第十二章函数与一次函数（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

第12章 函数与一次函数 知识清单 一、知识体系总览 本章学习刻画两个变量之间关系的常用模型——函数，并重点研究一次函数。整体框架如下： 层级 内容 要点 12.1 函数 变量与常量；函数概念；表示方法 理解“唯一确定”的对应关系；列表法、解析法、图象法 12.2 一次函数 一次函数与正比例函数；图象与性质；待定系数法；分段函数；与方程、不等式的关系 y＝kx＋b（k≠0）；k 决定增减性，b 决定与 y 轴交点；数形结合 12.3 一次函数与二元一次方程（组） 方程对应直线；用图象解方程组；解的三种情况 交点坐标即公共解；相交、重合、平行 核心思想：以“变量之间一一对应”理解函数，以“图象直观”研究一次函数，以“数形结合”打通函数与方程、不等式、方程组的联系。 二、12.1 函数 1. 变量与常量 变量：　在一个变化过程中，可以取不同数值的量。如热气球问题中的海拔高度 h、上升时间 t。 常量：　在一个变化过程中保持不变的量。如热气球平均每分钟上升 30 m。 2. 函数的概念 一般地，在一个变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。 函数值：　当 x＝a 时，y＝b，则 b 叫作当自变量 x 取 a 时的函数值。 判断关键：　“一一对应”——对于每个 x 的值，y 的值必须唯一确定；若一个 x 对应多个 y，则 y 不是 x 的函数。 3. 函数关系的三种表示方法 表示方法 含义 示例 列表法 通过列出自变量与对应函数值的表格表示函数关系 热气球海拔高度 h 与时间 t 的对应表 解析法 用数学式子表示函数关系，式子叫函数表达式（解析式） s＝v²/256 图象法 用坐标平面内的图象表示函数关系 用电负荷 y 随时间 t 变化的曲线 4. 自变量的取值范围 在确定自变量取值范围时，要使函数表达式有意义；如果是实际问题，还必须使实际问题有意义。 函数 自变量取值范围 说明 y＝2x＋4 全体实数 整式 y＝－2x² 全体实数 整式 y＝1/(x－2) x≠2 分母不能为 0 y＝√x x≥0 被开方数非负 S＝πR²（圆的面积） R>0 实际问题：半径为正 5. 画函数图象的一般步骤 由函数表达式画图象，一般按以下步骤进行： 列表：　列出自变量与函数的一些对应值。 描点：　以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。 连线：　按照自变量从小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来。 描出的点越多，所得的图象越准确。 三、12.2 一次函数 1. 一次函数与正比例函数 一次函数：　形如 y＝kx＋b（k、b 为常数，且 k≠0）的函数叫作一次函数。 正比例函数：　当 b＝0 时，一次函数成为 y＝kx（k 为常数，且 k≠0），形如 y＝kx 的函数叫作正比例函数。 关系：　正比例函数是一次函数的特殊情形。 判断举例：y＝－8x 是正比例函数（也是一次函数）；y＝8/x、y＝8x² 都不是一次函数；y＝8x－4 是一次函数。 2. 一次函数的图象 正比例函数：　y＝kx（k≠0）的图象是经过原点的一条直线，叫作直线 y＝kx。画图象时只需描出两点，再过这两点画直线即可（常用 (0,0) 与 (1,k)）。 一次函数：　y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，与直线 y＝kx 平行或重合，因此也叫作直线 y＝kx＋b。 截距：　直线 y＝kx＋b 与 y 轴交于点 (0, b)，b 叫作直线 y＝kx＋b 在 y 轴上的截距，简称截距。 平移：　直线 y＝kx＋b 可看作由直线 y＝kx 平移 |b| 个单位长度得到——b>0 时向上平移，b<0 时向下平移。 3. 一次函数的性质 条件 y 随 x 的变化 图象趋势 k>0 y 随 x 的增大而增大 自左向右上升 k<0 y 随 x 的增大而减小 自左向右下降 |k| 越大 y 增大（或减小）的速度越快 图象越“陡” 说明：k 决定一次函数图象的倾斜方向与增减快慢，b 决定图象与 y 轴的交点位置。正比例函数与一次函数的增减性规律相同。 4. 待定系数法求函数表达式 先设所求一次函数表达式为 y＝kx＋b（k、b 为待定系数），再根据已知条件列出关于 k、b 的方程组，求出 k、b 的值。这种确定表达式中系数的方法叫作待定系数法。 确定一个一次函数表达式需要两个独立条件（例如图象过两点，或过一点且与某直线平行等）。 示例：已知 x＝4 时 y＝5，x＝5 时 y＝2。设 y＝kx＋b，则 4k＋b＝5，5k＋b＝2，解得 k＝－3，b＝17，故 y＝－3x＋17。 5. 分段函数 自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，在生活中有广泛应用（如阶梯水费、快递费、阶梯电价）。 示例：用水量 x m³，水费 y 元。当 0≤x≤16 时，y＝2.5x；当 x>16 时，y＝3.2x－11.2。其图象是一条折线。 6. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 数学对象 转化为一次函数问题 图象解释 方程 kx＋b＝0 求 y＝0 时 x 的值 直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标 不等式 kx＋b>0 求 y>0 时 x 的取值范围 图象在 x 轴上方部分对应的 x 不等式 kx＋b<0 求 y<0 时 x 的取值范围 图象在 x 轴下方部分对应的 x 任何一个一元一次方程都可化为 kx＋b＝0 的形式；任何一个一元一次不等式都可化为 kx＋b>0 或 kx＋b<0 的形式。利用图象求解体现了数形结合思想。 四、12.3 一次函数与二元一次方程（组） 1. 二元一次方程与一次函数、直线 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数 y＝kx＋b（k≠0）的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线。 直线上每个点的坐标 (x, y) 都是这个二元一次方程的解；　 以这个二元一次方程的解为坐标的点，也都在这条直线上。　 例如：二元一次方程 3x＋2y＝6 可化为 y＝－(3/2)x＋3，其对应的直线就是一次函数 y＝－(3/2)x＋3 的图象。 2. 用图象解二元一次方程组 两条直线交点的坐标，就是两条直线所对应方程的公共解，即二元一次方程组的解。 示例：l₁: y＝－(1/2)x＋1 与 l₂: y＝2x＋6 交于点 P(－2, 2)，则方程组 x＋2y＝2、2x－y＝－6 的解为 x＝－2，y＝2。 3. 二元一次方程组解的三种情况 把方程组化为 a₁x＋b₁y＝c₁、a₂x＋b₂y＝c₂ 的形式后，比较两个方程中 x 的系数之比、y 的系数之比以及常数项之比，可判断解的情况： 系数关系（a₁:a₂，b₁:b₂，c₁:c₂） 图象关系 解的情况 x、y 系数之比不成比例 两直线相交 唯一解（交点坐标） x、y、常数项之比都相等 两直线重合 有无穷多组解 x、y 系数成比例，但常数项不成比例 两直线平行 无解 五、典型题型与解题要点 题型 解题要点 判断函数关系 检验“对于每个 x，y 是否唯一确定” 求自变量取值范围 表达式有意义＋实际问题有意义；分母≠0、被开方数≥0 求函数值 把 x 的值代入表达式计算；分段函数按所在范围选表达式 判断点在直线上 把点坐标代入表达式，等式成立则点在直线上 待定系数法求表达式 设 y＝kx＋b → 代入两个条件 → 解方程组 → 写表达式 图象与方程、不等式结合 找与 x 轴交点，判断图象在 x 轴上方/下方对应的 x 范围 实际应用（方案选择） 分别写出函数表达式，比较图象或作差 y₁－y₂，找交点与大小关系 判断方程组解的情况 比较 x、y、常数项系数之比，判断相交/重合/平行 六、易错点提醒 y＝8/x、y＝8x² 都不是一次函数；一次函数自变量的次数必须是 1。 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数（当且仅当 b＝0 时才是）。 截距是直线与 y 轴交点的纵坐标 b，不是交点坐标 (0, b)，更不是横坐标。 画一次函数图象一般选两点即可（如与 x 轴、y 轴交点）；描点后必须用平滑直线连接。 实际问题求自变量取值范围时，不能只满足表达式有意义，还要符合实际（如时间、长度为正）。 平移规律是“上加下减”：b>0 向上、b<0 向下，移 |b| 个单位，勿弄反方向。 用图象解不等式时，注意“图象在 x 轴上方⇔y>0”这一对应，分清 x 的范围而不是 y 的范围。 分段函数求函数值时，先判断自变量在哪一段，再代入对应表达式。 七、复习记忆要点 函数＝变量间“一一对应”的关系；表示方法：列表、解析、图象。 一次函数 y＝kx＋b（k≠0）；b＝0 时为正比例函数 y＝kx。 图象是直线；k>0 上升、k<0 下降，|k| 越大越陡，b 定与 y 轴交点 (0, b)。 待定系数法两步：设、代、解、写，确定一次函数需两个条件。 方程 kx＋b＝0 ⇔ 与 x 轴交点横坐标；不等式 ⇔ 图象在 x 轴上方/下方。 二元一次方程对应一条直线；方程组解 = 两直线交点坐标；系数比判相交、重合、平行。 学科网（北京）股份有限公司 $