湖南省大联考2026届高三上学期阶段性检测（一）数学试题

高三数学试卷 第 1 页(共 4 页) 高三数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写 在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z=(1+2i)i,则其共轭复数 ― z= A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 2.已知集合 A={1,2,3,5,6,7},B={x|x-2∈A},则 A∩B= A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{5,6,7} D.{3,5,7} 3.已知向量 a=( 3, m),b=(0, 4),若<b, b-a>= 3 ,则实数 m= A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知 a,b∈R,则“b≠0”是“ a a+b + a+b a >2”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知双曲线 C:x2-y 2 3 =1的左、右焦点分别为 F1,F2,若 C上一点 A到 y轴的距离为 3, 则 AF1F2的面积为 A.4 6 B.2 6 C.2 3 D. 6 6.已知 sin +sin( - 3 )=1,则 sin( +5 6 )= A.- 6 3 B.- 3 3 C. 3 3 D. 6 3 7.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,函数 g(x)=(x-3)f(x)的图象关于点(3, 0)中心对称,若 g(-1)=-4,则 f(5)= A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,棱长为 2的正八面体内部有一个圆柱,正八面体的一条对角线与圆柱的轴重合, 且正八面体的每个面均与圆柱的上底面或下底面的圆周相切,则这个圆柱的体积的最大值为 A.8 2 81 B.8 2 27 C.64 2 27 D.32 2 9 高三数学试卷 第 2 页(共 4 页) 二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分. 9.已知{an}是递增的等比数列,其前 n项和为 Sn,若 a2= 3 2 ,S3= 19 4 A.a1=1 B.a5-a3= 35 16 C.S4= 65 8 D.{Sn+2}是等比数列 10.已知函数 f(x)=sin (2x+ )(| |< 2 )的图象关于直线 x=5 12 对称,则 A.f(x)的图像关于点( 6 , 0)对称 B.f(x)在区间( 2 , 5 6 )上单调递减 C.f(x)在区间(- , - 6 )内有两个极值点 D.将 y=2sin2 (x+ 12 )的图象向下平移 1个单位长度即可得到 f(x)的图象 11.已知函数 f(x)=ln x ex ,则 A.f(x)在(1, 2)上具有单调性 B.方程 e2f(x)=ln 2有两个不相等的实根 C.对任意 x∈R,f(x)<1 e D.存在 x1∈R,使得 f(x1)> 1 e2 三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.已知函数 f(x)= 1 loga x (a>0且 a≠1),若 f(2)+f(4)=3,则 a= . 13.抛物线有这样的光学性质:与抛物线的对称轴平行的光线经抛物线反射后,反射光线经 过抛物线的焦点,由光路是可逆的,可知从焦点发出的光线,经抛物线反射后,反射光线与 抛物线的对称轴平行.如图,雷达接收器的截而曲线可看作抛物线 C:y2=4x,光信号沿着 直线 y=1入射到 C上的点 A,经 C反射到点 B,反射光线 AB与 x轴交于 C的焦点 F,则 光信号经 B点反射后,反射光线所在直线的方程为 . 14.已知函数 f(x)的定义域为(0, +∞),其导数为 f'(x)= ex- 1 2 x ,曲线 y=f(x)在点 A(a, f(a)) (f(a)≠0)处的切线为 l1,过点 A作 l1的垂线 l2,若 l1,l2与 x轴的交点横坐标分别为 x1,x2, 则 x2+x1-2a x2-x1 的最小值为 . 高三数学试卷 第 3 页(共 4 页) 四、解答题:本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,A为锐角,且c b = sin2 C cos Ccos B+2cos2A . (1)求 A; (2)设 D为 AB的中点,若 CD=BC,且 b+c=10,求 ABC的面积. 16.(15分) 在信道内传输 0,1信号,信号的发射和接收都有 A,B两种模式,若发射与接收的模 式相同,则接收的信号与发射的信号相同,若发射与接收的模式不同,则接收的信号与发射 的信号也不同,每次发射和接收信号时,选择 A模式的概率均为1 4 ,选择 B模式的概率均为 3 4 ,每次发射和接收相互独立. (1)求一次信号传输中,接收的信号与发射的信号相同的概率; (2)信号发射器从 2个 0和 3个 1中随机选择 3个信号依次发射,记发射信号 1的个数 为 X. (i)求 X的分布列和数学期望; (ii)当 X=2时,求接收的信号是 2个 0和 1个 1的概率. 17.(15分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 BCC1B1为矩形,平面 BCC1B1⊥平面 ACC1A1, AA1=2,AC=A1C= 2. (1)证明:A1C⊥平面 ABC; (2)若 AB1= 13,求直线 AB1与平面 BCC1B1所成角的正弦值. 高三数学试卷 第 4 页(共 4 页) 18.(17分) 已知函数 f(x)=aln x+1-a x ,a∈R. (1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当 a变化时,曲线 y=f(x)过定点(x0, y0),证明: 1 2 <y0<ln 2; (3)若1 2 <a<1,求函数 g(x)=f(x)-1 2 的零点个数. 19.(17分) 已知椭圆 C:x 2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 6 3 ,且经过点 A( 3, 0),直线 l1,l2过点 A 且相互垂直,l1交 C于另一点 P,l2交 C于另一点 Q. (1)求 C的方程; (2)证明:直线 PQ过定点; (3)先将 C绕原点 O旋转 90 ,再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的 ( >0)倍得到椭圆 E,若 l2与 E的一个交点为 R,且|AP|=|AR|,求 E的长轴长的取值范围.高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案A 命题透析本题考查复数的基本概念与运算. 解析 z=(1+2i)i=-2+i， ，所以 z=-2-i. 2.答案D 命题透析本题考查集合的表示与运算. 解析对于集合A中的元素x，满足 x-2∈A 的有3，5，7，所以 A∩B={3，5，7}. 3.答案C 命题透析本题考查平面向量的坐标运算. 解析 $$b - a = \left( - \sqrt 3 ， 4 - m \right) ，$$ 由题意知 $$\cos \left( b ， b - a \right) = \frac { b \cdot \left( b - a \right) } { | b | \cdot | b - a | } = \frac { 1 6 - 4 m } { 4 \times \sqrt { 3 + \left( 4 - m \right) ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ m=3 m= 5(舍去). 4.答案c 命题透析本题考查基本不等式的性质以及充分与必要条件的判断. 解析 取 a=1，b=-2， 则 $$\frac { a } { a + b } + \frac { a + b } { a } = - 2 < 0 ，$$ 故充分性不成立；当 $$\left\{ \frac { a } { a + b } + \frac { a + b } { c } > 2$$ 时，一定有 a≠a+b， ，所 以 b≠0， ，故必要性成立 5.答案B 命题透析本题考查双曲线的方程与几何性质. 解析由题意知点A的横坐标为 $$x _ { 1 } = \pm \sqrt 3 ，$$ 代人x $$x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 ，$$ ，得 $$y _ { A } = \pm \sqrt 6 ，$$ 又 $$| F _ { 1 } F _ { 2 } | = 2 \sqrt { 1 + 3 } = 4 ，$$ ，所以 $$\triangle A F _ { 1 } F _ { 2 }$$ 的面积为 $$\frac { 1 } { 2 } \times 4 \times \sqrt 6 = 2 \sqrt 6 .$$ 6.答案B 命题透析本题考查三角恒等变换以及诱导公式的应用. 解析 因为 $$\sin \theta + \sin \left( \theta - \frac { \pi } { 3 } \right) = \frac { 3 } { 2 } \sin \theta - \frac { \sqrt 3 } { 2 } \cos \theta = \sqrt 3 \sin \left( \theta - \frac { \pi } { 6 } \right) = 1 ，$$ 所以 $$\sin \left( \theta - \frac { \pi } { 6 } \right) = \frac { \sqrt 3 } { 3 } ，$$ 故 $$\sin \left( \theta + \frac { 5 \pi } { 6 } \right) =$$ $$- \sin \left( \theta - \frac { \pi } { 6 } \right) = - \frac { \sqrt 3 } { 3 } .$$ 7.答案A 命题透析本题考查函数的奇偶性与对称性. CS扫描全能王 3 亿人都在用的扫描App 解析因为g-1)=-4机-1)=-4，所以八-1)=1，因为八x)是偶函数，所以八1)=1，g(1)=-2(1)= -2,又因为(x)的图象关于点(3,0)中心对称，所以g(5)=-g(1)=2,即g(5)=2r5)=2,故八5)=1. 8.答案B 命题透析本题考查简单几何体的结构特征，以及函数与导数的应用。 解析如图，将正八面体看作上，下两个正四棱锥，考虑上面的正四棱锥，设顶点为A,圆柱上底面圆心为B,正 四棱锥的底面中心为C,四按锥一条底边的中点为D,AD与圆柱上底面相切于点E.设该圆柱的底面半径为r= -2 E0,<高=28c曲题可知，6m10=5,则4Cc-反是-器即 2=斤所以h=21-r, 所以该圆柱的体积V=h=2m(2-),则r=2m(2-3),当0<r<号时，r>0,当号<r<1时， V"<0,故当r= 子时8 27 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查等比数列的基本运算。 解折设a.的公比为，则由马>0,1a,递地，得g>1,因为3=(+q+）所以2引1+9+）-号 牌含装子金服字1合二过-2成玉 与-%一器-号-瓷放B错误： =2×器-2-警放C正确： 又+2=2×（侵）厂，所以13.+21是首项为3，公比为号的等比数列，故D正确 10.答案ABD 命题透析本题考查三角函数的图象与性质。 解折当1p1受时，号<2×侣+甲<号因为✉)的图象关于直线：语对称所以2x语+p=受，得 121 12 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApPp p=-号所以)=im(2-号）} 对于A,因为2×若-号=0，所以x)的图象关于点（若0]对称，故A正确： 对于B,当se(受）时：2-号e(停)（受》，由于y=血x在（受》上单调递减，所以）在 区间（受，）上单调递诚，放B正确： 对于C,当x(-,-）时，2z-子(-号-)由于y=x在(-号-）内只有一个极值点，故 八x)在区间(-，-若)内只行一个极值点，故C错误： 对于D,y=2im(x+)=1-co(2:+）=1+sim(2-号）将该函数图象向下平移1个单位长度即可得 到(x)的图象，故D正确. 11.答案BC 命题透析本题考查函数与导数的综合应用。 L-ln￥ 解折对于A()=二。一，在同一坐标系内作出y=士=nx的图象，可知存在唯一的六(1,2)。 满足了(x。）=0,所以当xG(1,。)时了(x)>0,当xG(x。,+∞)时了(x)<0,所以八x)在(1,2)上不单调，故 A错误： 对于B,方程认)-h2即)=子，因为)的最大值点气e1,2),所以2)=<，)，当e[1,】 时)从0递增到人)，当x,+)时)从么，)递减趋向于0，所以直线了=子与)的图象有 两个交点，即方程©八x)=1n2有两个不相等的实根，故B正确： 对于C,由A可知的最大值为)=之且时-h与所以)因为e(（1,2,所以e< ec2,所以宏女公即)c合从面)故C正确： 对于D,由前面的分析可知取=)=)为敬大值，电片=h可剁h6,所以八)。 。一≤宁又易知6h名，前面不等式的等号取不到，所以对任意xR)<分，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案4 命题遗析本题考查指、对数函数的运算性质。 解折由题意蜘2)+水4)2+女23，所以2=空o:2.故a4 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 13.答案y=-4 命题透析本题考查抛物线的几何性质。 解折易得点A的坐标为（分）1,0)，所以直线AF的方程为y=-子气：-)，代人了=4，可得点B的 坐标为(4，-4)，故光信号经B点反射后，反射光线所在直线的方程为y=-4 6.答案宁 命题透析本题考查导数的几何意义以及应用。 解折对()求导得r()=二·2匹红上· 26 ()在(0，上单调递诚，在（分+m上单调递增。 所以了)（合）.4y旷ox-)+h:y治+)，令y=0,可得气=a-侣 4owu是en:盘%lnl品- f(a)a)+RaU(a)F+i= '(a)】 四、解答题：本题共5小题，共刀分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用 解析(1)由条件及正弦定理得血S sin'C 0 in B cos Ceoe B+2cm'A】 整理得sin Csin B=cos Ceos B+2cos2A. 所以c0s(B+C)=-2c02L… (3分) 所以cos(r-A)=-2cos2A,即cosA=2cos2A 又A为锐角，cosA≠0， 所以csA=子，故A=号 (6分) (2)在△MCD中由余弦定理得CD=AC+AD-2AC·Deos A, 即公2=+-告0… …(7分】 在△ABC中由余弦定理特a2=6+c2-bc② …(8分) 由02清去a,得3c=2kc,即b=六…“ 3 (10分) 因为6+c=10,所以6=6，c=4, 所以Soac=-esin= 方6x4x至」 2=6 (13分) 16.命题透析本题考查概率的计算，离散型随机变量的分布列与期鬼 解折()-次信号传输中，接收的信号与发射的情号相同的概率为P=(合)广+（会-吕-务 (4分) CS扫描全能王 ▣ 3亿人都在用的扫描APp (2)(1)由题意知X的所有可能取值为1,2,3， …(7分) 所以X的分布列为 2 10 10 所以()=1×品+2×号+3x0=号 (9分) (ⅱ)当X=2时，发射的信号为1个0和2个1，要使接收的信号为2个0和1个1，有下列两种情况： ①这3个情号发射与接收的均不制同：片一（侣广一品 (11分) ②其中1个1被接收为0，另外2个情号发时与接收的情号相同A=G×号×（一嘉 (13分) 故接收的信号是2个0和1个1的概串为P,+B=品+6节 27.75177 400646040004444444444444*44 (15分) 17.命题透析本题考查线而垂直的证明，利用空间向计算空间角。 解析(1)侧面BCG,A,为矩形C⊥CG,又平面BCC,B,⊥平面ACC,4,平面CC,B,n平面ACC,A=CC, 六BC⊥平面ACC,A.∴BC⊥A,C …(2分) A=2,AC=AC=2M=AC+C. .AC⊥A,C 4(4分) 又ACnBC=C,AC,BCC平面ABC,A,C⊥平面ABC. …(6分) (2)连接4C,如图. 由已知可得CC,=2,AC=2,∠ACC,=135°， 由余弦定理可得AC,=√2：+()+2x2×万× =0 2 …(7分） B,C,∥BCB,C⊥平面ACC,A,B,C,⊥AC1, B,C=3-10=万。…(8分】 由(1)可知CA,CB,CA,两两互相垂直，故以C为坐标原点，C4,CB,CA,所在直线分别为x,y,:轴建立如图所 示的空间直角坐标系，… CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 则C(0,0,0),4(2,0,0),B(0,5,0),B1(-万，5,2)，C(-2,0,万)，…(10分) ÷i=(05,0),cC=(-2,02),g=(-225E. 设平面BCC,B,的法向量为n=(x,), [n.CB=3y=0. 则 取n=(1,0,1）. (12分) n.cC=-2x+2:=0, 设直线AB,与平面BCC,B,所成的角为9， 则血9=leo(a,@1=n@:正 1nl·MB113 直线A品与平面8CG岛所成角的正弦值为得 …(15分） 18.命题透析。本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数性质 （)若a=2,则)=2hx-J八)=是+>0， 所以(1)=3J1)=-1, 因此曲线y=八x)在点(11))处的切线方释为y=3x-4. …(3分） (2)=(as-)+ 因为曲线y=)过定点(6)，所以n0-=0,从而为=)==n。…(5分) x。 易知函数4()=lhr-士在(0，+m)止单调递增，且A()=-1<0,A(2)=n2-之>0， 所以无0后(1,2).(7分） 所以g>分h<h2,时<%ch2 …(9分) (3r()=g-=s--x>0. x2 令国=0，得s>0, 所以当0<x<。时了e)<0)单调递减：当x>。时了()>0)单测遥增。 因此✉)=：) …(12分） 当<a<1时0<。<1，且：))=1-a<分 …(14分） 由(2)可知，存在%e(1,2),满足八)>，又当x>0且0时x)一+0，…（16分) 故g(x)有两个零点. …(17分） CS扫描全能王 ▣ 3亿人都在用的扫描App 19.命题透析本题考查椭例与直线的位置关系。 解析(1)因为C过点A(5,0),所以a=5, 因为G的离心率为9所以。了-5得6=1 a 所以C的方程为号+=1.… (3分) (2)易知4,4的斜串均存在且不为0，故设4：=网+5,4：x=-立+月. 2+3y-3=0, 的/ 得(m2+3)y2+25my=0. x=m时+5， 故器42得巴 m+3、m+3 (5分) 同理可得03m-点2m1 1+3m3'1+3m 若a1,则直线0：“3二-3--号万-散直线P0这点 (停.小… (7分) 若m=1,则直线POx=9直线P0过点（停 综上，直线PQ过定点（停.… (9分) (3)由题意可知E的方程为子+号= 3 (10分) 因为A(万，0)，P(n),R(x),所以市=(，-万)i=(s-万a. 根据对称性，不妨将看作是由产逆时针旋转90得到。 因为市.本=0,1=欣，所以x-万=-=x,-5,所以（万-，-万）.…(12分) 因为点R在E上， 所以6-4二=号元4-2（倍+ 3 又点P在c上，所以号+=1，所以=5-2（停+r小 …(14分） 设5m“其中ae0,u(a.2a. Lye =sin a. 则=5-2停cosa+ina-5-46in(a+若）e[1,9],即Ae[1,3], 故椭圆E的长轴长2万A的取值范围是[2万，6厅].…(17分) CS扫描全能王 ▣ 3亿人都在用的扫描App高三数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=(1+2i)i,则其共轭复数= A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i 2.已知集合A={1,2,3,5,6,7},B={x|x-2∈A},则A∩B= A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{5,6,7} D.{3,5,7} 3.已知向量a=(, m),b=(0, 4),若<b, b-a>=,则实数m= A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知a,b∈R,则“b≠0”是“+>2”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若C上一点A到y轴的距离为,则 AF1F2的面积为 A.4 B.2 C.2 D. 6.已知sin +sin( -)=1,则sin( +)= A.- B.- C. D. 7.已知f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于点(3, 0)中心对称,若 g(-1)=-4,则f(5)= A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,棱长为2的正八面体内部有一个圆柱,正八面体的一条对角线与圆柱的轴重合,且正八面体的每个面均与圆柱的上底面或下底面的圆周相切,则这个圆柱的体积的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知{an}是递增的等比数列,其前n项和为Sn,若a2=,S3= A.a1=1 B.a5-a3= C.S4= D.{Sn+2}是等比数列 10.已知函数f(x)=sin (2x+ )(| |<)的图象关于直线x=对称,则 A.f(x)的图像关于点(, 0)对称 B.f(x)在区间(, )上单调递减 C.f(x)在区间(- , -)内有两个极值点 D.将y=2sin2 (x+)的图象向下平移1个单位长度即可得到f(x)的图象 11.已知函数f(x)=,则 A.f(x)在(1, 2)上具有单调性 B.方程e2f(x)=ln 2有两个不相等的实根 C.对任意x∈R,f(x)< D.存在x1∈R,使得f(x1)> 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=(a>0且a≠1),若f(2)+f(4)=3,则a= . 13.抛物线有这样的光学性质:与抛物线的对称轴平行的光线经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点,由光路是可逆的,可知从焦点发出的光线,经抛物线反射后,反射光线与抛物线的对称轴平行.如图,雷达接收器的截而曲线可看作抛物线C:y2=4x,光信号沿着直线y=1入射到C上的点A,经C反射到点B,反射光线AB与x轴交于C的焦点F,则光信号经B点反射后,反射光线所在直线的方程为 . 14.已知函数f(x)的定义域为(0, +∞),其导数为f'(x)=,曲线y=f(x)在点A(a, f(a)) (f(a)≠0)处的切线为l1,过点A作l1的垂线l2,若l1,l2与x轴的交点横坐标分别为x1,x2,则的最小值为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A为锐角,且=. (1)求A; (2)设D为AB的中点,若CD=BC,且b+c=10,求 ABC的面积. 16.(15分) 在信道内传输0,1信号,信号的发射和接收都有A,B两种模式,若发射与接收的模式相同,则接收的信号与发射的信号相同,若发射与接收的模式不同,则接收的信号与发射的信号也不同,每次发射和接收信号时,选择A模式的概率均为,选择B模式的概率均为 ,每次发射和接收相互独立. (1)求一次信号传输中,接收的信号与发射的信号相同的概率; (2)信号发射器从2个0和3个1中随机选择3个信号依次发射,记发射信号1的个数 为X. (i)求X的分布列和数学期望; (ii)当X=2时,求接收的信号是2个0和1个1的概率. 17.(15分) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为矩形,平面BCC1B1⊥平面ACC1A1, AA1=2,AC=A1C=. (1)证明:A1C⊥平面ABC; (2)若AB1=,求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 18.(17分) 已知函数f(x)=aln x+,a∈R. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当a变化时,曲线y=f(x)过定点(x0, y0),证明:<y0<ln 2; (3)若<a<1,求函数g(x)=f(x)-的零点个数. 19.(17分) 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点A(, 0),直线l1,l2过点A且相互垂直,l1交C于另一点P,l2交C于另一点Q. (1)求C的方程; (2)证明:直线PQ过定点; (3)先将C绕原点O旋转90 ,再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的 ( >0)倍得到椭圆E,若l2与E的一个交点为R,且|AP|=|AR|,求E的长轴长的取值范围. 高三数学试卷 第 1 页(共 1 页) 学科网(北京)股份有限公司 $$