第三单元 平行四边形、梯形和三角形（解决问题专项）数学北京版五年级上册

第三单元 三角形、平行四边形和梯形 （6个类型题讲练+三大难度分层练 共33题） 第一部分：类型题讲练 2 思路引导 方法点拨 2 应用类型01：计算图形的面积 2 应用类型02：已知面积求边长或高 3 应用类型03：组合图形的面积计算 3 应用类型04：实际问题中的应用 4 解决问题 分类讲练 5 类型1 平行四边形面积的应用 5 类型2 利用平移法求平行四边形面积的应用 6 类型3 三角形面积额应用 8 类型4 梯形面积的应用 10 类型5 含多边形的组合图形的面积的应用 11 类型6 求组合图形中阴影部分的面积 13 第二部分：难度分层训练 14 A夯实基础 14 B培优拔高 16 C思维拓展 19 第一部分：类型题讲练 知识点01：三角形、平行四边形和梯形的基本性质回顾 1. 三角形 分类：按边分（等边、等腰、不等边）；按角分（锐角、直角、钝角）。 内角和：180°。 面积公式： 2. 平行四边形 对边平行且相等，对角相等。 面积公式： 3. 梯形 一组对边平行（上底、下底），另一组对边不平行（腰）。 面积公式： 知识点02：常见应用题型及解题方法 应用类型01：计算图形的面积 题型特征：给出图形的底、高或边长，要求计算面积。 解题关键： 确定图形类型（三角形、平行四边形、梯形）。 找到对应的底和高（高必须垂直于底）。 代入公式计算。 例题1（三角形）： 一个三角形的底是8cm，高是5cm，求面积。 解答： 例题2（平行四边形）： 一个平行四边形的底是12m，高是4m，求面积。 解答： 例题3（梯形）： 一个梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是4cm，求面积。 解答： 技巧： 三角形的高可能在图形外部（钝角三角形）。 梯形的高必须垂直于上下底，不能直接用斜边计算。 应用类型02：已知面积求边长或高 题型特征：已知图形的面积和部分边长，求另一条边或高。 解题关键： 根据面积公式变形，如： 例题1（三角形）： 一个三角形的面积是24cm²，底是8cm，求高。 解答： 例题2（梯形）： 一个梯形的面积是50cm²，上底是6cm，下底是14cm，求高。 解答： 技巧： 先变形公式，再代入计算，避免混淆。 应用类型03：组合图形的面积计算 题型特征：由多个基本图形组合而成的不规则图形，要求计算总面积或部分面积。 解题关键： 分割法：将图形拆分成三角形、平行四边形、梯形等基本图形，分别计算后相加。 填补法：用大图形减去小图形计算剩余面积。 例题1（分割法）： 求下图的面积（单位：cm）。 （图形描述：一个长方形缺一个三角形，长方形长10cm，宽6cm，三角形底4cm，高3cm） 解答： 例题2（填补法）： 求梯形的面积，已知上底5cm，下底9cm，高4cm，中间有一个平行四边形（底3cm，高2cm）。 解答： 技巧： 先观察图形是否可以分割或填补，再选择合适的方法。 应用类型04：实际问题中的应用 题型特征：结合生活场景，如土地面积、围栏长度、图形拼接等。 解题关键： 提取关键数据（如底、高、边长）。 判断使用哪个图形的公式。 例题1（土地面积）： 一块平行四边形的地，底边长15m，高8m，如果每平方米种4棵花，一共能种多少棵？ 解答： 例题2（围栏长度）： 一个等腰梯形的花园，上底6m，下底10m，两腰各5m，要在周围围篱笆，需要多长的篱笆？ 解答： 技巧： 注意单位统一（如m和cm的转换）。 实际问题可能需要额外计算（如围栏、种植数量等）。 知识点03：易错点及注意事项 混淆高和斜边：高必须垂直于底，不能直接用斜边计算面积。 单位不统一：计算前确保所有数据单位一致（如全部用cm或m）。 组合图形漏算或多算：分割或填补时要仔细检查每个部分的面积。 公式记错：三角形和梯形的面积公式都有 ，平行四边形没有。 类型1 平行四边形面积的应用 典型例题1：（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一块近似平行四边形的菜地（如图）。如果1平方米菜地产蔬菜8.2千克，这块菜地大约产多少千克蔬菜？ 思路分析：根据平行四边形面积＝底×高，先求出菜地面积，菜地面积×1平方米产蔬菜质量＝这块菜地产蔬菜总质量，据此列式解答。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·四川乐山·期末）公园的一块平行四边形地面要铺地砖，地砖选用边长是40厘米的方砖。下图是工人师傅已贴好的部分地砖。 （1）若每平方米要付150元工钱，则一共需要付多少工钱？ （2）若选用边长是30厘米的方砖，则需要多少块？ 变式训练2：（23-24五年级上·全国·周测）一个平行四边形停车位，底是2.5米，高是6米。这个停车位的占地面积是多少平方米？（在图中画出底和高，先写出计算公式，再计算） 类型2 利用平移法求平行四边形面积的应用 典型例题2：（24-25五年级上·湖北黄石·期末）如图，一块平行四边形的草地中间有一条长8米，宽1米的水泥小路，如果修剪草地每平方米要2.5元，修剪这块草地要用多少元？ 思路分析：把草坪左侧部分向右平移1米，则此时的草坪的面积是一个底是20－1＝19米，高是8米的平行四边形；根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出草地面积，再乘2.5，即可求出修剪这块草地需要的钱数。 答题区： 变式训练1：有一块平行四边形的菜地，中间有一条宽2米的水渠经过（如图），求： （1）这块地的实际耕种面积． （2）如果每平方米收青菜6千克，那么这块菜地一共收青菜多少千克？ 变式训练2：（22-23五年级上·重庆璧山·期末）育英小学开设劳动教育课程，规划了一块平行四边形菜地，中间有1米宽的小路（如图）。如果菜地每平方米收5.4千克白菜，这块地共收白菜多少千克？ 类型3 三角形面积的应用 典型例题3：（24-25五年级上·河南洛阳·期末）一个牡丹园的形状是三角形，它的底是160米，高是100米，种1平方米的牡丹幼苗能卖20元，这个牡丹园种满牡丹幼苗可以卖多少元？ 思路分析：根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据，求出三角形牡丹园的面积，再用牡丹园的面积×20，即可解答。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·广东韶关·期末）欢欢家的农场里面有一个面积为240平方米的三角形水池（如下图），欢欢的爸爸打算从小路向对面凉亭修一条小桥，小桥恰好与这小路垂直。 （1）请你在图中画出小桥的位置。 （2）算一算这座小桥的长度是多少米？ 变式训练2：（24-25五年级上·重庆南岸·期末）我例古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。如长方形面积的计算方法是“广从相乘得积步”。“广”和“从”分别指长和宽。三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方式对这种计算方法进行了说明（如图）。数学兴趣小组的芳芳就用“以盈补虚”的方法步测得出了学校三角形花坛的面积。已知芳芳的平均步长是0.6米。 根据图中的信息求出花坛的面积。 类型4 梯形面积的应用 典型例题4：（24-25五年级上·重庆黔江·期末）如图，张爷爷和王奶奶都用34米长的竹篱笆在空地上靠墙围了块菜地。①是张爷爷围的菜地，②是王奶奶围的菜地。谁围的菜地面积大？大多少平方米？ 思路分析：图形①中，梯形的上底与下底的和等于竹篱笆的总长34米减去10米，梯形的高是8米，图形②中，梯形的上底与下底的和等于竹篱笆的总长34米减去10米，梯形的高是10米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出两块梯形菜地的面积，比较出它们的大小，再用大数减去小数即可解答。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·湖北孝感·期末）有一块近似平行四边形的花圃，分别种着芍药和玫瑰（如图），其中种玫瑰的面积是54平方米，芍药种了多少平方米？ 变式训练2：（24-25五年级上·湖北黄石·期末）张大爷家有一块梯形的菜地（如下图），已知种辣椒的面积是30平方米，种西红柿的面积是多少平方米？种茄子的面积是多少平方米？ 类型5 含多边形的组合图形的面积的应用 典型例题5：（24-25五年级上·湖南长沙·期末）为贯彻落实“五育并举”、立德树人的根本任务，学校开展了丰富多彩的“劳动教育”实践活动，在校园里开辟了一块菜地。菜地中有一个长11米、宽7米的长方形水池（如图），其余地方种了一些白菜，如果每平方米能收获13千克白菜，这块菜地一共可以收获多少千克的白菜？ 思路分析：如图：种白菜的面积＝梯形的面积＋大长方形的面积－长方形水池的面积，根据梯形的面积＝（长＋宽）×高÷2，长方形的面积＝长×宽，据此求出种白菜的面积，然后再乘13千克即可。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·四川凉山·期末）如下图，有一面墙，中间有一个2.5平方米的窗户，如果砌这面墙平均每平方米用砖185块，一共需要用多少块砖？ 变式训练2：（24-25五年级上·河北保定·期末）为提升新农村环境质量，王庄村准备在村东的梯形（上底26米，下底19米）空地建一座小花园种植花卉。为了便于观赏，上下底各量出2米，修建了一条小路。如图种植花卉的面积是多少平方米？ 类型6 求组合图形中阴影部分的面积 典型例题6：（24-25五年级上·河南三门峡·期末）笑笑在家玩拼图游戏，她把两个完全相同的梯形重叠在一起（如图），你能算出图中阴影部分的面积是多少吗？（单位：厘米） 思路分析：阴影部分面积＝梯形面积－图形①的面积；图形②的面积＝梯形面积－图形①的面积，由于两个完全相同的梯形重叠在一起；由此可知，阴影部分面积＝图形②的面积；图形②是一个梯形，上底是（12－2）厘米，下底是12厘米，高是4厘米；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 答题区： 变式训练1：（24-25五年级上·湖南张家界·期末）下图是一个航模拼装模型一个部件的示意图，请你算一算，它的面积是多少平方厘米？ 变式训练2：（23-24五年级上·四川乐山·期末）如图所示，工人要在长方形区域的两块阴影处种上草皮。根据图例数据计算需要多少平方米的草皮？（长度单位：米） 第二部分：难度分层训练 1．（24-25五年级上·山西晋中·期末）智慧停车的发展解决了人们出行“停车难”的问题，有效地提升了城市综合管理能力、城市科技化管理水平。停车场还设置了投影导向，能更加醒目地向大家传递信息。请你根据图中的数据算一算，B出口的投影导向图的面积多少？ 2．（24-25六年级下·云南昭通·期末）永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米，高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树？ 3．（22-23六年级下·天津河东·期末）只列综合算式，不计算。 用一根铁丝围成一个边长是8厘米的正方形，如果把它拉成一个平行四边形，则面积减少了12平方厘米，拉成的平行四边形的高是多少厘米？ 4．（2025六年级下·西藏·专题练习）“探险家”户外运动品牌店门口有一块梯形广告牌，上底是5米，下底是7米，高为2米。现要对广告牌的正、反面进行粉刷，每平方米用涂料300克，店主准备8千克涂料，够不够？ 5．（24-25五年级上·河北沧州·期末）叔叔用50米长的篱笆在墙边围了一块梯形的菜地种白菜，如果每平方米可以种4棵白菜，叔叔这块地一共可以种多少棵白菜？ 1．（24-25六年级下·云南昭通·期中）一块直角梯形的稻田（如图），用一台收割机进行收割。已知收割机作业宽度是2米，每小时行5000米。多少小时可以收割完这块稻田？ 2．（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）农场有一块花圃计划种植郁金香（如下图，单位：米）。 （1）这块花圃的面积是多少平方米？（提示：同学们可以在图中画一画） （2）如果每株郁金香占地0.5平方米，这块地可以种多少株郁金香？ 3．（23-24五年级上·新疆·期末）如图是一块长方形草坪，中间有两条小路，一条是长方形，一条是平行四边形，求草坪的面积。（单位：米） 下面是一位同学的想法： 笑笑：用长方形的面积减去中间两条小路的面积，列式：16×10－16×2－2×10＝108（平方米） （1）你认为他的想法 。（填“正确”或“不正确”） （2）请你正确列式解答。 4．（2025六年级下·西藏·专题练习）希望小学有一块小菜园（如图），被分作面积相等的两块地，平行四边形形状的地种茄子，梯形形状的地种西红柿。（单位：米） （1）种茄子的面积是多少平方米？ （2）AB的长度是多少米？ 5．（24-25五年级上·广西南宁·期末）在学习了平行四边形和三角形面积计算方法后，同学们尝试自己探索梯形面积的计算方法。下面是三位同学的思考过程和计算方法。 ① （5＋3）×2＝16（cm2） 16÷2＝8（cm2） （    ） ② 2÷2＝1（cm） （5＋3）×1＝8（cm2） （    ） ③ 3×2＋（5－3）×2÷2 ＝8（cm2） （    ） 上面三位同学的方法正确吗？对的在括号里画“√”，错误的画“×”。 任选一位同学的方法说明其中的道理。 我要说明的是第________种方法，其中的道理是： 1．（24-25六年级下·云南昭通·期末）永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米，高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树？ 2．（24-25五年级上·湖北十堰·期末）学校分给五年级的劳动实践基地示意图如下图。 小玲是这样计算基地面积的： 18×8.5＝153（m2）          18－12＝6（m） （3.5＋8.5）×6÷2＝36（m2）   153－36＝117（m2） （1）请你在下图中画一画，表示出她计算时的思路。 （2）你能用其他方法解答吗？写出解答的过程。 （3）如果每平方米种10株月季花，每30株能收益12元，这块地一共能收益多少元？ 3．（24-25五年级上·山东菏泽·期末）一块平行四边形的土地，底是7.5米，高是6.4米。如果用这块地种辣椒，每棵辣椒占地0.3平方米，这块地一共可以种多少棵辣椒？ 4．（2024·湖南怀化·小升初真题）如图所示，正方形ABCD的边长是8厘米，四边形EFGH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面积。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 三角形、平行四边形和梯形 （6个类型题讲练+三大难度分层练 共33题） 第一部分：类型题讲练 2 思路引导 方法点拨 2 应用类型01：计算图形的面积 2 应用类型02：已知面积求边长或高 3 应用类型03：组合图形的面积计算 3 应用类型04：实际问题中的应用 4 解决问题 分类讲练 5 类型1 平行四边形面积的应用 5 类型2 利用平移法求平行四边形面积的应用 7 类型3 三角形面积额应用 9 类型4 梯形面积的应用 12 类型5 含多边形的组合图形的面积的应用 14 类型6 求组合图形中阴影部分的面积 17 第二部分：难度分层训练 19 A夯实基础 19 B培优拔高 22 C思维拓展 28 第一部分：类型题讲练 知识点01：三角形、平行四边形和梯形的基本性质回顾 1. 三角形 分类：按边分（等边、等腰、不等边）；按角分（锐角、直角、钝角）。 内角和：180°。 面积公式： 2. 平行四边形 对边平行且相等，对角相等。 面积公式： 3. 梯形 一组对边平行（上底、下底），另一组对边不平行（腰）。 面积公式： 知识点02：常见应用题型及解题方法 应用类型01：计算图形的面积 题型特征：给出图形的底、高或边长，要求计算面积。 解题关键： 确定图形类型（三角形、平行四边形、梯形）。 找到对应的底和高（高必须垂直于底）。 代入公式计算。 例题1（三角形）： 一个三角形的底是8cm，高是5cm，求面积。 解答： 例题2（平行四边形）： 一个平行四边形的底是12m，高是4m，求面积。 解答： 例题3（梯形）： 一个梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是4cm，求面积。 解答： 技巧： 三角形的高可能在图形外部（钝角三角形）。 梯形的高必须垂直于上下底，不能直接用斜边计算。 应用类型02：已知面积求边长或高 题型特征：已知图形的面积和部分边长，求另一条边或高。 解题关键： 根据面积公式变形，如： 例题1（三角形）： 一个三角形的面积是24cm²，底是8cm，求高。 解答： 例题2（梯形）： 一个梯形的面积是50cm²，上底是6cm，下底是14cm，求高。 解答： 技巧： 先变形公式，再代入计算，避免混淆。 应用类型03：组合图形的面积计算 题型特征：由多个基本图形组合而成的不规则图形，要求计算总面积或部分面积。 解题关键： 分割法：将图形拆分成三角形、平行四边形、梯形等基本图形，分别计算后相加。 填补法：用大图形减去小图形计算剩余面积。 例题1（分割法）： 求下图的面积（单位：cm）。 （图形描述：一个长方形缺一个三角形，长方形长10cm，宽6cm，三角形底4cm，高3cm） 解答： 例题2（填补法）： 求梯形的面积，已知上底5cm，下底9cm，高4cm，中间有一个平行四边形（底3cm，高2cm）。 解答： 技巧： 先观察图形是否可以分割或填补，再选择合适的方法。 应用类型04：实际问题中的应用 题型特征：结合生活场景，如土地面积、围栏长度、图形拼接等。 解题关键： 提取关键数据（如底、高、边长）。 判断使用哪个图形的公式。 例题1（土地面积）： 一块平行四边形的地，底边长15m，高8m，如果每平方米种4棵花，一共能种多少棵？ 解答： 例题2（围栏长度）： 一个等腰梯形的花园，上底6m，下底10m，两腰各5m，要在周围围篱笆，需要多长的篱笆？ 解答： 技巧： 注意单位统一（如m和cm的转换）。 实际问题可能需要额外计算（如围栏、种植数量等）。 知识点03：易错点及注意事项 混淆高和斜边：高必须垂直于底，不能直接用斜边计算面积。 单位不统一：计算前确保所有数据单位一致（如全部用cm或m）。 组合图形漏算或多算：分割或填补时要仔细检查每个部分的面积。 公式记错：三角形和梯形的面积公式都有 ，平行四边形没有。 类型1 平行四边形面积的应用 典型例题1：（23-24五年级上·新疆乌鲁木齐·期末）一块近似平行四边形的菜地（如图）。如果1平方米菜地产蔬菜8.2千克，这块菜地大约产多少千克蔬菜？ 思路分析：根据平行四边形面积＝底×高，先求出菜地面积，菜地面积×1平方米产蔬菜质量＝这块菜地产蔬菜总质量，据此列式解答。 答题区： 20×9×8.2 ＝180×8.2 ＝1476（千克） 答：这块菜地大约产1476千克蔬菜。 变式训练1：（24-25五年级上·四川乐山·期末）公园的一块平行四边形地面要铺地砖，地砖选用边长是40厘米的方砖。下图是工人师傅已贴好的部分地砖。 （1）若每平方米要付150元工钱，则一共需要付多少工钱？ （2）若选用边长是30厘米的方砖，则需要多少块？ 【答案】（1）1296元 （2）96块 【思路引导】（1）观察可知，平行四边形的底可铺9块地砖，高可铺6块地砖，用地砖的边长乘9可得平行四边形的底，用地砖的边长乘6可得平行四边形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据计算可得平行四边形的面积，计算前可先把单位转化为米，再用面积乘150即可得解。 （2）可先把30厘米转化为0.3米，用除法求出平行四边形的底有几个0.3，高有几个0.3，最后再相乘即可得到有多少块。 【规范解答】（1）40厘米＝0.4米 底：9×0.4＝3.6（米） 高：6×0.4＝2.4（米） 3.6×2.4×150＝1296（元） 答：一共需要付1296元工钱。 （2）30厘米＝0.3米 （3.6÷0.3）×（2.4÷0.3） ＝12×8 ＝96（块） 答：需要96块。 变式训练2：（23-24五年级上·全国·周测）一个平行四边形停车位，底是2.5米，高是6米。这个停车位的占地面积是多少平方米？（在图中画出底和高，先写出计算公式，再计算） 【答案】画图见详解；平行四边形的面积＝底×高；占地面积：15平方米 【思路引导】先根据平行四边形的底和高的特点在图中画出平行四边形的底和高；再根据平行四边形的面积＝底×高写出公式并代入具体的数据并计算即可。 【规范解答】画出底和高如下： 平行四边形的面积＝底×高 2.5×6＝15（平方米） 答：这个停车位的占地面积是15平方米。 类型2 利用平移法求平行四边形面积的应用 典型例题2：（24-25五年级上·湖北黄石·期末）如图，一块平行四边形的草地中间有一条长8米，宽1米的水泥小路，如果修剪草地每平方米要2.5元，修剪这块草地要用多少元？ 思路分析：把草坪左侧部分向右平移1米，则此时的草坪的面积是一个底是20－1＝19米，高是8米的平行四边形；根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出草地面积，再乘2.5，即可求出修剪这块草地需要的钱数。 答题区： （20－1）×8×2.5 ＝19×8×2.5 ＝152×2.5 ＝380（元） 答：修剪这块草地要用380元。 变式训练1：有一块平行四边形的菜地，中间有一条宽2米的水渠经过（如图），求： （1）这块地的实际耕种面积． （2）如果每平方米收青菜6千克，那么这块菜地一共收青菜多少千克？ 【答案】2280平方米；13680千克 【思路引导】（1）求这块菜地的实际耕地面积，就是求底和高分别为60米、（40﹣2＝38）米的平行四边形的面积； （2）用这块菜地的实际耕地面积乘每平方米收青菜的重量，问题即可得解。 【规范解答】（1）60×（40﹣2） ＝60×38 ＝2280（平方米） 答：这块地的实际耕种面积是2280平方米。 （2）2280×6＝13680（千克） 答：这块菜地一共收青菜13680千克。 变式训练2：（22-23五年级上·重庆璧山·期末）育英小学开设劳动教育课程，规划了一块平行四边形菜地，中间有1米宽的小路（如图）。如果菜地每平方米收5.4千克白菜，这块地共收白菜多少千克？ 【答案】486千克 【思路引导】通过平移，可以将菜地拼成一个平行四边形，平行四边形的底＝大平行四边形的底－小路宽，根据平行四边形面积＝底×高，求出菜地面积，菜地面积×每平方米收白菜质量＝共收白菜质量，据此列式解答。 【规范解答】（16－1）×6×5.4 ＝15×6×5.4 ＝90×5.4 ＝486（千克） 答：这块地共收白菜486千克。 类型3 三角形面积的应用 典型例题3：（24-25五年级上·河南洛阳·期末）一个牡丹园的形状是三角形，它的底是160米，高是100米，种1平方米的牡丹幼苗能卖20元，这个牡丹园种满牡丹幼苗可以卖多少元？ 思路分析：根据三角形面积＝底×高÷2，代入数据，求出三角形牡丹园的面积，再用牡丹园的面积×20，即可解答。 答题区： 160×100÷2 ＝16000÷2 ＝8000（平方米） 8000×20＝160000（元） 答：这个牡丹园种满牡丹幼苗可以卖160000元。 变式训练1：（24-25五年级上·广东韶关·期末）欢欢家的农场里面有一个面积为240平方米的三角形水池（如下图），欢欢的爸爸打算从小路向对面凉亭修一条小桥，小桥恰好与这小路垂直。 （1）请你在图中画出小桥的位置。 （2）算一算这座小桥的长度是多少米？ 【答案】（1）见详解；（2）15米 【思路引导】（1）根据描述，小桥是过凉亭并且垂直于小路的一条线段，据此画图； （2）根据（1）可知，这座小桥其实是三角形的一条高。三角形面积＝底×高÷2，那么三角形高＝面积×2÷底，代入数据求出高，即可求出小桥的长度。 【规范解答】（1）如图： （2）240×2÷32 ＝480÷32 ＝15（米） 答：这座小桥的长度是15米。 变式训练2：（24-25五年级上·重庆南岸·期末）我例古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。如长方形面积的计算方法是“广从相乘得积步”。“广”和“从”分别指长和宽。三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”。著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方式对这种计算方法进行了说明（如图）。数学兴趣小组的芳芳就用“以盈补虚”的方法步测得出了学校三角形花坛的面积。已知芳芳的平均步长是0.6米。 根据图中的信息求出花坛的面积。 【答案】43.2平方米 【思路引导】根据图框遏制，把盈旋转到虚处，相当于把三角形转换成了一个长方形计算，长方形的长是12步，宽是半广，即10步，用步数乘平均步长即可求出长和宽，再根据长方形的面积公式：长×宽，把数代入即可求解。 【规范解答】12×0.6＝7.2（米） 20÷2×0.6＝6（米） 7.2×6＝43.2（平方米） 答：学校三角形花坛的面积是43.2平方米。 类型4 梯形面积的应用 典型例题4：（24-25五年级上·重庆黔江·期末）如图，张爷爷和王奶奶都用34米长的竹篱笆在空地上靠墙围了块菜地。①是张爷爷围的菜地，②是王奶奶围的菜地。谁围的菜地面积大？大多少平方米？ 思路分析：图形①中，梯形的上底与下底的和等于竹篱笆的总长34米减去10米，梯形的高是8米，图形②中，梯形的上底与下底的和等于竹篱笆的总长34米减去10米，梯形的高是10米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出两块梯形菜地的面积，比较出它们的大小，再用大数减去小数即可解答。 答题区： （34－10）×8÷2 ＝24×8÷2 ＝192÷2 ＝96（平方米） （34－10）×10÷2 ＝24×10÷2 ＝240÷2 ＝120（平方米） 120＞96 120－96＝24（平方米） 答：王奶奶围的面积大，大24平方米。 变式训练1：（24-25五年级上·湖北孝感·期末）有一块近似平行四边形的花圃，分别种着芍药和玫瑰（如图），其中种玫瑰的面积是54平方米，芍药种了多少平方米？ 【答案】246平方米 【思路引导】已知玫瑰的面积是54平方米，玫瑰的面积近似三角形，根据三角形的高＝面积×2÷底，据此求出这个平行四边形花圃的高，又知芍药的面积是近似梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据即可求出芍药的面积。 【规范解答】54×2÷9 ＝108÷9 ＝12（米） （25－9＋25）×12÷2 ＝（16＋25）×12÷2 ＝41×12÷2 ＝492÷2 ＝246（平方米） 答：芍药种了246平方米。 变式训练2：（24-25五年级上·湖北黄石·期末）张大爷家有一块梯形的菜地（如下图），已知种辣椒的面积是30平方米，种西红柿的面积是多少平方米？种茄子的面积是多少平方米？ 【答案】西红柿：24平方米；茄子：28.5平方米 【思路引导】根据图可知，种辣椒的面积是一个平行四边形，平行四边形的高和三角形以及梯形的高相等；根据平行四边形的面积公式：底×高，把数代入即可求出高；再根据三角形的面积公式：底×高÷2；梯形的面积公式：（上底＋下底）×高÷2，把数代入即可求解。 【规范解答】30÷5＝6（米） 8×6÷2＝24（平方米） （2＋7.5）×6÷2 ＝9.5×6÷2 ＝28.5（平方米） 答：种西红柿的面积是24平方米；种茄子的面积是28.5平方米。 类型5 含多边形的组合图形的面积的应用 典型例题5：（24-25五年级上·湖南长沙·期末）为贯彻落实“五育并举”、立德树人的根本任务，学校开展了丰富多彩的“劳动教育”实践活动，在校园里开辟了一块菜地。菜地中有一个长11米、宽7米的长方形水池（如图），其余地方种了一些白菜，如果每平方米能收获13千克白菜，这块菜地一共可以收获多少千克的白菜？ 思路分析：如图：种白菜的面积＝梯形的面积＋大长方形的面积－长方形水池的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形的面积＝长×宽，据此求出种白菜的面积，然后再乘13千克即可。 答题区： （11＋18）×（15－7）÷2＋18×7－11×7 ＝29×8÷2＋126－77 ＝29×4＋126－77 ＝116＋126－77 ＝242－77 ＝165（平方米） 165×13＝2145（千克） 答：这块菜地一共可以收获2145千克的白菜。 变式训练1：（24-25五年级上·四川凉山·期末）如下图，有一面墙，中间有一个2.5平方米的窗户，如果砌这面墙平均每平方米用砖185块，一共需要用多少块砖？ 【答案】4070块 【思路引导】观察图形可知，需用砖砌这面墙的面积＝长方形的面积＋三角形的面积－窗户的面积，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求出用砖砌这面墙的面积，再乘每平方米用砖的块数，即是砌这面墙一共需要用砖的总块数。 【规范解答】长方形的面积：4×5＝20（平方米） 三角形的面积：5×1.8÷2＝4.5（平方米） 需用砖砌墙的面积：20＋4.5－2.5＝22（平方米） 需用砖的总块数：185×22＝4070（块） 答：一共需要用4070块砖。 变式训练2：（24-25五年级上·河北保定·期末）为提升新农村环境质量，王庄村准备在村东的梯形（上底26米，下底19米）空地建一座小花园种植花卉。为了便于观赏，上下底各量出2米，修建了一条小路。如图种植花卉的面积是多少平方米？ 【答案】287平方米 【思路引导】通过平移，种植花卉的部分可以拼成一个梯形，梯形空地的上底和下底分别减去小路的宽是种植花卉的梯形的上底和下底，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式解答即可。 【规范解答】[（26－2）＋（19－2）]×14÷2 ＝[24＋17]×14÷2 ＝41×14÷2 ＝287（平方米） 答：种植花卉的面积是287平方米。 类型6 求组合图形中阴影部分的面积 典型例题6：（24-25五年级上·河南三门峡·期末）笑笑在家玩拼图游戏，她把两个完全相同的梯形重叠在一起（如图），你能算出图中阴影部分的面积是多少吗？（单位：厘米） 思路分析：阴影部分面积＝梯形面积－图形①的面积；图形②的面积＝梯形面积－图形①的面积，由于两个完全相同的梯形重叠在一起；由此可知，阴影部分面积＝图形②的面积；图形②是一个梯形，上底是（12－2）厘米，下底是12厘米，高是4厘米；根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 答题区： （12－2＋12）×4÷2 ＝（10＋12）×4÷2 ＝22×4÷2 ＝88÷2 ＝44（平方厘米） 答：阴影部分面积是44平方厘米。 变式训练1：（24-25五年级上·湖南张家界·期末）下图是一个航模拼装模型一个部件的示意图，请你算一算，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】100平方厘米 【思路引导】 如图：，部件的面积＝长是15厘米，宽是5厘米的长方形面积＋底是5厘米，高是（10－5）厘米的三角形面积＋底是（15－5－5）厘米，高是（10－5）厘米的三角形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【规范解答】15×5＋5×（10－5）÷2＋（15－5－5）×（10－5）÷2 ＝15×5＋5×5÷2＋（10－5）×5÷2 ＝15×5＋5×5÷2＋5×5÷2 ＝75＋12.5＋12.5 ＝100（平方厘米） 答：它的面积是100平方厘米。 变式训练2：（23-24五年级上·四川乐山·期末）如图所示，工人要在长方形区域的两块阴影处种上草皮。根据图例数据计算需要多少平方米的草皮？（长度单位：米） 【答案】115.5平方米 【思路引导】观察题意可知，草皮的面积相当于一个大长方形的面积－梯形的面积－小长方形的面积，大长方形的长是（6＋8＋6）米，宽是7米，根据长方形的面积＝长×宽，用（6＋8＋6）×7即可求出大长方形的面积，梯形的上底是8米、下底是2米、高是3.5米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，用（8＋2）×3.5÷2即可求出梯形的面积，小长方形的长是（7－3.5）米，宽是2米，根据长方形的面积＝长×宽，用（7－3.5）×2即可求出小长方形的面积，据此用减法求出草皮的面积。 【规范解答】（6＋8＋6）×7 ＝20×7 ＝140（平方米） （8＋2）×3.5÷2 ＝10×3.5÷2 ＝17.5（平方米） （7－3.5）×2 ＝3.5×2 ＝7（平方米） 140－17.5－7＝115.5（平方米） 答：需要115.5平方米的草皮。 第二部分：难度分层训练 1．（24-25五年级上·山西晋中·期末）智慧停车的发展解决了人们出行“停车难”的问题，有效地提升了城市综合管理能力、城市科技化管理水平。停车场还设置了投影导向，能更加醒目地向大家传递信息。请你根据图中的数据算一算，B出口的投影导向图的面积多少？ 【答案】130平方分米 【思路引导】观察图形发现，投影导向图由左边的长方形和右边的三角形组成。根据长方形面积公式：S＝a×b（a为长10分米，b为宽9分米）计算出长方形的面积。再根据三角形面积公式：S＝ah÷2（a为底16分米，h为高5分米）计算出三角形的面积。然后把它们的面积相加即可得到投影导向图的面积。 【规范解答】长方形面积：10×9＝90（平方分米） 三角形面积： 16×5÷2 ＝80÷2 ＝40（平方分米） 投影导向图面积：90＋40＝130（平方分米） 答：B出口的投影导向图的面积是130平方分米。 2．（24-25六年级下·云南昭通·期末）永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米，高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树？ 【答案】200棵 【思路引导】根据公式：平行四边形面积＝底×高，代入数据计算，求出橙子园的面积，再用面积除以每棵橙子树占地面积，就能得出橙子树的数量。 【规范解答】32×50÷8＝200（棵） 答：这块地一共种了200棵橙子树。 3．（22-23六年级下·天津河东·期末）只列综合算式，不计算。 用一根铁丝围成一个边长是8厘米的正方形，如果把它拉成一个平行四边形，则面积减少了12平方厘米，拉成的平行四边形的高是多少厘米？ 【答案】 （8×8−12）÷8 【思路引导】已知正方形边长为8厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”，可得正方形面积为8×8＝64平方厘米；因为把正方形拉成平行四边形后面积减少了12平方厘米，所以平行四边形面积＝正方形面积－12，即8×8－12平方厘米；把正方形拉成平行四边形后，底的长度不变，平行四边形的底等于正方形的边长，为8厘米；根据“平行四边形面积＝底×高”，变形可得“平行四边形的高＝平行四边形面积÷底”；结合前面求出的平行四边形面积和底，可知平行四边形的高可通过算式（8×8－12）÷8来计算。 【规范解答】先求正方形面积8×8，再得平行四边形面积8×8－12，最后用平行四边形面积除以底求出高，所以拉成的平行四边形的高列式为：（8×8－12）÷8。 4．（2025六年级下·西藏·专题练习）“探险家”户外运动品牌店门口有一块梯形广告牌，上底是5米，下底是7米，高为2米。现要对广告牌的正、反面进行粉刷，每平方米用涂料300克，店主准备8千克涂料，够不够？ 【答案】够 【思路引导】根据题意，要粉刷梯形广告牌的正、反面，先根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出广告牌一面的面积，再乘2，即是广告牌正、反两面的面积之和，然后乘每平方米需用涂料的质量，即可求出粉刷广告牌正、反面需涂料的总质量，最后与8千克涂料进行比较，得出结论。注意单位的换算：1千克＝1000克。 【规范解答】（5＋7）×2÷2×2 ＝12×2÷2×2 ＝24（平方米） 24×300＝7200（克） 7200克＝7.2千克 7.2＜8 答：店主准备8千克涂料够。 5．（24-25五年级上·河北沧州·期末）叔叔用50米长的篱笆在墙边围了一块梯形的菜地种白菜，如果每平方米可以种4棵白菜，叔叔这块地一共可以种多少棵白菜？ 【答案】560棵 【思路引导】根据题意，用篱笆的长度减去15，即可求出梯形的上底和下底的和，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可求出梯形的面积，再乘每平方米可以种白菜的棵数，即可求出一共可以种多少棵白菜。 【规范解答】50－15＝35（米） 35×8÷2×4 ＝280÷2×4 ＝140×4 ＝560（棵） 答：叔叔这块地一共可以种560棵白菜。 1．（24-25六年级下·云南昭通·期中）一块直角梯形的稻田（如图），用一台收割机进行收割。已知收割机作业宽度是2米，每小时行5000米。多少小时可以收割完这块稻田？ 【答案】2.65小时 【思路引导】由图可知，该梯形稻田的上底是200米、下底是330米、高是100米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出该梯形稻田的面积；收割机作业时，收割的区域可看作长方形，其宽是作业宽度2米，长是每小时行驶的路程5000米，根据“长方形面积＝长×宽”可计算出每小时收割的面积；最后用稻田总面积除以每小时收割面积，即为所需时间。 【规范解答】（200＋330）×100÷2 ＝530×100÷2 ＝53000÷2 ＝26500（平方米） 2×5000＝10000（平方米） 26500÷10000＝2.65（小时） 答：2.65小时可以收割完这块稻田。 2．（24-25五年级上·湖南岳阳·期末）农场有一块花圃计划种植郁金香（如下图，单位：米）。 （1）这块花圃的面积是多少平方米？（提示：同学们可以在图中画一画） （2）如果每株郁金香占地0.5平方米，这块地可以种多少株郁金香？ 【答案】（1）2800平方米； （2）5600株 【思路引导】（1）将花圃分割如下： 则花圃的面积＝长是60米，宽是20米的长方形的面积＋上底是20米下底是60米高是60－20＝40米的梯形的面积，将数据代入长方形的面积公式：S＝ab，梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2计算即可。 （2）用花圃的面积÷每株郁金香的占地面积即可求出这块地可以种多少株郁金香。 【规范解答】（1）60×20＋（60＋20）×（60－20）÷2 ＝60×20＋80×40÷2 ＝1200＋1600 ＝2800（平方米） 答：这块花圃的面积是2800平方米。 （2）2800÷0.5＝5600（株） 答：这块地可以种5600株郁金香。 3．（23-24五年级上·新疆·期末）如图是一块长方形草坪，中间有两条小路，一条是长方形，一条是平行四边形，求草坪的面积。（单位：米） 下面是一位同学的想法： 笑笑：用长方形的面积减去中间两条小路的面积，列式：16×10－16×2－2×10＝108（平方米） （1）你认为他的想法 。（填“正确”或“不正确”） （2）请你正确列式解答。 【答案】（1）不正确 （2）112平方米 【思路引导】（1）这位同学是用大长方形面积减去中间小长方形和小平行四边形的面积，忽略了小长方形和小平行四边形重叠的部分，所以想法错误； （2）用平移法，把小路平移，草坪可拼成平行四边形，原长16米、宽10米，小路宽2米，平移小路后的平行四边形底为（16－2）米、高为（10－2）米，然后根据“平行四边形面积＝底×高”计算出平行四边形的面积，即草坪的面积。 【规范解答】（1）我认为他的想法不正确。 （2）（16－2）×（10－2） ＝14×8 ＝112（平方米） 答：草坪的面积是112平方米。 4．（2025六年级下·西藏·专题练习）希望小学有一块小菜园（如图），被分作面积相等的两块地，平行四边形形状的地种茄子，梯形形状的地种西红柿。（单位：米） （1）种茄子的面积是多少平方米？ （2）AB的长度是多少米？ 【答案】（1）42平方米； （2）8米 【思路引导】（1）由图可知，平行四边形的底是6米，高是7米，利用“平行四边形的面积＝底×高”求出种茄子的面积； （2）由题意可知，梯形的面积等于平行四边形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，下底＝梯形的面积×2÷高－上底，把图中数据代入公式计算，据此解答。 【规范解答】（1）6×7＝42（平方米） 答：种茄子的面积是42平方米。 （2）42×2÷7－4 ＝84÷7－4 ＝12－4 ＝8（米） 答：AB的长度是8米。 5．（24-25五年级上·广西南宁·期末）在学习了平行四边形和三角形面积计算方法后，同学们尝试自己探索梯形面积的计算方法。下面是三位同学的思考过程和计算方法。 ① （5＋3）×2＝16（cm2） 16÷2＝8（cm2） （    ） ② 2÷2＝1（cm） （5＋3）×1＝8（cm2） （    ） ③ 3×2＋（5－3）×2÷2 ＝8（cm2） （    ） 上面三位同学的方法正确吗？对的在括号里画“√”，错误的画“×”。 任选一位同学的方法说明其中的道理。 我要说明的是第________种方法，其中的道理是： 【答案】见详解 【思路引导】①两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于梯形的上底和下底之和，平行四边形的高等于梯形的高，据此结合平行四边形的面积＝底×高求出平行四边形的面积，再除以2即可得到梯形的面积； ②沿着梯形两腰中点所在的线段把这个梯形分割成上下两个梯形，将上面的梯形旋转与下面的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积等于梯形的面积，平行四边形的底等于梯形的上底和下底之和，平行四边形的高等于梯形的高的一半，据此结合平行四边形的面积公式求解即可； ③把这个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，把这个平行四边形的面积和三角形的面积加起来就是这个梯形的面积，据此根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2列式计算即可。 【规范解答】三位同学的方法都正确。①再画一个完全相同的梯形，与原来的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形底为（5＋3）cm，高为2cm，根据平行四边形面积计算公式计算得（5＋3）×2＝16（cm2），其中一个梯形是这个平行四边形面的一半，所以可以得出梯形面积是16÷2＝8（cm2）。 ②沿着梯形两腰中点所在的线段把这个梯形分割成上下两个梯形，将上面的梯形旋转与下面的梯形拼成一个平行四边形。这个拼成的平行四边形的面积和原来梯形面积相等，这个平行四边形的底是5＋3＝8（cm），高是原来梯形高的一半2÷2＝1（cm），面积是8×1＝8（cm2），所以原来梯形的面积也是8cm2。 ③把这个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，这个平行四边形的面积是3×2＝6（cm2），三角形的底为2cm，高为2cm，面积为2×2÷2＝2（cm2），6＋2＝8（cm2）就是这个梯形的面积。 我要说明的是第①种方法，其中的道理是：再画一个完全相同的梯形，与原来的梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形底为（5＋3）cm，高为2cm，根据平行四边形面积计算公式计算得（5＋3）×2＝16（cm2），其中一个梯形是这个平行四边形面的一半，所以可以得出梯形面积是16÷2＝8（cm2）。 1．（24-25六年级下·云南昭通·期末）永善县王叔叔家有一块平行四边形的橙子园，底是50米，高是32米。每8平方米种一棵橙子树，这块地一共种了多少棵橙子树？ 【答案】200棵 【思路引导】根据平行四边形面积＝底×高，求出橙子园的面积，橙子园的面积÷每棵橙子树的占地面积＝橙子树的棵数，据此列式解答。 【规范解答】32×50÷8 ＝1600÷8 ＝200（棵） 答：这块地一共种了200棵橙子树。 2．（24-25五年级上·湖北十堰·期末）学校分给五年级的劳动实践基地示意图如下图。 小玲是这样计算基地面积的： 18×8.5＝153（m2）          18－12＝6（m） （3.5＋8.5）×6÷2＝36（m2）   153－36＝117（m2） （1）请你在下图中画一画，表示出她计算时的思路。 （2）你能用其他方法解答吗？写出解答的过程。 （3）如果每平方米种10株月季花，每30株能收益12元，这块地一共能收益多少元？ 【答案】（1）图见详解 （2）图见详解；117平方米 （3）468元 【思路引导】（1）根据长方形面积公式：面积＝长×宽；18×8.5表示的就是把基地补充成一个大长方形，根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，补充的形状就是一个梯形，18－12计算的是梯形的高，3.5是梯形的上底，8.5是梯形的下底，据此画图。 （2）还可以把基地面积分为一个长是12米，宽是3.5米的长方形，和一个上底是12米，下底是18米，高是（8.5－3.5）米的梯形，据此画图；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，求出基地面积。再画一画。 （画法不唯一） （3）先用基地面积×10，求出基地中月季花的棵数，再用12÷30，求出一株月季花的价钱，再用基地种月季花的株数×月季花的单价，即可解答。 【规范解答】（1）如图： （2）如图： （画法不唯一） 12×3.5＝42（平方米） （12＋18）×（8.5－3.5）÷2 ＝30×5÷2 ＝150÷2 ＝75（平方米） 42＋75＝117（平方米） 答：劳动实践基地的面积是117平方米。 （3）117×10×（12÷30） ＝117×10×0.4 ＝1170×0.4 ＝468（元） 答：这块地一共能收益468元。 3．（24-25五年级上·山东菏泽·期末）一块平行四边形的土地，底是7.5米，高是6.4米。如果用这块地种辣椒，每棵辣椒占地0.3平方米，这块地一共可以种多少棵辣椒？ 【答案】160棵 【思路引导】根据平行四边形面积＝底×高，求出这块地的面积，再除以每棵辣椒占地的面积，即可求出这块地一共可以种多少棵辣椒。 【规范解答】7.5×6.4＝48（平方米） 48÷0.3＝160（棵） 答：这块地一共可以种160棵辣椒。 4．（2024·湖南怀化·小升初真题）如图所示，正方形ABCD的边长是8厘米，四边形EFGH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面积。 【答案】22平方厘米 【思路引导】 EF与CG相交AB与M，DG与EH相交AB与N，连接DM，依据题意结合图示可得：，三角形DEM的面积等于三角形DEN的面积，阴影部分的面积＝三角形DMC的面积－2个四边形EFGH的面积，由此解答本题。 【规范解答】EF与CG相交AB与M，DG与EH相交AB与N，连接DM，如图： 8×8÷2－5×2 ＝64÷2－10 ＝32－10 ＝22（平方厘米） 答：阴影部分的面积是22平方厘米。 【考点剖析】敏锐发现三角形DEM和三角形DEN的面积相等，利用三角形面积公式得出二者面积即三角形DMC的面积，这是解题关键；明确在计算三角形面积时，四边形EFGH被重复计算，需减去2倍其面积来得到阴影部分面积 。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$