精品解析：河南省郑州市登封市嵩阳中学2024--2025学年下学期九年级4月月考数学试卷

2024-2025学年河南省郑州市登封市嵩阳中学九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 到2025年，郑州经济总量将突破 万亿元，城市首位度大幅提高．数据“ 万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 星期天看菊展时爸爸与妈妈走散了，爸爸通过微信位置共享发现妈妈位于他北偏西方向，则爸爸的位置位于妈妈的（ ） A. 北偏东方向 B. 南偏西方向 C. 南偏东方向 D. 南偏东方向 4. 分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （ ） A. B. C. D. 5. 张老师在课堂上进行10道计算题测试，结束后，张老师将全班同学答对题目的数量x （道）及对应人数y （人）的情况进行统计，结果如表．则下列错误的是 （ ） x/道 6 7 8 9 10 y/人 4 4 6 20 16 A. 全班共有50人 B. 此种调查方式属于全面调查 C. 全班x数据的中位数是9 D. 全班x数据的众数是20 6. 如图，内接于，为直径，过点A的切线交射线于点D，． 则 （ ） A. B. C. D. 7. 设a为大于3的任意整数，关于代数式 的值的说法正确的是 （ ） A. 它一定是5的倍数 B. 它一定是3的倍数 C. 它一定是4的倍数 D. 它一定是6的倍数 8. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值可以是 （ ） A. B. 0 C. D. 9. 若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请任写一个解为非负数的一元一次方程：__________． 12. 若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为__________． 13. 人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮，即基因，，均为双眼皮．现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是__________． 14. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1） 计算： （2） 解方程： 17. 为了更好地满足家长和学生的需求，周口某中学积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，为了解家长对课后延时服务的满意情况，在全校学生家长中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成 如图尚不完整的统计图． （1）本次活动共调查了 人，扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若本校共有4800人，请通过此次问卷调查结果，估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数． 18. 如图， 在 中， ，现需要在上作一点D，使将 分割成两个等腰三角形． （1）点D是否为的中点？ （填“是”或“不是”）； （2）请用无刻度的直尺和圆规找出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （3）根据 （2）中的尺规作图，写出这两个等腰三角形，并说明理由． 19. 屏峰塔位于河南省新密市城区青屏山顶西侧，如图，塔顶记作点A，其正下方水平地面上的点记作点B，张老师站在附近的水平地面上，他想知道屏峰塔的高度．从点C让无人机沿直线匀速飞行2秒到点O处后，悬停一会后沿直线匀速飞行5秒到点A．当无人机在点O处悬停时，测得塔顶A的仰角为地面点C的俯角为若无人机的速度始终为3.6米/秒，求屏峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据： 20. 如图， 点 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，垂足分别为C，D，与相交于点E．结合以上信息，从下面的两个条件中选择一个作为已知，求k的值．（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分） 条件①：四边形 的面积为2 条件②： 21. 洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元． （1）求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？ （2）若该单位购进A，B两种汉服刚好用去4600元（两种汉服都要购买），求共有几种购买方案． 22. 现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 （1）求和的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 23. 综合与实践 在四边形中，点是边上一点 （可与端点重合），点关于直线的对称点为点， 连接． （1）如图1，若四边形为正方形，点与点重合． 与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2， 若四边形为菱形， 为边的中点，请写出与的数量关系及位置关系，并仅就图2的情形说明理由； （3）在 （2） 的条件下， 连接， 将绕点A在平面内旋转，当 时，请直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省郑州市登封市嵩阳中学九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质．解题的关键是掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 根据绝对值的性质直接求解． 【详解】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得 故选：B． 2. 到2025年，郑州经济总量将突破 万亿元，城市首位度大幅提高．数据“ 万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解： 万亿 故选：． 3. 星期天看菊展时爸爸与妈妈走散了，爸爸通过微信位置共享发现妈妈位于他北偏西方向，则爸爸的位置位于妈妈的（ ） A. 北偏东方向 B. 南偏西方向 C. 南偏东方向 D. 南偏东方向 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键，根据妈妈位于爸爸的方向与爸爸位于妈妈的方向相反且度数相同即可得出答案． 【详解】解：∵妈妈位于爸爸北偏西方向， ∴爸爸位于妈妈的南偏东方向， 故选：C． 4. 分别观察下列几何体，其中只有曲面的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每一个几何体围成的面是平面还是曲面是解题的关键． 根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】解：A. 只有曲面，故该选项符合题意； B. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； C. 有曲面也有平面，故该选项不符合题意； D. 只有平面，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 张老师在课堂上进行10道计算题测试，结束后，张老师将全班同学答对题目的数量x （道）及对应人数y （人）的情况进行统计，结果如表．则下列错误的是 （ ） x/道 6 7 8 9 10 y/人 4 4 6 20 16 A. 全班共有50人 B. 此种调查方式属于全面调查 C. 全班x数据的中位数是9 D. 全班x数据的众数是20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，调查方式判断，根据中位数和众数的定义和全面调查和抽查的定义即可求解，掌握中位数和众数的定义是解题的关键． 【详解】解：A．总人数有：（人），故A正确，不符合题意； B．此种调查方式属于全面调查，故B正确，不符合题意； C．∵共有人，中位数是第个数的平均数，第个数都是9， ∴该班同学答对题目的数量的中位数是道，故C正确，不符合题意； D．∵出现了次，出现的次数最多， ∴全班x数据的众数是9，故D错误，符合题意． 故选：D． 6. 如图， 内接于，为直径，过点A的切线交射线于点D，． 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得 ，由此可解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， 故选C． 7. 设a为大于3的任意整数，关于代数式 的值的说法正确的是 （ ） A. 它一定是5的倍数 B. 它一定是3的倍数 C. 它一定是4的倍数 D. 它一定是6的倍数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，对代数式进行因式分解，然后分析其中是否含有数字因式即可． 【详解】解：， a为大于3的任意整数， 它一定是4的倍数． 故选C． 8. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值可以是 （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后求解即可 【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知： 且， 解得：且， ∴k的值可以是； 故选D． 9. 若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点位于y轴的负半轴， ，，， ， ，， 直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选A． 10. 如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将 沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知： ，即证明，则有 ，即，在 中，，即可求出，即，根据对称有： ，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解． 【详解】连接，过C点作于点M，如图， 根据平移有：， ∴， 根据翻转，可知： ，，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∵，， ∴，， ∴，，，， ∵在 中，， ∴， ∴，即， 根据对称，点O的对应点为点C，有： ， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴解得：，即， ∴， ∵， ∴根据平移可知：点C向右平移得到点F， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请任写一个解为非负数的一元一次方程：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 写出满足一个解为非负数的一元一次方程． 【详解】解：解为非负数， ， 解为非负数的一元一次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的整数解，根据有且仅有两个整数解可得m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有且仅有两个整数解， ∴， 故答案为：． 13. 人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮，即基因，，均为双眼皮．现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们的孩子是单眼皮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： B b B b 由表格可知，一共有4种等可能性的结果数，其中他们的孩子是单眼皮的结果数有1种， ∴他们的孩子是单眼皮的概率为， 故答案为：． 14. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和定理求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为__________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，先证明，得到，然后分当时，当时，两种情况分类讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示， 由题意得：， ∵，， ∴ ，； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图2所示，当时， ∴， ∴； 如图3所示，当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当为等腰三角形时，的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1） 计算： （2） 解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂进行计算即可； （2）去分母化为整式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：（1） （2） 去分母得到， 解得 经检验，是分式方程的解 17. 为了更好地满足家长和学生的需求，周口某中学积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，为了解家长对课后延时服务的满意情况，在全校学生家长中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成 如图尚不完整的统计图． （1）本次活动共调查了 人，扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若本校共有4800人，请通过此次问卷调查结果，估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数． 【答案】（1）80，； （2） 补全统计图如下： （3）2100人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，求扇形统计图圆心角，有样本估计总体，根据条形统计图与扇形统计图的综合求出参与调查的总人数是解答本题的关键． （1）由由条形图与扇形统计图可知：比较满意的家长人数有20人，占 ，求出参与调查的总人数，进而求出扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数即可； （2）求出非常满意的人数补全统计图即可； （3）用总人数乘以“基本满意”的占比即可． 【小问1详解】 解：由条形图与扇形统计图可知：比较满意的家长人数有20人，占 ， 本次活动共调查人数为 人， 扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是 ， 故答案为：80，； 【小问2详解】 非常满意的人数为 （人） 【小问3详解】 根据题意可得： 人， 答：估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数为2100人． 18. 如图， 在 中， ，现需要在上作一点D，使将 分割成两个等腰三角形． （1）点D是否为的中点？ （填“是”或“不是”）； （2）请用无刻度的直尺和圆规找出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （3）根据 （2）中的尺规作图，写出这两个等腰三角形，并说明理由． 【答案】（1）是 （2） 如图，点D即为所求作的点； （3）和为等腰三角形； 理由如下： 如图，连接， 根据作图可知：垂直平分， ∴ ， ∵ 为直角三角形， ∴， ∴和为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质． （1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，进行解答即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求作的点； （3）根据垂直平分，得出 ，根据直角三角形的性质得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵斜边的中线等于斜边的一半， ∴当点D是为的中点时，， ∴此时将 分割成两个等腰三角形． 故答案为：是 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 屏峰塔位于河南省新密市城区青屏山顶西侧，如图，塔顶记作点A，其正下方水平地面上的点记作点B，张老师站在附近的水平地面上，他想知道屏峰塔的高度．从点C让无人机沿直线匀速飞行2秒到点O处后，悬停一会后沿直线匀速飞行5秒到点A．当无人机在点O处悬停时，测得塔顶A的仰角为地面点C的俯角为若无人机的速度始终为3.6米/秒，求屏峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据： 【答案】屏峰塔的高度为米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握仰角和俯角的定义、特殊角三角函数是解题的关键．过点 作于点 ，过点作于点，证明四边形是矩形，则求出米，米，即可求出答案． 【详解】解：过点 作于点 ，过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ 在 中，米， ∴米 在中，米， ∴米 ∴米， 答：屏峰塔AB的高度为米． 20. 如图， 点 在反比例函数 的图象上， 轴， 轴，垂足分别为C，D，与相交于点E．结合以上信息，从下面的两个条件中选择一个作为已知，求k的值．（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分） 条件①：四边形 的面积为2 条件②： 【答案】 选择条件①四边形 的面积为2，求解如下： 轴，轴，， 四边形 是矩形， ， ，， ，， ，解得 ， ， 将点代入得：， 选择条件②，求解如下： ，， ，，，， 轴，轴，， 四边形 是矩形， ，， ， ， 又， ， ， ， 解得 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．选择条件①：先根据矩形的判定与性质可得，再根据点A，B的坐标可得，从而可得 ，，利用待定系数法求解即可得；选择条件②：先求出，再根据矩形的判定与性质可得，从而可得，代入可得，然后根据即可得． 【详解】略 21. 洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元． （1）求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？ （2）若该单位购进A，B两种汉服刚好用去4600元（两种汉服都要购买），求共有几种购买方案． 【答案】（1）购进A种汉服每套元，购进B种汉服每套元． （2）共有5种购买方案． 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是关键． （1）设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据购进A，B两种汉服刚好用去4600元（两种汉服都要购买）列出方程，求出方程的整数解即可． 【小问1详解】 解：设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据题意得： ， 解得：． 答：购进A种汉服每套元，购进B种汉服每套元． 【小问2详解】 解：设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据题意得： ， 解得：， 当时，； 当 时，； 当时，； 当 时，； 当时，； 即共有5种购买方案． 22. 现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 （1）求和的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 【答案】（1）， （2）这两个位置之间的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将分别代入解析式计算即可； （2）将变为，得到火箭第一级运行的最高点为，由比火箭运行的最高点低，得出，进而得到对应的的值，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：火箭第二级的引发点坐标为 ， 将代入得 解得； 将代入得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为， 直线 解解析式为， ， 火箭第一级运行的最高点为， ， 将 代入得， 解得： 或 ， 火箭第二级的引发点坐标为 ， 不符合题意，舍去， ； 将 代入得， 解得； ， 这两个位置之间的水平距离为． 23. 综合与实践 在四边形中，点是边上一点 （可与端点重合），点关于直线的对称点为点， 连接． （1）如图1，若四边形为正方形，点与点重合． 与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； （2）如图2， 若四边形为菱形， 为边的中点，请写出与的数量关系及位置关系，并仅就图2的情形说明理由； （3）在 （2） 的条件下， 连接， 将绕点A在平面内旋转，当 时，请直接写出 的值． 【答案】（1）， （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质和正方形的性质证明，证明四边形是平行四边形， 则即可； （2）连接，证明，则，设，求出，，，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，点关于直线的对称点为点，点与点重合 ∴垂直平分，，， ∵正方形中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ 故答案为：， 【小问2详解】 ，，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴ 是等边三角形，平分， ∴， ∵为边的中点， ∴ ∵点关于直线的对称点为点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 即 【小问3详解】 设与相交于点 ，如图， 当将绕点在平面内旋转，当点N旋转到的中点，点旋转到的中点时，满足题意，即将绕点在平面内旋转到时满足题意，此时， 在等边 中，设 ， 由（2）知则，，， ∴， 当将绕点在平面内旋转到与关于点A成中心对称时，即将绕点在平面内旋转到时，三点共线，满足题意，此时，则，， ∵， ∴， 综上可知，的值为或． 【点睛】此题考查了轴对称的性质、旋转的性质、解直角三角形、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握特四边形的性质、旋转的性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $