13.4 三角形的尺规作图课时作业2026-2027学年冀教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上册13.4三角形的尺规作图同步练，新授课场景下分层递进设计，从基础操作到综合应用，强化几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|尺规作图含义、基本作图、三角形作图（SSS/SAS/ASA）|选择填空辨析概念，规范作图题培养空间观念| |能力提升|综合作图（如等边三角形）、性质探究|含多步骤作图与内角关系推理，发展推理能力| |拓展探究|实际应用（玻璃配形）、作图原理辨析|结合生活情境设计问题，强化模型意识与批判性思维|

冀教版·八年级数学上册　13.4 三角形的尺规作图 课时作业 13.4 三角形的尺规作图 课时作业 冀教版 八年级数学上册　第十三章　全等三角形 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　用时：______分钟 学习目标 1．了解尺规作图的含义，会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角． 2．会用尺规作三角形：已知三边、已知两边及其夹角、已知两角及其夹边． 3．能用三角形全等的判定方法说明作图的道理，会规范书写作图的“已知、求作、作法”． 4．通过作图体会“三角形全等的条件”与“三角形唯一确定”之间的关系． 一、知识点梳理 知识点1　尺规作图的含义 （1）在几何里，把只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法叫做尺规作图． （2）直尺的作用：连接两点画线段，画射线，画直线，延长线段． （3）圆规的作用：以任意一点为圆心、任意长为半径画圆或画弧；在线段或射线上截取一条线段等于已知线段． （4）作图时要保留作图痕迹（如弧线），作图完成后要写出结论． 知识点2　两种基本作图 基本作图1：作一条线段等于已知线段．作法：先画一条射线，再用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段． 基本作图2：作一个角等于已知角．已知∠AOB，求作∠A′O′B′=∠AOB．作法（如图1）： ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； ②画一条射线O′B′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′； ③以点D′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点C′； ④过点C′画射线O′A′，则∠A′O′B′就是所求作的角． 道理：连接CD，C′D′，由O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，得△C′O′D′≌△COD（SSS），所以∠A′O′B′=∠AOB． 图1　作一个角等于已知角 知识点3　三角形的尺规作图 （1）已知三边作三角形（依据SSS）．已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c． 作法：①作线段BC=a；②分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A；③连接AB，AC，△ABC就是所求作的三角形． （2）已知两边及其夹角作三角形（依据SAS）．先作一个角等于已知角，再在角的两边上分别截取线段等于已知的两边，连接两个截点． （3）已知两角及其夹边作三角形（依据ASA）．先作一条线段等于已知边，再在这条线段的两个端点处，在线段的同侧分别作两个角等于已知角，两角的另一边的交点就是三角形的第三个顶点． （4）已知两边及其中一边的对角，作出的三角形不一定唯一；已知三个角，作出的三角形大小不确定． 知识点4　作图题的规范书写 尺规作图题一般包括：已知、求作、作法、结论四个部分（若题目只要求“保留作图痕迹，不写作法”，则只画图并写结论）． 常用作图语言：“连接AB”“延长线段AB到点C”“以点O为圆心，a为半径画弧，交OA于点C”“在射线AM上截取AB=a”“作∠AOB=∠α”等． 二、典例精析 例1（已知三边作三角形）已知：线段a，b，c（如图2）．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c． 图2 【作法】如图3，①画射线BM，在射线BM上截取BC=a； ②以点B为圆心，c为半径画弧；再以点C为圆心，b为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC．△ABC就是所求作的三角形． 图3 【说明】若另有一人按同样方法作出△A′B′C′，由SSS可知△ABC≌△A′B′C′，所以作出的三角形是唯一确定的． 例2（已知两边及其夹角作三角形）已知：∠α，线段a，c（如图4）．求作：△ABC，使∠B=∠α，BC=a，BA=c． 图4 【作法】如图5，①作∠MBN=∠α； ②在射线BM上截取BC=a，在射线BN上截取BA=c； ③连接AC．△ABC就是所求作的三角形． 图5 例3（已知两角及其夹边作三角形）已知：∠α，∠β，线段c（如图6）．求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c． 图6 【作法】如图7，①作线段AB=c； ②在AB的同侧，分别以点A，B为顶点作∠MAB=∠α，∠NBA=∠β，射线AM与BN相交于点C． △ABC就是所求作的三角形． 图7 【方法点拨】作三角形时，先确定一条边（或一个角）的位置，再逐步确定其余的顶点；画弧时要注意半径的选择． 三、基础巩固 （一）选择题 1．下列作图语句中，属于尺规作图的是（　　） A．用刻度尺画线段AB=3 cm B．用量角器画∠AOB=60° C．用圆规在射线OM上截取OA=a D．用三角板画一个直角 2．用尺规作一个角等于已知角，其作图的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步应该是（　　） A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角 C．作两条线段等于已知三角形的边 D．作一个角等于已知角或作一条线段等于已知线段 4．根据下列条件，能用尺规作出唯一的△ABC的是（　　） A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=6 5．如图1是“作一个角等于已知角”的作图痕迹，其中以点D′为圆心所画弧的半径是（　　） A．OC B．OD C．CD D．O′D′ 6．已知线段a=2 cm，b=3 cm，c=6 cm，以这三条线段为边作三角形，下列说法正确的是（　　） A．能作出一个三角形 B．能作出两个三角形 C．不能作出三角形 D．能作出无数个三角形 （二）填空题 7．尺规作图是指只用________和________作图． 8．已知三边作三角形，用到的基本作图是______________________________． 9．在△ABC中，已知AB=4，∠A=45°，要根据“ASA”作出唯一的△ABC，还需要知道________的大小． 10．如图是某同学作△DEF时留下的作图痕迹，则他作图时所用的已知条件是______________________，依据的基本事实是________． 11．已知两边及其中一边的对角作三角形时，作出的三角形________（填“一定”或“不一定”）唯一． （三）解答题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹） 12．已知：线段a，b（如图）．求作：△ABC，使BC=a，AB=AC=b．（写出作法） 13．已知：∠α，线段a，b（如图）．求作：△ABC，使∠C=∠α，CB=a，CA=b．（写出作法） 14．已知：∠α，∠β，线段c（如图）．求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c．（只保留作图痕迹，不写作法） 15．已知：△ABC（如图）．求作：△DEF，使△DEF≌△ABC．（写出作法，并说明作图的依据） 四、能力提升 16．已知：线段a（如图）． （1）求作：△ABC，使AB=BC=CA=a； （2）用量角器量一量所作三角形的三个内角，你有什么发现？ 17．已知：∠α，线段a（如图）． （1）求作：△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=2∠α； （2）在所作的△ABC中，用含α的式子表示∠A的度数． 18．已知：∠α，线段c，b（如图），且b<c． （1）求作：△ABC，使∠B=∠α，BA=c，AC=b； （2）满足条件的三角形能作出几个？这说明了什么？ 五、拓展探究 19．一块三角形玻璃被打碎成三块（如图），小明想到玻璃店配一块与原来完全一样的玻璃． （1）他只带其中一块去就可以了，他应该带哪一块？请说明理由； （2）玻璃店的师傅如何用尺规作图的方法画出这块玻璃的形状？请简要说明． 20．如图，A，B两点分别位于一条河的两岸，为了测量A，B两点间的距离，小亮设计了如下方案：在河岸上过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC=CD，再过点D作DE⊥BF，并在DE上找一点E，使A，C，E三点在同一条直线上．这时测得DE的长就是A，B两点间的距离． （1）请说明这个方案的道理； （2）若测得DE=36 m，BC=20 m，求A，B两点间的距离． 21．下面是小丽“已知三边作三角形”的作法，请找出其中的错误并改正． 已知：线段a，b，c．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c． 作法：①画线段BC=a； ②以点B为圆心，b为半径画弧；以点C为圆心，c为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC，△ABC就是所求作的三角形． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．C　【解析】尺规作图只能使用没有刻度的直尺和圆规，刻度尺、量角器、三角板都不能使用，只有C符合． 2．D　【解析】作图中O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，由SSS得△C′O′D′≌△COD，从而∠A′O′B′=∠AOB． 3．D　【解析】已知两边及其夹角作三角形时，可以先作角，也可以先作一条边，所以第一步可以是作一个角等于已知角或作一条线段等于已知线段． 4．C　【解析】A中3+4<8，不能构成三角形；B属于“SSA”，三角形不唯一；C属于“ASA”，三角形唯一；D只知道一个角和一条边，三角形不唯一． 5．C　【解析】由作法第③步可知，以点D′为圆心，CD长为半径画弧． 6．C　【解析】∵2+3=5<6，两边之和小于第三边，∴不能作出三角形． 7．没有刻度的直尺；圆规． 8．作一条线段等于已知线段． 9．∠B　【解析】“ASA”需要两角及其夹边，AB的两个端点处的角是∠A和∠B，所以还需要知道∠B的大小． 10．两角及其夹边；ASA　【解析】图中在线段DE的两个端点处都有作一个角等于已知角的痕迹，所以已知条件是两角及其夹边． 11．不一定　【解析】如本课时第18题，已知两边及其中一边的对角，满足条件的三角形可能有两个． 12．作法：①画射线BM，在射线BM上截取BC=a； ②分别以点B，C为圆心，b为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC．△ABC就是所求作的三角形（如图）． 13．作法：①作∠MCN=∠α； ②在射线CM上截取CB=a，在射线CN上截取CA=b； ③连接AB．△ABC就是所求作的三角形（如图）． 14．所作图形如图所示，△ABC就是所求作的三角形． 15．作法（方法不唯一，以“SSS”为例）：①画射线EM，在射线EM上截取EF=BC； ②以点E为圆心，BA长为半径画弧；以点F为圆心，CA长为半径画弧，两弧相交于点D； ③连接DE，DF．△DEF就是所求作的三角形（如图）． 依据：由作法可知DE=AB，EF=BC，DF=AC，∴△DEF≌△ABC（SSS）． （也可以用“SAS”或“ASA”的方法作图．） 四、能力提升 16．解：（1）作法：①作线段BC=a；②分别以点B，C为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点A；③连接AB，AC，△ABC就是所求作的三角形（如图）． （2）经测量，三个内角都等于60°．发现：三边都相等的三角形，三个内角也都相等，都等于60°． 17．解：（1）作法：①作线段BC=a； ②以点B为顶点，BC为一边，作∠CBM=∠α； ③以点C为顶点，CB为一边，在BC的同侧连续作两次等于∠α的角，得到∠BCN=2∠α； ④射线BM与CN相交于点A，△ABC就是所求作的三角形（如图）． （2）∠A=180°-∠B-∠C=180°-α-2α=180°-3α． 18．解：（1）作法：①作∠MBN=∠α； ②在射线BN上截取BA=c； ③以点A为圆心，b为半径画弧，交射线BM于点C1，C2； ④连接AC1，AC2．△ABC1和△ABC2都是满足条件的三角形（如图）． （2）能作出两个．这说明：两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不能作为判定两个三角形全等的方法． 五、拓展探究 19．解：（1）应该带第③块．理由：第③块保留了原三角形的两个角及它们的夹边，根据“ASA”，由这两个角和夹边可以作出唯一的三角形，与原三角形全等． （2）方法：先量取（或用圆规截取）第③块玻璃上完整的那条边，用尺规作出等长的线段；再在线段的两个端点处分别作两个角等于第③块玻璃上的两个角，两角另一边的交点即为第三个顶点，所得三角形就是原玻璃的形状． 20．解：（1）∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°． 在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC，BC=DC，∠ACB=∠ECD（对顶角相等）， ∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=ED． 所以测得DE的长就是A，B两点间的距离． （2）由（1）知AB=DE=36 m，即A，B两点间的距离是36 m．（BC=20 m是多余条件） 21．错误在第②步．因为AB=c，AC=b，所以应以点B为圆心、c为半径画弧，以点C为圆心、b为半径画弧． 改正：②以点B为圆心，c为半径画弧；以点C为圆心，b为半径画弧，两弧相交于点A． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $