第12章 函数与一次函数 章末训练 2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

第12章 函数与一次函数 一、单选题 1．已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数，其中随的增大而减小，且，则在平面直角坐标系内这个一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x的关系式为（    ） A． B． C． D． 4．已知无论取何值，总是取与中的最小值，则的最大值为（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 5．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，当满足时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．如图，一次函数为常数且与正比例函数为常数且的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 10．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点坐标分别为，直线l：． （1）当直线l经过点D时，k的值为 ； （2）当直线l与菱形的边有公共点时，k的取值范围为 ． 12．如图，折线表示距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系，则与之间的函数关系式为 ． 13．正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 三、解答题 14．某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为每台4000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下： 甲商场优惠条件：第一台按原价收费，其余每台优惠； 乙商场优惠条件：每台优惠． (1)设该公司购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元；选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出与之间的函数关系式； (2)若只考虑在其中一家商场购买电脑，请你帮该公司设计更省钱的购买方案． 15．彩灯，又名“花灯”，是起源于我国的一种汉族传统民俗工艺品，据史籍记载，唐宋时已逐步形成元宵节前后张灯结彩的习俗。元宵节前夕，某部门计划采买一批彩灯（采购金额大于200元）。甲、乙两商家平时以同样的价格出售相同的彩灯，现分别推出优惠活动．甲商家：在购买彩灯的总价的基础上打九折．乙商家：购买彩灯的总价超过200元的部分打八折．设购买彩灯原来的总价为元，实际付款金额为元． (1)请分别写出两种优惠活动中与之间的函数关系式； (2)选择哪个商家购买彩灯更省钱？ 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点，与直线交于点，直线分别交轴，轴于点，，已知点的横坐标为2，点的横坐标为． (1)请求出直线的函数表达式； (2)连接，请计算的面积． 17．夏季到来，涉水安全逐渐成为众人的关注热点，某中学计划安排绘画小组制作告示牌，警示学生注意游泳安全，现为绘画小组购买某品牌的A，B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元． (1)求购买每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各需多少元； (2)该中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，且购买A种颜料的数量不少于B种颜料数量的，则哪种方案的购买费用最少？最少费用是多少？ 18．市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元． (1)设市运往市机器台，求总运费关于的函数关系式； (2)若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将两点坐标代入函数表达式中，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设一次函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 函数的解析式为． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了根据一次函数解析式确定图象经过的象限，先根据函数图象得出其经过的象限，由一次函数图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了列函数关系是，根据题意，初始体重为，每天减少，建立与的函数关系式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：小丽的初始体重为，每天减少，则天后减少的总重量为， 因此，天后的体重可表示为初始体重减去减少的总重量，即， 故选：B． 4．B 【分析】此题考查了求两条直线的交点坐标，正确理解题意是解题的关键．根据题意可知，的最大值就是两函数相交时的值，联立两方程求出的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，， 解得， ， ∵当时，；当时，， ∴y的最大值为 2 ， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 根据可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，即， ， ， ， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质．把点的坐标代入一次函数解析式得到是解题的关键．把点和的坐标代入得到，然后将其代入不等式组，通过不等式的性质来求的取值范围． 【详解】解：把点代入， 得， 把代入， 则． ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握其增减性是解题的关键． 一次函数，当时，函数值随的增大而减小，利用此性质比较大小即可． 【详解】解：由知，，函数值随的增大而减小， ， ， 故选：B． 8．C 【详解】解：将正比例函数向上平移个单位后，得到的新函数为， 联立该函数与得： ，解得交点坐标为， 因交点在第二象限，需满足： 解得：， 的值可以是5． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数为常数且与正比例函数（为常数且的图象交于点， 关于的方程的解是， 即关于的方程的解是． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象相交于点， ∴方程组的解为：， 故答案为： 11． 1 【分析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）依次将各顶点坐标代入解析式，求出比例系数的值，然后对比求取值范围即可． 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得， 故答案为：1； （2）当直线经过点时， 将代入得， ； 当直线经过点时， 将代入得， , 解得； 当直线经过点时， 将代入得， , 解得； ∴k的取值范围为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查分段函数，分和两段，结合函数图象中的信息，分别得出与之间的函数关系式即可． 【详解】解：当时，设， 将代入，得：， 解得， 当时，， 由图可知当时，， 与之间的函数关系式为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线，当时，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴点的横坐标为， 同理可得，， ∴点的横坐标为， , 点的横坐标为， 设，则， ∴②①，得, 即， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 14．(1)， (为正整数) (2)当时，在甲商场购买更省钱；当时，在两家商场 购买一样省钱；当或时，在乙商场购买更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用问题以及不等式与方程的解法．解题的关键是理解题意， 根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． （1）根据题意列出算式即可； （2）根据（1）的结论列方程或不等式解答即可． 【详解】（1）由题意可得，， (为正整数)； （2）由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． 综上所述，当时，在甲商场购买更省钱；当时，在两家商场购买一样省钱；当或时，在乙商场购买更省钱． 15．(1)， (2)当时，选择甲商家购买彩灯更省钱；当时，选择两个商家购买彩灯的实际付款金额相同；当时，选择乙商家购买彩灯更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，能表示出甲乙两商家购买彩灯的费用是解题的关键． （1）甲商家，实际付款额用原来总价乘即可；乙商家用200加上超出部分乘即可． （2）根据两个代数式的大小进行分类即可． 【详解】（1）解：因为甲商家在购买彩灯的总价的基础上打九折，且购买彩灯原来的总价为元， 所以． 因为乙商家对购买彩灯的总价超过200元的部分打八折，且， 所以． （2）解：当时，． 当，即时，选择甲商家购买彩灯更省钱； 当时，选择两个商家购买彩灯的实际付款金额相同； 当，即时，选择乙商家购买彩灯更省钱． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法等，熟练掌握相关知识是解题的关键 （1）由点的横坐标为2，点的横坐标为可得点的坐标，设直线l的函数解析式为：，将的坐标分别代入求解即可； （2）由一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点可得点的坐标，从而可得，，再直接计算出的面积即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为2，点的横坐标为， ∴点E的坐标为，点C的坐标为， 设直线l的函数解析式为：， 则， 解得：，， 则直线l的函数解析式为； （2）∵一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点， ∴点A坐标为，点B坐标为， 又直线分别交轴，轴于点，， 则点的坐标为， ，， ， 则的面积为． 17．(1)购买每盒A种型号颜料需24元，每盒B种型号颜料需16元 (2)当购买A种型号的颜料75盒，B种型号的颜料125盒时，费用最少，最少费用是3800元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设购买每盒A种型号的颜料需x元，每盒B种型号的颜料需y元，根据购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元，再建立方程组解题即可； （2）设购买A种型号的颜料a盒，B种型号的颜料盒，购买费用为w元，先求解的范围，再建立一次函数求解即可． 【详解】（1）解：设购买每盒A种型号的颜料需x元，每盒B种型号的颜料需y元． 由题意，得， 解得． 答：购买每盒A种型号颜料需24元，每盒B种型号颜料需16元． （2）解：设购买A种型号的颜料a盒，B种型号的颜料盒，购买费用为w元． ∵， ∴． 由题意得． ∵， ∴w随着a的增大而增大． ∵， ∴． 当时，． 答：当购买A种型号的颜料75盒，B种型号的颜料125盒时，费用最少，最少费用是3800元． 18．(1)（，且为整数）； (2)有种调运方案 (3)市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元． 【分析】（1）根据A市运往D市机器数量，结合A、B两市库存及C、D两市需求，分别表示出A运往C、B运往C、B运往D的机器数量，再依据各自运费列出总运费关于的函数关系式，同时根据数量非负确定的取值范围． （2）利用（1）中总运费函数关系式，结合总运费不超过元的条件列不等式，结合的取值范围确定整数解，从而得调运方案数量． （3根据一次函数性质（值正负判断增减性 ），结合的取值范围确定使总运费最低的值，进而得最低运费及调运方案． 【详解】（1）解：由题意可知： 由此． 由题意得：， ，且为整数； （2）解：由题意得， ． ， ，且为整数， 可取，，， 有种调运方案； （3）解：，且随的值增大而增大， 当时，的值最小，最小值是元． 此时的调运方案是： 市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用以及不等式组确定取值范围，熟练掌握一次函数的性质、根据实际问题列函数关系式和不等式（组）是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$