12.4 分式方程-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(冀教版2024)河北专版

12.4 分式方程 课题 分式方程 课型 新授课 教学内容 教材第18-21页的内容 教学目标 1.了解分式方程的概念. 2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过2个），会检验根. 3.在探究分式方程及其解法的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣. 教学重难点 教学重点：理解并掌握掌握解分式方程的基本思路和解法. 教学难点：了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 小红家到学校的路程为38 km。小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km,才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度。 一起探究：（可以教师引导学生提出问题，进行探究.） （1）上述问题中有哪些等量关系？ （2)根据你所发现的等量关系，设未知数并列出方程。 【分析】老师可引导学生找出问题中的等量关系，为“小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红上学路上的时间”“公共汽车的速度=9×小红步行的速度”. 思路一：如果设小红步行的速度为x km/h，可怎么列方程？ =9 思路二：如果设小红步行的时间为x h,又该怎么列方程? =1 2.探索新知，归纳知识 活动一 大家谈谈 （分式方程的相关概念） 老师：上面得到的方程与我们已经学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？ 归纳：像=9和=1这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）. 【拓展延伸】　分式方程与整式方程的定义区分: 特点 说明 举例 整式 方程 方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数 有“元”和“次”的说法 3x+=-x是一元一次方程； 2x+y=3是二元一次方程 分式 方程 方程里分母中含有未知数 x—=2,+1=y 活动二 教材例题 （解分式方程） 【教材例题】 例1 解方程： （1）=9； （2）=1. 解：（1）方程两边同乘x（1-x）， 36x=18（1-x）. 解这个整式方程，得x=. 经检验，x=是原分式方程的解. （2）方程两边同乘9x， 36+18=9x. 解这个整式方程，得x=6. 经检验，x=6是原分式方程的解. 活动三 观察与思考 （分式方程的增根） 老师：刚才我们学习了分式方程和分式方程的解法，知道解分式方程时要验根.那么为什么一定要验根呢？学习了下面的知识,同学们一定会迎刃而解. 解分式方程+1. 教师提出问题，让学生解方程。 解:方程两边同乘x—1,得x+1=-（x-3）+(x-1), 解这个整式方程，得x=1. 老师：x=1是方程的解吗?为什么? 说明:学生先独立解决，然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根. 事实上，因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）. 【归纳】在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程，再将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验.当分母的值不等于0时，这个整式方程的根就是分式方程的根；当公分母的值为0时，分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根. 【教材例题】 例2 解方程：-=3。 解：方程两边同乘x+2,得 2-（2-x）=3（x+2）, 解这个整式方程，得 x=-3， 经检验,x=-3是原分式方程的根. 【归纳】老师：产生增根的原因呢？ 学生：因为在去分母时，在分式方程的两边同时乘以一个等于0的整式，所以得到的根使分式方程无意义. 老师：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 3.学以致用，应用新知 考点1 列分式方程 【例1】（教材P109习题9.3T1）某地修建一条轻轨铁路，要使工程提前3个月完成，需将原定的工作效率提高12%.如果设原计划完成这项工程用x个月，那么x应满足怎样的方程？ 答案： 考点2 解分式方程 【例2】 解方程： (1)＝； (2)＝－3. 解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x， 去括号，得5x－10＝7x，移项、合并同类项，得2x＝－10，系数化为1，得x＝－5. 检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0， 所以x＝－5是原方程的解； (2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2. 检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0， 所以原方程无解． 考点3 由分式方程的解确定字母的取值范围 【例3】关于 x 的方程的解是正数，则a的取值范围是_________. 解析：去分母得 2x＋a＝x-1，解得 x＝-a-1. 因为关于x的方程的解是正数， 所以x＞0且x≠1.所以-a-1＞0且-a-1≠1， 解得a＜-1且a≠-2. 答案：a＜-1且a≠-2 考点4 与分式方程的增根相关的问题 【例4】 若关于 x 的方程有增根，求 m 的值. 解：方程两边同乘以x-2，得2-x+m=2x-4. 所以m=3x-6. 因为该分式方程有增根， 所以x-2=0，即x=2.所以m=0. 4.随堂训练，巩固新知 （1）解下列分式方程： 解：①方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，得2(x+1)=4， 解得x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0， 所以x=1不是原分式方程的解， 则原分式方程无解. ②方程两边同乘3(x-1)，得3x-3(x-1)=2x， 解得x=1.5. 检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0， 所以原分式方程的解是x=1.5. ③原分式方程可化为 , 方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ， 解得x=6， 检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0， 所以原分式方程的解是x=6. （2）如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．3 答案：B （3）若关于x的分式方程＋＝无解，求m的值． 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2. 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×2＝－10， 解得m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得(m－1)×(-2)＝－10， 解得m＝6. 所以m的值是1，－4或6. 5.课堂小结，自我完善 （1）分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （2）分式方程的解法：一般地，解分式方程时，先将方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母），约去分母，从而转化成整式方程，然后再解这个整式方程. （3）增根：像x=3这样的根，是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，称为增根.（也可以说是使分式方程的公分母为0的未知数的值） 6.布置作业 课本P20练习1-2题，习题A，B组. 通过此部分设计，使学生感知研究分式方程在实际生活中的必要性. 鼓励学生从不通的角度分析问题、解决问题，拓展学生的思维. 探究提问，学生思考并讨论，以归纳得出分式方程的有关概念. 分式方程解的概念可由一元一次方程的解的概念类比得到. 通过一步一步提问的分式引导学生，由含分母的整式方程的解法类比得到分式方程的解法. 鼓励学生根据教师的板书过程，分组交流讨论、总结出解分式方程的步骤. 检验的过程类比一元一次方程解的检验过程. 带领学生探究分式方程有无解可能性，以及体会验根的必要性. 先引入有解的分式方程，再引入无解的分式方程，最后解释为何会存在无解，从而表明需要验证，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣. 解分式方程一定要验根. 解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解． 注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验． 增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 板书设计 12.4 分式方程 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般步骤 提纲掣领，重点突出. 教后反思 这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法，来学习分式方程的解法，从而归纳出解分式方程的基本步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要验根，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验的必要性，避免解题出错． 学生对于同分母的分式的加减运算掌握较好,但对于异分母的分式加减就掌握得不很理想,很多学生对于分式的通分还很不熟练，仍要强调计算结果应该为最简分式或整式. 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $$