安徽省合肥市第八中学2026届高三暑假线上统一作业2数学试题

1/4 2023级高三年级暑假线上数学统一作业 2 命题人：操瑞康 审题人：金启富 考试说明：1.考查范围：高考内容. 2.试卷分值:150 分；考试时间:120 分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效. 考试结束后只交答题卷. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知集合   ( ) 31,2,3,4,5 , R log 1 1S Q x x= =  −  ，则 S Q =（ ） A． B． 1 C． 2,3,4 D． 1,2,3 【答案】C 【分析】先利用对数函数的单调性解出集合Q中的对数不等式，再利用集合的交集运算即可求解. 【详解】 ( )3log 1 1x −  ， ( )3 3log 1 log 3x −  ， 0 1 3x  −  ， 1 4x   ，  R 1 4Q x x =    ，  1,2,3,4,5S = ，  2,3,4S Q = . 故选：C. 2．已知复数 (1 2i)z  − 在复平面内对应点的坐标为 3,1（ ），则 z =（ ） A． 1 7 i 5 5 + B． 1 i 5 + C． 1 i 5 − D． 1 7 i 5 5 − 【答案】A 【分析】由已知得到 (1 2i) 3 iz  − = + ，利用复数的除法求出 z 即可. 【详解】由已知复数 (1 2i)z  − 在复平面内对应点的坐标为 3,1（ ）， 则 (1 2i) 3 iz  − = + ， 所以 ( )( ) ( )( ) 3 i 1 2i3 i 1 7i 1 7 i 1 2i 1 2i 1 2i 5 5 5 z + ++ + = = = = + − − + . 故选：A. 3．已知点F 为抛物线C ： ( )2 2 0y px p=  的焦点，点 ( )3,M m 在抛物线C 上，且 4MF = ，则抛物线C 的方程为（ ） A． 2y x= B． 2 2y x= C． 2 4y x= D． 2 6y x= 【答案】C 2/4 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得 p ，即可求得抛物线方程. 【详解】根据题意，连接MF ，过M 作MH 垂直于抛物线的准线 2 p x = − ，垂足为H ，作图如下： 由抛物线定义可知 3 4 2 2 M p p MF MH x= = + = + = ，解得 2p = ， 故抛物线方程为： 2 4y x= . 故选：C. 4．已知 π 6 x = 是函数 ( ) ( ) π sin 2 2 f x x     = +     图象的一条对称轴，则 ( )f x 的图象可以由 ( ) cos 2g x x= 的图象向右平移（ ）个单位长度得到． A． π 3 B． 4π 3 C． 5π 6 D． 7π 6 【答案】D 【分析】根据题意求出，再由诱导公式将 ( )g x 的函数名变成与 ( )f x 的函数名一致，再由平移变换求解 即可. 【详解】由题可知 ( ) π π 2 π Z 6 2 k k + = +  ，解得 π , Z 6 k k= +  ， 因为 π 2   ，所以 0k = 时， π 6  = ， 所以 ( ) π sin 2 6 f x x   = +    ， 因为 ( ) π cos 2 sin 2 2 g x x x   = = +    ， 设 ( )g x 向右平移 ( )0a a  个单位得到 ( )f x ， 则 ( ) π π sin 2 sin 2 2 6 x a x     − + = +        ， 所以 π π 2 2 2 2 π, Z 2 6 x a x k k− + = + +  ， 故 π π, Z 6 a k k= −  ，取 1k = − 得到 7π 6 a = ， 故选：D． 3/4 5．已知函数 ( ) 2 1 ln 2 f x x a x= − 在 ( )0,+ 无零点，则实数a的取值范围为（ ）. A． ( )0,e B． )0,e C． 0,e D． ( ) ( )0, ,e e + 【答案】B 【分析】首先求出导函数 ( ) ( )0 a f x x x x  = −  ，根据选项只需讨论 0a  时函数的单调性，当 0a  时，可 知函数在 ( )0, a 单调递减， ),a + 上单调递增，只需函数的极小值 ( ) 0f a  即可. 【详解】由函数 ( ) 2 1 ln 2 f x x a x= − ，则 ( ) ( ) 2 0 a x a f x x x x x −  = − =  ， 由选项可知 0a  ， 当0 x a  时， ( ) 0f x  ，即函数在 ( )0, a 上单调递减， 当 x a 时， ( ) 0f x  ，即函数在 ),a + 上单调递增， 所以 x a= 是函数 ( )f x 的极小值点， 若要函数 ( )f x 在 ( )0,+ 无零点， 只需 ( ) 0f a  ，即 ln 0 2 a a a−  ， 解不等式可得0 a e  . 故选：B 6．已知等差数列{ }na 的前n项和为 nS ， 9 445, 31nS a −= = ，若 198nS = ，则n = A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】 9 45S = 1 9 5 5 9 45 ( ) 9 5 2 a a a a = + =  = ,所以 1 5 4( ) ( ) 198 (5 31) 11 2 2 2 n n n n n n S a a a a n−= + = +  = +  = ,选 B. 7．定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）来判断降雨程度；其中小雨 （0mm 10mm− ），中雨（10mm 25mm− ），大雨（ 25mm 50mm− ），暴雨（50mm 100mm− ）；小明用一个 圆锥形容器（如图）接了24 小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） 4/4 A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断. 【详解】 做出容器的轴截面，如图所示， 则 200AB = ， 300OC = ， 150CF = ， 则 F 为OC 中点， 则 1 100 2 DE AB= = ， 50DF = ， 由已知在直径为200mm的圆柱内的降雨总体积 2 31 π 125000πmm 3 V DF CF=    = ， 则降雨高度为 2 125000π 12.5mm π 10000π V OA = =  ， 所以降雨级别为中雨， 故选：B. 8．已知函数 ( )f x 的定义域为R ， ( ) exy f x= + 是偶函数， ( ) 3exy f x= − 是奇函数，则 ( )f x 的最小值为 （ ） A． e B．2 2 C．2 3 D．2e 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 ( )f x 的解析式，再利用基本不等式可求得 ( )f x 的最小值. 【详解】因为函数 ( ) exy f x= + 为偶函数，则 ( ) ( )e ex xf x f x−− + = + ，即 ( ) ( ) e ex xf x f x −− − = − ，① 又因为函数 ( ) 3exy f x= − 为奇函数，则 ( ) ( )3e 3ex xf x f x−− − = − + ，即 ( ) ( ) 3e 3ex xf x f x −+ − = + ，② 联立①②可得 ( ) e 2ex xf x −= + ， 由基本不等式可得 ( ) e 2e 2 e 2e 2 2x x x xf x − −= +   = ， 当且仅当e 2ex x−= 时，即当 1 ln 2 2 x = 时，等号成立，故函数 ( )f x 的最小值为2 2 . 故选：B. 5/4 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 的。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列说法正确的是（ ） A．若 A B ，则sin sinA B B．若 30A = ， 5b = ， 2a = ，则 ABC 有两解 C．若cos cos cos 0A B C  ，则 ABC 为锐角三角形 D．若 cos cosa c B a C−  =  ，则 ABC 为等腰三角形 【答案】AC 【分析】根据三角形的性质，和正余弦定理，判断三角函数值的大小，三角形的形状，逐一判断各选项 正误. 【详解】根据三角形性质，由 A B 可知 a b ，根据正弦定理可知2 sin 2 sinR A R B ，可得 sin sinA B ，所以 A 正确； 已知 30A = ， 5b = ， 2a = ，根据正弦定理可知 2 5 π sin sin 6 B = ，解得 5 sin 1 4 B =  ，所以无解，B 错误； 根据三角形性质， πA B C+ + = ，当cos cos cos 0A B C  时，可知cos 0,cos 0,cos 0A B C   ， 所以 ABC 为锐角三角形，C 正确； 由 cos cosa c B a C−  =  得 cos cosa a C c B=  +  ， 边角互化得sin sin cos sin cosA A C C B=  +  ， 由 ( )πA B C= − + 得 ( )sin sin cos cos sin sin cos sin cosB C B C B C A C C B+ = + =  +  ， 化简得sin cos sin cosB C A C= ，即 cos cosb C a C= ，化简得 ( )cos 0b a C− = ， 解得b a= 或 cos 0C = ，所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形，所以 D 错误. 故选：AC. 10．已知曲线 2 2: cos sin 1,C x y + = 其中 , , 2 2       −    则（ ） A．存在 使得C 为两条直线 B．不存在 使得C 为圆 C．若C 为双曲线，则 越大，C 的离心率越大 D．若C 为椭圆，则 越大，C 的离心率越小 【答案】AC 【分析】对于 A，由 0 = 即可判断；对于 B，若 C 为圆，则cos sin 0 =  ，求出 即可判断；对于 C，若 C 为双曲线，可得 π ,0 2     −    ，根据双曲线的离心率公式及正切函数的单调性即可判断. 对于 D， 6/4 若 C 为椭圆，可得 π π π 0, , 4 4 2               ，根据椭圆的离心率公式及正切函数的单调性即可判断. 【详解】对于 A，若 0 = ，则曲线 2: 1C x = ，即 1x =  ，为两条直线，故 A 正确； 对于 B，若 C 为圆，则cos sin 0 =  ，由cos sin = ， π π 2 2     −    ， ，可得 tan 1 = ，解得 π 4  = ，满足 cos sin 0 =  ，故 B 错误； 对于 C， π π , 2 2     −    时，cos 0  ，若 C 为双曲线，则sin cos 0   ，即 sin 0 cos 0      ，得 π ,0 2     −    . 曲线 2 2: cos sin 1C x y + = 可化为 2 2 1 1 1 cos sin x y   + = ， 故双曲线 C 的离心率为 1 cos 1sin1 1 1 1 sin tan cos e     = − = − = − ， 当 π ,0 2     −    时， 1 1 tan y  = − 单调递增，故 C 正确. 对于 D，若 C 为椭圆，则cos 0,sin 0   ，且cos sin  ，所以 π π π 0, , 4 4 2               . 2 2: cos sin 1C x y + = 可化为 2 2 1 1 1 cos sin x y   + = ， 若 1 1 cos sin   ，即 tan 1  ， π π , 4 2        ， 则椭圆 C 的离心率为 1 cos 1sin1 1 1 1 sin tan cos e     = − = − = − ， 当 π π , 4 2        时， 1 1 tan y  = − 单调递增，故 D 错误； 故选：AC. 11．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥 所得的多面体，如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长 均为a的截角四面体，则下列说法正确的是（ ） 7/4 A．直线 AC 与DE 所成角为120 B．该截角四面体的表面积为 27 3a C．该截角四面体的外接球表面积为 211 2 a D． 2AF a= 【答案】BC 【分析】确定截角四面体是由 4 个边长为a的正三角形，4 个边长为a的正六边形构成，还原正四面体可 判定 A 错误，求得截角四面体的表面积和外接球的表面积，可判定 B 正确，连接 ,AE AF ，在直角 AEF△ 中，求得 AF 的长，可判定 D 不正确. 【详解】由题意，截去四面体还原为正四面体，如图（1）所示， 因为 / / , / /AC LI LI EF ，所以 / /AC EF ， 又因为 DEF 为等边三角形，所以 60DEF = ， 即直线 AC 与DE 所成角为60 ，所以 A 错误； 由题意，截角四面体由 4 个边长为a的正三角形，4 个边长为a的正六边形构成， 所以其表面积为 2 2 2 3 3 4 4 6 7 3 4 4 S a a a=  +   = ，所以 B 正确； 如图（2）所示，取上下底面的中心分别为 1 2,O O ，外接球的球心为O， 连接 1 2, , ,OC OH CO HO ， 因为截角四面体上下底面距离为 6 2 6 6 3 3 a a a− = ， 设球的半径为 R ，所以 2 2 2 2 1 2 2 6 3 R O C R O H− + − = ， 即 2 2 2 22 6 3 3 a R R a− = − − ，化简得的 2 211 8 R a= ， 所以球的表面积为 2 2114 2 S R a = = ，所以 C 正确； 连接 ,AE AF ，则 / /AE BD，所以 2AE a= ， 8/4 由正四面体中对棱互相垂直，可得 LI BD⊥ ，所以EF AE⊥ ， 在直角 AEF△ 中， 2 2 2 24 5AF AE EF a a a= + = + = ，所以 D 不正确. 故选：BC. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．在边长为 1 的正方形 ABCD中，E 是CD的中点，F 是 BE 的中点，则 AF DF = . 【答案】 5 16 【分析】首先用向量 ,AB AD将 AF 表示出来，然后用向量 ,AB AD将DF 表示出来，然后运用向量的数量 积公式求出 ·AF DF 的值. 【详解】根据题意画图为： 因为 1 1 1 3 1 2 2 2 4 2 AF AB BF AB BE AB BC CE AB AD= + = + = + + = + ， 所以 3 1 3 1 4 2 4 2 DF DA AF DA AB AD AB AD= + = + + = − ， 所以 2 2 3 1 3 1 3 1 5 4 2 4 2 4 2 16 AF DF AB AD AB AD AB AD          = +  − = − =                . 故答案为： 5 16 . 9/4 13．已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，若 1F ， 2F 与 ( )1 0,B b ， ( )2 0,B b− 所围成的四边形面积为 4，该四边形的内切圆半径为 2 5 5 ，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 2 3 3 / 2 3 3 【分析】首先根据题意画出图象，然后根据四边形面积求出 2bc = ，然后利用内切圆半径求出 2 2 5b c+ = ，联立方程可求得 ,b c的值，从而求出双曲线的离心率. 【详解】由题意， ( ) ( )1 2,0 , ,0F c F c− ，因为四边形面积为 4， 所以 1 2 2 2 4 2 S b c bc=    = = ，所以 2bc = ①. 因为 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2F B F B F B F B b c= = = = + ，所以四边形 1 1 2 2F B F B 为菱形. 通过三角形面积相等 1 1 2 21 1 · 2 2 OF BS bc b c r= = + ， 所以 2 2 2 5 5 bc r b c = = + ，因为 2bc = ，所以 2 2 5b c+ = ②. ①②联立解得 2c = 或者 1c = ，因为c b ，所以 2, 1c b= = . 所以双曲线的离心率为 2 2 2 4 2 3 4 1 3 c c e a c b = = = = − − . 故答案为： 2 3 3 . 14．格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点 的“格点距离”（如： ( 2,1)P − ，则点 P 到原点的格点距离为2 1 3+ = ）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格 点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为 6 时，格点圆的半径有 条（用数字作答）. 【答案】252 【分析】由题设，易知格点圆上的格点都在 | | | | 6x y+ = 上，其中每个象限有 5 个，且相互关于 x、y 轴或 原点对称，分析可得每个格点半径条数为 | | | | | | x x yC + ，进而可求所有格点的半径条数. 【详解】设格点为 ( , )x y ，格点半径为 6，则 | | | | 6x y+ = ， 10/4 ∴对应格点圆图象如下，每条边上有(不含端点)5 个格点， 以第一象限为例，格点有 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) ，其中 (1,5)的半径有 6 条， (2,4)的半径有 15 条， (3,3)的半径有 20 条， (4,2)的半径有 15 条， (5,1)的半径有 6 条， ∴共有 62 条，即对于任意格点，其半径条数有 | | | | | | x x yC + 条， ∴由上，四个象限共有 1 2 3 4 5 6 6 6 6 64 ( ) 248C C C C C + + + + = 条半径，另外数轴上有 (6,0), (0,6), ( 6,0), (0, 6)− − 四 个点，半径共有 0 64 4C = 条， 综上，格点半径为 6 时，格点圆的半径有248 4 252+ = 条. 故答案为：252 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥P ABCD− 中，PA ⊥平面 ABCD， //AB CD， 2 2PA AB CD= = = ， 90ADC = ， ,E F 分别为 ,PB AB的中点． (1)求证： //CE 平面PAD ； (2)求点 B 到平面PCF 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 2 5 5 【分析】（1）根据面面平行的性质定理，转化为证明平面 / /CEF 平面PAD ，即可证明线面平行； （2）方法一，利用等体积转化 B PCF C PBFV V− −= ，即可求点 B 到平面PCF 的距离；方法二，同样利用等体 积转化 P AFC A PFCV V− −= ，即可求解. 11/4 【详解】（1）证明 连接EF ， ∵ ,E F 分别为 ,PB AB 的中点，∴ //EF PA， ∵直线EF 不在平面PAD 内，PA平面PAD ，∴ //EF 平面PAD ， ∵ //AB CD， 2AB CD= ，∴ //AF CD，且 AF CD= . ∴四边形 ADCF 为平行四边形，即 //CF AD， ∵直线CF 不在平面PAD 内， AD 平面PAD ，∴ //CF 平面PAD ， ∵ , ,EF CF F EF CF= 平面EFC ， ∴平面 //PAD 平面EFC ，CE 平面EFC ，则 //CE 平面PAD . （2）方法 1：设 B 到平面PCF 的距离为 h， 因为PA ⊥平面 ABCD，所以PA CF⊥ ， 由于 //CD AF CD AF=， ，所以四边形 ADCF 是平行四边形， 由于 90ADC = ，所以CF AB⊥ ，由于 , ,AB PA A AB PA = 平面PAB， 所以CF ⊥平面PAB，而PF 平面PAB，则CF PF⊥ ， 由 B PCF C PBFV V− −= 得 1 1 3 3 PCF PBFS h S CF  =   ， 即 2 2 1 1 2 2 52 1 51 2 2 PBF PCF BF PA CF S CF BF PA h S PF CF PF      = = = = = + ； 方法 2：∵ 90ADC = ， // , ,AB CD AB AD CF AB ⊥ ⊥ ， 又 PA ⊥平面 ABCD，∴PA CF⊥ ，又PA AB A= ， ,PA AB 平面PAB， ∴CF ⊥平面PAB，而PF 平面PAB，∴CF PF⊥ . 设CF x= ，则 1 1 2 2 AFC x S x=   = ， 1 5 5 2 2 PCFS x x=   = ， 设点A 到平面PCF 的距离为 h，由 P AFC A PFCV V− −= ， 得 1 1 5 2 3 2 3 2 x xh  =  ，则 2 5 5 h = . ∵点 F 为 AB 的中点，∴点 B 到平面PCF 的距离等于点A 到平面PCF 的距离为 2 5 5 . 16．记 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 π 2 2 sin 6 b c a B   = + −    . 12/4 (1)求A ； (2)若 2 3,a ABC= 的面积为 3, D 为 BC 上一点，AD 为 BAC 的平分线，求 AD. 【答案】(1) π 3 A = (2) 2AD = 【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而利用和差角公式化简可求； （2）由 ABC 的面积为 3,得 4bc = ，再由余弦定理得 2 2 16b c+ = ，从而可得 2 6b c+ = ，再由面积公式 ( ) 1 π 1 π 1 3 sin sin 2 6 2 6 4 b AD c AD b c AD=  +  = +  可得解. 【详解】（1）根据题意 π 2 2 sin 6 b c a B   = + −    ， 则由正弦定理得 π 2sin sin 2sin sin 6 B C A B   = + −    ， 即 ( ) π 2sin sin 2sin sin 6 B A B A B   = + + −    ， 即 3 1 2sin sin cos cos sin 2sin sin cos 2 2 B A B A B A B B   = + + −     ， 化简得2sin cos sin 3 sin sinB A B A B= + ， 因为sin 0B  ，所以2 cos 3 sinA A= + ， ∴ π sin 1 6 A   + =    ，由于 ( )0,πA ， 则 π 3 A = ； （2）根据题意， ABC 的面积为 3,即 1 π 3 sin 2 3 bc= ， 则 4bc = ， 又根据余弦定理， ( ) 2 2 2 π2 3 2 cos 3 b c bc= + − ，则 2 2 16b c+ = ， 所以 ( ) 2 2 2 2 24b c b c bc+ = + + = ，即 2 6b c+ = ， 又由 ABC 的面积 ( ) 1 π 1 π 1 3 sin sin 2 6 2 6 4 b AD c AD b c AD=  +  = +  ， 所以 2AD = . 17．近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为 1 元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲 盒，会等可能地开出 3 款玩偶（分别记为A 款､ B 款､C 款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的 非盲盒玩偶且售价为 3 元/个. (1)若小明一次性购买了甲商店的 3 个盲盒，求他至少开出 2 个A 款玩偶的概率； (2)若小明只想要A 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与 13/4 老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出A 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 A 款玩偶，老板就赠送一个A 款玩偶给他.为了得到A 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划 算，请说明理由. 【答案】(1) 7 27 (2)去甲家商店购买更划算，理由见解析. 【分析】（1）首先设至少开出 2 个A 款玩偶为事件E ，结合独立重复事件概率公式，即可求解概率； （2）根据方案二的结果求分布列及 ( )E Y ，再根据方案一平均花费为3元，即可比较判断. 【详解】（1）设至少开出 2 个A 款玩偶为事件E 故 ( ) 2 3 2 3 3 3 1 2 1 7 C C 3 3 3 27 P E       =  + =            ； （2）方案一：直接去乙商店购买花费 3 元； 方案二：设 X 表示开盲盒的次数，即花费为Y X= , 故 X 的所有可能取值为 1，2，3，4， ( ) ( ) 3 2 8 4 1 27 4 3 P X P Y    =   =  = = = ， ( ) ( ) 2 2 1 3 3 4 27 3 3 P X P Y   = = = =  =    ， ( ) ( ) 2 1 2 2 3 93 2 P X P Y   = = = =  =    ， ( ) ( ) 1 1 1 3 P X P Y= = = = ， 则Y 的分布列如表所示： Y 1 2 3 4 1 3 2 9 4 27 8 27 ( ) 1 2 4 8 65 3 9 27 2 42 3 7 7 1 2 E Y =  +  +  +  = ． 方案二平均花费为 65 27 3 元，方案一平均花费为3元，故小明应该选择去甲家商店购买更划算. 18．已知 0 0( , )M x y 是椭圆 C： 2 2 1 4 3 x y + = 上的动点，过原点 O 向圆 M： ( ) ( ) 2 2 2 0 0x x y y r− + − = 引两条切 线，分别与椭圆 C 交于 P，Q 两点（如图所示），记直线 OP，OQ 的斜率依次为 1k ， 2k ，且 1 2 3 4 k k = − ． 14/4 (1)求圆 M 的半径 r； (2)求证： 2 2 OP OQ+ 为定值； (3)求四边形 OPMQ 的面积的最大值． 【答案】(1) 2 21 7 r = (2)证明见解析 (3) 6 【分析】（1）设出 OP，OQ 的方程，由圆心到切线的距离等于半径得到一元二次方程，由韦达定理和 1 2 3 4 k k = − 解方程求得半径； （2）由直线OP 的方程与椭圆方程联立求得点 P 坐标，即得 | |OP ,同理得 | |OQ ，计算 2 2| | | |OP OQ+ 的表达 式，消去 2k 化简即得； （3）将四边形 OPMQ 的面积拆解成两三角形面积之和，得到 1 (| | | |) 2 OPMQS OP OQ r+=  ，利用（2）的结 论和基本不等式即得面积最大值. 【详解】（1） 如图，由题意，切线 OP，OQ 的方程分别为 1y k x= ， 2y k x= ，则有 1 0 0 2 1 1 k x y r k − = + ， 2 0 0 2 2 1 k x y r k − = + ， 故 1k ， 2k 是方程 0 0 2 1 kx y r k − = + ，即方程 ( )2 2 2 2 20 0 0 02 0r x k x y k r y− + + − = 的两根． 若 2 2 0 0r x− = ，则圆 M 与 y 轴相切，直线 OQ 的斜率不存在，矛盾； 15/4 于是 2 2 0 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 33 1 34 34 4 x r r x r y k k r x r x r x   − −  − + −   = = = = − − − − ，化简得 27 12r = ，解得 2 21 7 r = ． （2）设 ( )1 1,P x y ， ( )2 2,Q x y ，依题意， 1 1 1y k x= ，代入 2 2 1 1 1 4 3 x y + = 可得 2 2 2 1 1 1 1 4 3 x k x + = ，解得 2 1 2 1 12 4 3 x k = + ， 于是 ( ) ( )212 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 12 1 | | 1 4 3 k OP x y k x k + = + = + = + ；同理 ( )222 2 2 12 1 | | 4 3 k OQ k + = + . 所以 ( ) ( )2 21 22 2 2 2 1 2 12 1 12 1 | | 4 3 4 3 k k OP OQ k k + + + = + + + ( )2 21 1 2 1 2 1 9 12 1 12 1 16 94 3 3 4 k k k k   + +  = + + + ( )2 21 1 2 1 2 1 9 4 12 1 4 34 3 1 4 k k k k + + = + + + ( )2 21 1 2 2 1 1 12 1 16 9 7 4 3 4 3 k k k k + + = + = + + ， 即 2 2| | | |OP OQ+ 为定值 7. （3） 1 (| | | |) 2 OPMQ MOP MOQS S S OP OQ r= + = + △ △ ( )2 21 2 21 21( ) 2 | | 6 2 7 7 OP OQ OP OQ=  +   + = ，当且仅当 14 2 OP OQ= = 时等号成立． 综上所述，四边形 OPMQ 面积的最大值为 6 ． 19．函数 9 π π π ( ) tan sin , ( ) sin cos , (0, ), 2 2 2 2 n nf x x x x x g x x x x x n += + − −   = −  N， ． (1)求函数 ( )f x 的极值； (2)若 ( ) 0g x  恒成立，求n的最大值． 【答案】(1)极小值为 π 3( 3 π) ( ) 3 2 f − = ，极大值为 π 3(π 3) ( ) 3 2 f − − = ； (2)3. 【分析】（1）判断函数 ( )f x 为奇函数，利用导数求出 ( )f x 在区间 π (0, ) 2 上的极值，利用奇偶性即可求得 定义域上的极值. （2）利用导数证明当 1n = 时， ( ) 0g x  恒成立，当 1n  时，等价变形不等式并构造函数 1 sin π ( ) ,0 2 cosn x F x x x x = −   ，利用导数并按导数为负为正确定n的取值范围，进而确定不等式恒成立与否 得解. 【详解】（1）函数 9 π π ( ) tan sin 2 2 2 f x x x x x= + − −  ， ， 9 ( ) tan( ) sin( ) ( ) ( ) 2 f x x x x f x− = − + − − − = − ， 即函数 ( )f x 为奇函数，其图象关于原点对称， 16/4 当 π 0 2 x  时， sin 9 ( ) sin cos 2 x f x x x x = + − ，求导得： 3 2 2 2 2 1 9 2cos 9cos 2 (2cos 1)(cos 2 6)(cos 2 6) ( ) cos cos 2 2cos 2cos x x x x x f x x x x x − + − − − − +  = + − = = ， 由于cos (0,1)x ，由 ( ) 0f x  ，得 1 0 cos 2 x  ，解得 π π 3 2 x  ， 由 ( ) 0f x  ，得 1 cos 1 2 x  ，解得 π 0 3 x  ，即 ( )f x 在 (0, π 3 )上单调递减，在 π π ( , ) 3 2 上单调递增， 因此函数 ( )f x 在 π (0, ) 2 上有极小值 π 3( 3 π) ( ) 3 2 f − = ， 从而 ( )f x 在 π π ( , ) 2 2 − 上的极小值为 π 3( 3 π) ( ) 3 2 f − = ，极大值为 π 3(π 3) ( ) 3 2 f − − = . （2）当 1n = 时， ( ) 0g x  恒成立，即sin cos 0x x x−  恒成立，亦即 tan x x 恒成立， 令 π ( ) tan , (0, ) 2 h x x x x= −  ，求导得 2 2 2 2 1 1 cos ( ) 1 tan 0 cos cos x h x x x x −  = − = =  ， 则函数 ( )h x 在 π (0, ) 2 上为增函数，有 ( ) (0) 0h x h = ，因此 tan 0x x−  恒成立； 当 1n  时， ( ) 0g x  恒成立，即不等式 sin cosn x x x  恒成立， 令 1 sin π ( ) ,0 2 cosn x F x x x x = −   ，求导得： 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 cos cos cos ( sin ) sin cos sin cos ( ) 1 1 cos cos n n n n n n n n x x x x x x x x n nF x x x + − −  −   −  +    = − = − 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 cos sin cos cos (1 cos ) cos cos 1 cos cos cos n n n n n n n n n n n x x x x x x x n n n n x x x + + + + + − +  − − − − − = − = = 令 1 21 1( ) cos cos n n n G x x x n n + − = − − ，求导得则 1 1 1 ( ) cos ( sin ) 2cos ( sin )n n n G x x x x x n n + −  =  − −   − 1 1 sin 2 2 1 [(2 2)cos ( 1)cos ] sin (cos cos ) 2 2 n n x n n n x n x x x x n n n − + = − − + =  − − 1 1 2 2 1 sin cos (cos ) 2 2 n n n n n x x x n n − − + =   − − ， 由 π 1, (0, ) 2 n x  ，得 1 2 2 sin cos 0n n x x n −    ， 当 1 1 2 2 n n +  − 时，即 3n  时， ( ) 0G x  ，则函数 ( )G x 在 π (0, ) 2 上单调递减， 则有 ( ) (0) 0G x G = ，即 ( ) 0F x  ，因此函数 ( )F x 在 π (0, ) 2 上单调递减，有 ( ) (0) 0F x F = ，即 ( ) 0g x  ， 当 1 1 2 2 n n +  − 时，即 3n  时，存在一个 0 π (0, ) 2 x  ，使得 1 0 1 cos 2 2 n n n x n − + = − ， 且当 0(0, )x x 时， ( ) 0G x  ，即 ( )G x 在 0(0, )x 上单调递增，且 ( ) (0) 0G x G = ， 17/4 则 ( ) 0F x  ，于是 ( )F x 在 0(0, )x 上单调递增，因此 ( ) (0) 0F x F = ，即 sin cosn x x x  ，与 ( ) 0g x  矛盾， 所以n的最大值为 3. 1/4 2023级高三年级暑假线上数学统一作业 2 命题人：操瑞康 审题人：金启富 考试说明：1.考查范围：高考内容. 2.试卷分值:150 分；考试时间:120 分钟. 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效. 考试结束后只交答题卷. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．已知集合   ( ) 31,2,3,4,5 , R log 1 1S Q x x= =  −  ，则 S Q =（ ） A． B． 1 C． 2,3,4 D． 1,2,3 2．已知复数 (1 2i)z  − 在复平面内对应点的坐标为 3,1（ ），则 z =（ ） A． 1 7 i 5 5 + B． 1 i 5 + C． 1 i 5 − D． 1 7 i 5 5 − 3．已知点F为抛物线C： ( )2 2 0y px p=  的焦点，点 ( )3,M m 在抛物线C上，且 4MF = ，则抛物线C 的方程为（ ） A． 2y x= B． 2 2y x= C． 2 4y x= D． 2 6y x= 4．已知 π 6 x = 是函数 ( ) ( ) π sin 2 2 f x x     = +     图象的一条对称轴，则 ( )f x 的图象可以由 ( ) cos 2g x x= 的图象向右平移（ ）个单位长度得到 A． π 3 B． 4π 3 C． 5π 6 D． 7π 6 5．已知函数 ( ) 2 1 ln 2 f x x a x= − 在 ( )0,+ 无零点，则实数a的取值范围为（ ） A． ( )0,e B． )0,e C． 0,e D． ( ) ( )0, ,e e + 6．已知等差数列{ }na 的前n项和为 nS ， 9 445, 31nS a −= = ，若 198nS = ，则n =（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 7．定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）来判断降雨程度；其 中小雨（0mm 10mm− ），中雨（10mm 25mm− ），大雨（ 25mm 50mm− ），暴 雨（50mm 100mm− ）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了24 小时的雨水，则 这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 2/4 8．已知函数 ( )f x 的定义域为R ， ( ) exy f x= + 是偶函数， ( ) 3exy f x= − 是奇函数，则 ( )f x 的最小值为 （ ） A． e B．2 2 C．2 3 D．2e 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 的。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，下列说法正确的是（ ） A．若 A B ，则sin sinA B B．若 30A = ， 5b = ， 2a = ，则 ABC有两解 C．若cos cos cos 0A B C  ，则 ABC为锐角三角形 D．若 cos cosa c B a C−  =  ，则 ABC为等腰三角形 10．已知曲线 2 2: cos sin 1,C x y + = 其中 , , 2 2       −    则（ ） A．存在 使得C为两条直线 B．不存在 使得C为圆 C．若C为双曲线，则 越大，C的离心率越大 D．若C为椭圆，则 越大，C的离心率越小 11．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥 所得的多面体，如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有 棱长均为a的截角四面体，则下列说法正确的是（ ） A．直线 AC与DE所成角为120 B．该截角四面体的表面积为 27 3a C．该截角四面体的外接球表面积为 211 2 a D． 2AF a= 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．在边长为 1 的正方形 ABCD中，E是CD的中点，F 是 BE的中点，则 AF DF = . 13．已知双曲线 ( ) 2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b − =   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，若 1F ， 2F 与 ( )1 0,B b ， ( )2 0,B b− 所围成的四边形面积为 4，该四边形的内切圆半径为 2 5 5 ，则双曲线的离心率为 ． 3/4 14．格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点 的“格点距离”（如： ( 2,1)P − ，则点 P到原点的格点距离为2 1 3+ = ）.格点距离为定值的点的轨迹称为 “格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为 6 时，格点圆 的半径有 条（用数字作答）. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． ( 13 分) 如图，在四棱锥P ABCD− 中，PA ⊥平面 ABCD， //AB CD， 2 2PA AB CD= = = ， 90ADC = ， ,E F分别为 ,PB AB的中点． (1)求证： //CE 平面PAD； (2)求点 B到平面PCF的距离. 16． ( 15 分) 记 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 π 2 2 sin 6 b c a B   = + −    . (1)求A ； (2)若 2 3,a ABC= 的面积为 3,D为 BC上一点，AD为 BAC 的平分线，求 AD. 17． ( 15 分) 近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为 1 元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会 等可能地开出 3 款玩偶（分别记为A 款､ B款､C款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒 玩偶且售价为 3 元/个. (1)若小明一次性购买了甲商店的 3 个盲盒，求他至少开出 2 个A 款玩偶的概率； (2)若小明只想要A 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与 老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出A 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 A 款玩偶，老板就赠送一个A 款玩偶给他.为了得到A 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划 算，请说明理由. 4/4 18． ( 17 分) 已知 0 0( , )M x y 是椭圆 C： 2 2 1 4 3 x y + = 上的动点，过原点 O向圆M： ( ) ( ) 2 2 2 0 0x x y y r− + − = 引两条切线， 分别与椭圆 C交于 P，Q两点（如图所示），记直线 OP，OQ的斜率依次为 1k ， 2k ，且 1 2 3 4 k k = − ． (1)求圆M的半径 r； (2)求证： 2 2 OP OQ+ 为定值； (3)求四边形 OPMQ的面积的最大值． 19． ( 17 分) 函数 9 π π π ( ) tan sin , ( ) sin cos , (0, ), 2 2 2 2 n nf x x x x x g x x x x x n += + − −   = −  N， ． (1)求函数 ( )f x 的极值； (2)若 ( ) 0g x  恒成立，求n的最大值．