 做完后进一步提问:同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢?你从中可以感悟到什么? 【教材例题】已知三角形的三条边,求作这个三角形. 如图所示，已知线段a，b,c， 求作ΔABC,使AB=c，AC=b,BC=a. 作法: （1）作一条线段AB=c；(2)分别以A，B为圆心，以b,a为半径画弧,两弧交于C点;（3）连接AC,BC. 如图所示的ΔABC就是所求作的三角形. 课件展示： 想一想:你作的三角形和其他同学作的三角形是什么关系？为什么? 想一想：三条线段满足什么条件时,才能作出三角形? 活动1:已知三角形的两角和一边，求作三角形. (1）已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形. 如图所示,已知∠α,∠β，线段c， 求作ΔABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c. 作法：(1）作∠DAF=∠α；（2）在射线AF上截取线段AB=c;(3）以B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C.则ΔABC就是所求作的三角形. （2）已知两角和一角的对边，求作三角形. 如图所示,已知∠α,∠β,线段c, 求作ΔABC,使∠A=∠α，∠B=∠β，AC=c. 先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠γ.由此转换成已知∠α和∠γ及其这两角的夹边c,求作这个三角形. 活动2：已知三角形的两边和一角，求作三角形. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形. 如图所示，已知线段a,b,∠α, 求作：ΔABC，使BC=a，AB=b,∠ABC=∠α. 作法:(1)作∠DBE=∠α,（2）在射线BD，BE上分别截取BA=b,BC=a，（3）连接AC,ΔABC就是所求作的三角形. 想一想：已知三角形的两边和一边的对角能做出三角形吗?若能,请作出图形,若不能，请说明理由. 如图所示,已知线段a,b,∠α，求作ΔABC，使BC=a,AB=b，∠ACB=∠α. 【规律方法小结】　要掌握尺规作图的具体操作方法,当作图要求写作法时，要注意语言的规范性. (1)用直尺作图时的规范性语言：①过点✕作直线✕✕,作线段✕✕，以点✕为端点作射线✕✕.②连接✕✕，以点✕为端点作线段✕✕,延长线段✕✕到点✕,使✕✕=✕✕. （2）用圆规作图时的规范性语言：①以点✕为圆心,✕✕为半径作弧.②以点✕为圆心,✕✕为半径作弧,交✕✕于点✕. 3.学以致用，应用新知 【例1】如图所示,ΔABC是不等边三角形,DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与ΔABC全等,这样的三角形最多可以作出 （ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 答案：B 解析:可以作4个，分别是以D为圆心,AB长为半径作圆，以E为圆心，AC长为半径作圆.两圆相交于两点(DE上、下各一个），经过连接后可得到两个.然后以D为圆心,AC长为半径作圆，以E为圆心,AB长为半径作圆.两圆相交于两点（DE上、下各1个)，经过连接后可得到2个. 【例2】如图所示,已知∠α,∠β和线段a,求作ΔABC,使BC=a，∠B与∠α的补角相等,∠C=∠β. 解：第一步,作直线MN，并在上面取点B.如图(1)所示. 第二步,作∠MBP=∠α.如图(2）所示. 第三步,在BN上截取线段BC=a.如图（3)所示. 第四步，作∠BCQ=∠β，射线CQ,BP相交于点A，得到ΔABC，如图（4）所示. 4.随堂训练，巩固新知 1.利用尺规作图不能作出唯一三角形的是 (　　） A.已知三边 B.已知两边及夹角 C.已知两角及夹边 D.已知两边及其中一边的对角 答案：D 解析:A.边边边(SSS),B.两边夹一角(SAS），C.两角夹一边（ASA)都是成立的,只有D是错误的. 2.根据下列已知条件,能作出唯一ΔABC的是（　　) A.∠A=36°，∠B=45°,AB=4 B.AB=4,BC=3，∠A=30° C.AB=3,BC=4，CA=8 D. ∠C=90°，AB=6 答案：A 解析:A.符合全等三角形的“ASA”，能作出唯一三角形;B.属于“SSA”情况，不能作出唯一三角形；C不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形;D只有两个条件,不能作出唯一三角形. 3.下列作图属于尺规作图的是 （　　） A.画线段MN=3 cm B.用量角器画出∠AOB的平分线 C.用三角尺作过点A垂直于直线l的直线 D.已知∠α,用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α 答案：D 解析:A.画线段MN=3 cm,需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有刻度的,A错误;B.用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里,B错误;C.用三角尺作过点A垂直于直线l的直线，三角尺也不在尺规作图工具里,C错误；D.正确. 4.如图所示,小敏做《绿卡初中学霸创新题》中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分,她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形,然后粘贴在上面,她作图的依据是 (　　) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 答案：C 解析:图中的三角形已知一条边以及夹这条边的两个角,利用全等三角形的判定“ASA”即可作图. 6.作图题:(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法） 已知:∠α，线段c，求作：ΔABC，使∠A=∠α，AB=2c，AC=3c. 解:如图所示. 5.课堂小结，自我完善 1.作三角形的方法 作一个三角形与已知三角形全等，根据的就是三角形全等的条件.因此，作三角形时，所给的条件可以是三条边或两条边及夹角或两角及夹边或两角及一角的对边. 2.作三角形的步骤 在寻找作法的时候,一定要根据已知画出草图，确定作图步骤. 3.尺规作图的基本要求 ①画图形；②写作法；③保留痕迹. 有些作图题，只要求保留痕迹,不用写作法. 引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 1.课本P53练习T1,T2; 2.课本P53-54习题A组，B组. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高解题能力和做题效率. 板书设计 13.4　三角形的尺规作图 探究一：尺规作图的意义 探究二：尺规作三角形 提纲掣领，重点突出. 教后反思 1.本节安排了几个尺规作图,让学生自己探索作法,并小组合作作出图形.通过这几个作图使学生经历从自己探索到小组合作作图的过程，巩固尺规作图的技能.在此基础上,还引导学生利用已获得的三角形全等的条件来说明大家所作出的三角形是不是全等的,即说明作法的合理性，从而有意识地向学生渗透直观操作和推理相结合的理念.从这一堂课来看，基本上达到了目标.对于“已知、求作和作法"的书写要求，根据学生的实际情况循序渐进，做到在正确作图的基础上能用自己的语言表述作图的过程. 2.在探讨的过程中留给学生独立完成的时间较少,以至于有少部分同学没有完成作图，教师对于个别学生的指导也不够到位.学生没有完全掌握作图的步骤. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$