第三单元 运算定律（解决问题专项）数学北京版四年级上册

第三单元 运算定律 （7个类型题讲练+三大难度分层练 共36题） 第一部分：类型题讲练 2 思路引导 方法点拨 2 应用类型01：分配律应用题 2 应用类型02：交换律与结合律应用题 2 应用类型03：减法的性质应用题 2 应用类型04：等式变形应用题 2 技巧点拨01：识别运算结构 3 技巧点拨02：选择最佳拆分方案 3 技巧点拨03：多步运算优化 3 技巧点拨04：验证变形逻辑 3 易错点01：分配律误用 3 易错点02：符号处理不当 3 易错点03：遗漏简化条件 3 解决问题 分类讲练 4 类型1 整数加法交换律的实际应用 4 类型2 整数加法结合律的实际应用 5 类型3 整数减法的性质的实际应用 6 类型4 整数乘法交换律的实际应用 7 类型5 整数乘法结合律的实际应用 8 类型6 整数乘法分配律的实际应用 9 类型7 整数除法的性质的实际应用 10 第二部分：难度分层训练 11 A夯实基础 11 B培优拔高 13 C思维拓展 14 第一部分：类型题讲练 知识点1：应用题类型 应用类型01：分配律应用题 典型情境：购物计算、物品分配、费用统计等涉及多组相同单价或数量的组合问题。 案例："学校采购笔记本，每本单价8元，买了125本；练习本每本2元，买了125本。求总花费。" 解法：利用乘法分配律：总价 =（8+2）×125 = 10×125 = 1250元。 应用类型02：交换律与结合律应用题 典型情境：连续加减或乘除运算中的简便计算问题。 案例："一箱苹果重25kg，一箱梨重36kg，运输4箱苹果和4箱梨的总重量。" 解法：利用乘法结合律：25×4 + 36×4 =（25+36）×4 = 61×4 = 244kg。 应用类型03：减法的性质应用题 典型情境：连续减去多个数或抵消数值的简化问题。 案例："仓库有382吨货物，第一次运走169吨，第二次运走31吨。还剩多少吨？" 解法：运用减法性质：382-169-31 = 382-(169+31) = 382-200 = 182吨。 应用类型04：等式变形应用题 典型情境：通过变形运算解决隐藏数量关系的问题。 案例："某数先加上69，再减去21，结果等于150。求这个数。" 解法：设该数为x，则x + 69 - 21 = 150 → x = 150 - (69-21) = 102。 知识点02：解题技巧点拨 技巧点拨01：识别运算结构 观察题目中是否存在相同因数或重复出现的数（如125×8等固定组合），优先用交换律、结合律或分配律简化计算。 例：25×36 → 转化为25×(4×9) = (25×4)×9 = 900。 技巧点拨02：选择最佳拆分方案 将接近整十、整百的数分解为"基准数±尾数"形式。 例：102×35 = (100+2)×35 = 100×35 + 2×35 = 3500+70=3570。 技巧点拨03：多步运算优化 先通过括号调整运算顺序，再进行简算。 例：66×99 = 66×(100-1) = 6600 - 66 = 6534。 技巧点拨04：验证变形逻辑 确保变形后的等式与原题等价，例如检查括号的添加或拆分是否符合运算律规则。 知识点03：易错点及规避策略 易错点01：分配律误用 错误示例：25×（4×8）=25×4+25×8（应直接结合为25×32） 规避方法：明确分配律仅用于"括号外乘括号内加/减"，不适用于纯连乘运算。 易错点02：符号处理不当 错误示例：125×（8-4）误算为125×8+125×4 规避方法：注意括号前是乘法且括号内是减法时，需用分配律后的减法形式。 易错点03：遗漏简化条件 错误示例：75×23+25×23未转化为（75+25）×23 规避方法：观察加数中是否含相同乘数，若有则优先合并。 类型1 整数加法交换律的实际应用 典型例题1：（24-25四年级上·河南周口·期中）晨光小学参加献爱心公益活动。三~六年级参加人数如下表：三~六年级一共有多少人参加这次活动？ 年级 三 四 五 六 人数（人） 43 98 102 147 思路分析：理解题意，求三至六，四个年级的参加活动的人数和，用加法计算，把四个年级的人数相加即可。 答题区： 变式训练1：（24-25四年级上·安徽亳州·期中）阅读材料，回答问题。 社团活动是校园文化建设的重要载体，它能培养学生的兴趣、能力及创造力。实验小学开设了丰富多彩的社团活动，有古诗词、书法、演讲、乒乓球、健美操等12个项目。其中，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人。健美操是融体操、舞蹈、音乐于一体的运动项目，具有高度的艺术性，深受同学们的喜爱，此社团人数最多，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加。社团活动的开展，不但发展了学生的兴趣爱好，而且丰富了学生的学习生活。 （1）估一估，这段材料大约有（    ）个字。 （2）古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人？ （3）健美操社团有多少人？ 变式训练2：（21-22四年级上·山东·单元测试）开车从A城到B城的途中依次经过C、D、E三个城市，各段路程分别如下表。那么，从A城到B城全程多少千米？ 路段 A→C C→D D→E E→B 路程（千米） 82 157 118 133 类型2 整数加法结合律的实际应用 典型例题2：（23-24四年级上·四川广安·期末）麻辣牛肉系列产品是驰名嘉陵江沿岸地区的武胜名优特产食品，因其历史悠久，选料讲究，制作精细，风味独特而深受人们喜爱。家家超市第一天卖出麻辣牛肉278袋，第二天上午卖出188袋，下午卖出112袋。家家超市这两天一共卖出麻辣牛肉多少袋？ 思路分析：本题考查了加法的意义，首先用加法求出第二天上、下午卖出的麻辣牛肉总和，再与第一天卖出的麻辣牛肉数量相加得到的和就是家家超市这两天一共卖出麻辣牛肉。列式计算即可。 答题区： 变式训练1：（24-25四年级上·山东烟台·期中）四（1）班六组的4名同学每分钟跳绳成绩如下表。 姓名 李芳 王丽 卫刚 郝东 数量/下 127 86 173 114 这4名同学平均每人每分钟跳绳多少下？ 变式训练2：（23-24四年级上·全国·课后作业）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 类型3 整数减法的性质的实际应用 典型例题3：（24-25四年级上·重庆忠县·期末）一个粮仓有大米900袋，上午运走了372袋，下午运走了128袋，这个粮仓还剩下大米多少袋？ 思路分析：用仓库大米的总袋数减去上午和下午运走的袋数，就是剩下的袋数，据此即可列式求解；计算时，根据减法的性质，连续减去两个数等于减去这两个数的和，可以先算372和128的和，再用900减去这个和，可以简便运算。 答题区： 变式训练1：（23-24四年级上·重庆垫江·期末）一个仓库有大米783袋，第一天运走348袋，第二天运走252袋，还剩多少袋大米？ 变式训练2：“双十一”期间商家开展电器促销活动，有一种型号的电视机原价3888元，降价288元后，又降价212元。小贤家现在买一台这种型号的电视机，需要用多少元？ 类型4 整数乘法交换律的实际应用 典型例题4：（24-25四年级上·广东深圳·期末）阳光小学共有8个开放式图书角，每个图书角都放置了5个书架，平均每个书架放125本图书，一共有多少本书？ 思路分析：根据题意，已知8个开放式图书角，每个图书角都放置了5个书架，先用乘法计算，用8×5计算出学校的书架总数，再乘125就是学校的书的总数。列式计算即可。 答题区： 变式训练1：（24-25四年级上·四川成都·期中）在某鞋店放着25个鞋架，每个鞋架有6层，每层可以摆放16双鞋，问这家鞋店可以摆放多少双鞋？ 变式训练2：（23-24四年级上·山东济南·期中）实验小学有5个年级，每个年级有8个班，平均每班有40人。实验小学一共有多少名学生？ 类型5 整数乘法结合律的实际应用 典型例题5：（24-25四年级上·福建泉州·期末）草船借箭是我国古典名著《三国演义》中赤壁之战的一个经典故事。若有20条船，一共可以借到多少支箭？ 每条船上有128个草靶子，每个草靶子上平均插50支箭。 思路分析：一条船上共有128个草靶子，每个草靶子上插50支箭，因此一条船上可借箭数为128×50＝6400支。再乘20即可求出20条船一共可借多少支箭。 答题区： 变式训练1：（24-25四年级上·广东深圳·期末）贝贝想用计算器计算36×25的结果，但是计算器上的按键“6”坏了。她想了想，输入了算式“12×3×25”。 （1）想一想，贝贝输入的这个算式可以得到正确的结果吗？为什么？（写出你的思考过程） （2）你还能想到什么样的算式，用这个计算器也可以算出36×25的结果？（至少写出1个） 变式训练2：（24-25四年级上·广东深圳·期中）张家界天门山索道全长7455米，是世界上最高的高山客运索道。天门山索道上一共有98个缆车轿厢，每个缆车轿箱最多容纳8名乘客，若所有缆车轿厢运行125趟，最多可载多少名乘客？ 类型6 整数乘法分配律的实际应用 典型例题6：（24-25四年级下·河北邯郸·期末）某旅行社推出“邯郸一日游”的两种价格方案（如下图）。成人和儿童各12人。你会选择哪种方案？为什么？ 方案一 成人每人150元 儿童每人60元 方案二 团体20人以上每人100 思路分析：方案一：成人12人×成人每人150元＋儿童12人×儿童每人60元＝总价，计算时可以利用乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c； 方案二：12＋12＝24人，24人＞20人，所以用24人×每人100元＝总票价，再比较两种方案的结果，选出最便宜的方案即可； 答题区： 变式训练1：（24-25四年级上·浙江金华·期末）扎染是我国的非遗传承项目之一、李祖村某染坊推出了十二生肖系列，其中“中国龙”每个定价为108元，“小金蛇”每个定价为92元。某旅行团预定了“中国龙”和“小金蛇”各35个，共需多少钱？ 变式训练2：（24-25四年级上·湖南永州·期末）学校组织同学们去“蒋先云故居”接受红色文化教育，租来8辆大客车和8辆小客车，大客车每辆可坐52人，小客车每辆可坐38人，每台车刚好坐满。一共去了多少人？ 类型7 整数除法的性质的实际应用 典型例题7：（23-24四年级下·陕西渭南·期末）2024年6月9日是第17个国际档案日，今年宣传主题为“筑梦向现代化、奋斗兰台人”。目前我国已有15项档案文献入选世界记忆名录，17项档案文献入选世界记忆亚太地区名录，数量位居世界前列。某部门将27000份档案放入新购进的125个书柜进行整理，每个书柜有8层，平均每层多少份档案？（用简便方法计算） 思路分析：先用27000除以125算出平均每个书柜放多少份档案，再除以8即可算出平均每层放多少份档案。计算时，利用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）可使计算简便。据此解答。 答题区： 变式训练1：学校要开运动会，准备做4800面彩旗布置运动场。学校把这个任务平均分给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？ 变式训练2：（20-21四年级·山东潍坊·期末）学校要做2000面彩旗，把这个任务交给25个班，每班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？（列综合算式解答） 第二部分：难度分层训练 1．（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期中）一个篮球场是一个长28米、宽15米的长方形，这个篮球场的面积是多少？17个这样的篮球场的面积是多少？一个足球场是一个长105米、宽68米的长方形，这个足球场的面积是多少？你能发现什么？ 2．（24-25四年级下·河南信阳·期中）爷爷家有一块菜地，长35米，宽25米，他准备在这块菜地里划出一个最大的正方形种白菜，其余的种萝卜，种萝卜的面积是多少平方米？ 3．（24-25四年级下·全国·课后作业）黄梅戏与京剧、越剧、评剧、豫剧并称“中国五大戏曲剧种”，也是安徽省的主要地方戏曲剧种。安庆某黄梅戏剧团2023年平均每月演出14场，2024年平均每月演出16场。2023年和2024年一共演出了多少场？ 4．（24-25四年级上·四川成都·期末）学校号召学生将自家多余的塑料瓶收集起来，变废为宝循环利用。四（9）班学生平均分成三个小组，每个小组11人。第一小组平均每人回收8个塑料瓶；第二小组平均每人回收12个塑料瓶；第三小组平均每人回收26个塑料瓶。这三个小组一共回收多少个塑料瓶？ 5．（24-25四年级上·重庆黔江·期末）李老师带着同学们到劳动基地摘苹果，第一天摘了823个，第二天上午摘了535个，下午摘了177个。这两天共摘苹果多少个？ 1．（23-24四年级上·陕西咸阳·阶段练习）某水果店卖出两箱苹果，第一箱37千克，第二箱28千克，苹果的单价是5元/千克。第二箱比第一箱少卖了多少钱？ 2．（24-25四年级下·广西河池·期末）甲、乙两组合作加工一批零件。甲组每天加工146个，乙组每天加工154个。加工17天后，还剩下136个零件没有加工。这批零件一共有多少个？ 3．（24-25四年级上·贵州黔南·期末）四年级35名同学在元旦迎新活动中表演花灯舞蹈，统一订购下图中的表演服，一共需要多少钱？ （1）算式：（39＋25）×35，先算（39＋25），也就是先求出____________。 （2）除了上述方法，你还有别的方法解决问题吗？请写出相应的算式并解答。 4．（24-25四年级上·浙江金华·期末）2024年11月2日，全国热气球公开赛盛大开幕，为期7天的比赛引来全国各地30支队伍在此竞技。爸爸妈妈带着明明和妹妹去现场观看开幕式音乐节，成人票每张88元，儿童票每张48元。小明一家带了300元，够吗？ 5．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）黄山是世界自然和文化双遗产，以奇松、怪石、云海、温泉、冬雪“五绝”著称于世。聪聪一家自驾去黄山游玩，3小时行驶了210千米，照这样的速度。出发5小时以后，他们距目的地还有20千米，聪聪家到黄山一共多少千米？ 1．（2025四年级下·全国·专题练习）小立和小芳做同一道乘法题，可结果却不一样，小立算得结果为47552，小芳算得结果为47872，他们马上查找原因，这才发现小立将一个乘数个位上的5看成了3，小芳将这个乘数个位上的5看成了8，正确的乘积是多少？ 2．（23-24三年级上·陕西汉中·期中）小刚在计算一道减法题时，不小心把墨水洒到了本子上，题中的被减数看不清了，只记得被减数比减数多129，比差多486，被减数是多少？ 3．（21-22四年级上·湖北武汉·期末）两数相除商是5，余数是23。已知被除数、除数、商和余数的总和是255，请你求出除数是多少。 （1）根据“两数相除商是5，余数是23”，请你表示被除数和除数的关系。 （2）依据你的思路，写出完整的解答过程。 4．（2022四年级下·全国·专题练习）有一些棒棒糖，小明第一次吃掉这些糖的一半还多10个，第二次吃掉余下的一半还多20个，这时还剩下15个糖，原来有多少个棒棒糖？ 5．（21-22四年级上·江苏·期末）丫丫和甜甜都是手工小组的组员，甜甜这学期刚加入，丫丫制作的小手工件数是甜甜的4倍，如果丫丫送给甜甜24件，那么两人的小手工件数相同。丫丫和甜甜原来各有多少件小手工？ 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 运算定律 （7个类型题讲练+三大难度分层练 共36题） 第一部分：类型题讲练 2 思路引导 方法点拨 2 应用类型01：分配律应用题 2 应用类型02：交换律与结合律应用题 2 应用类型03：减法的性质应用题 2 应用类型04：等式变形应用题 2 技巧点拨01：识别运算结构 3 技巧点拨02：选择最佳拆分方案 3 技巧点拨03：多步运算优化 3 技巧点拨04：验证变形逻辑 3 易错点01：分配律误用 3 易错点02：符号处理不当 3 易错点03：遗漏简化条件 3 解决问题 分类讲练 4 类型1 整数加法交换律的实际应用 4 类型2 整数加法结合律的实际应用 6 类型3 整数减法的性质的实际应用 8 类型4 整数乘法交换律的实际应用 10 类型5 整数乘法结合律的实际应用 12 类型6 整数乘法分配律的实际应用 14 类型7 整数除法的性质的实际应用 16 第二部分：难度分层训练 17 A夯实基础 17 B培优拔高 20 C思维拓展 23 第一部分：类型题讲练 知识点1：应用题类型 应用类型01：分配律应用题 典型情境：购物计算、物品分配、费用统计等涉及多组相同单价或数量的组合问题。 案例："学校采购笔记本，每本单价8元，买了125本；练习本每本2元，买了125本。求总花费。" 解法：利用乘法分配律：总价 =（8+2）×125 = 10×125 = 1250元。 应用类型02：交换律与结合律应用题 典型情境：连续加减或乘除运算中的简便计算问题。 案例："一箱苹果重25kg，一箱梨重36kg，运输4箱苹果和4箱梨的总重量。" 解法：利用乘法结合律：25×4 + 36×4 =（25+36）×4 = 61×4 = 244kg。 应用类型03：减法的性质应用题 典型情境：连续减去多个数或抵消数值的简化问题。 案例："仓库有382吨货物，第一次运走169吨，第二次运走31吨。还剩多少吨？" 解法：运用减法性质：382-169-31 = 382-(169+31) = 382-200 = 182吨。 应用类型04：等式变形应用题 典型情境：通过变形运算解决隐藏数量关系的问题。 案例："某数先加上69，再减去21，结果等于150。求这个数。" 解法：设该数为x，则x + 69 - 21 = 150 → x = 150 - (69-21) = 102。 知识点02：解题技巧点拨 技巧点拨01：识别运算结构 观察题目中是否存在相同因数或重复出现的数（如125×8等固定组合），优先用交换律、结合律或分配律简化计算。 例：25×36 → 转化为25×(4×9) = (25×4)×9 = 900。 技巧点拨02：选择最佳拆分方案 将接近整十、整百的数分解为"基准数±尾数"形式。 例：102×35 = (100+2)×35 = 100×35 + 2×35 = 3500+70=3570。 技巧点拨03：多步运算优化 先通过括号调整运算顺序，再进行简算。 例：66×99 = 66×(100-1) = 6600 - 66 = 6534。 技巧点拨04：验证变形逻辑 确保变形后的等式与原题等价，例如检查括号的添加或拆分是否符合运算律规则。 知识点03：易错点及规避策略 易错点01：分配律误用 错误示例：25×（4×8）=25×4+25×8（应直接结合为25×32） 规避方法：明确分配律仅用于"括号外乘括号内加/减"，不适用于纯连乘运算。 易错点02：符号处理不当 错误示例：125×（8-4）误算为125×8+125×4 规避方法：注意括号前是乘法且括号内是减法时，需用分配律后的减法形式。 易错点03：遗漏简化条件 错误示例：75×23+25×23未转化为（75+25）×23 规避方法：观察加数中是否含相同乘数，若有则优先合并。 类型1 整数加法交换律的实际应用 典型例题1：（24-25四年级上·河南周口·期中）晨光小学参加献爱心公益活动。三~六年级参加人数如下表：三~六年级一共有多少人参加这次活动？ 年级 三 四 五 六 人数（人） 43 98 102 147 思路分析：理解题意，求三至六，四个年级的参加活动的人数和，用加法计算，把四个年级的人数相加即可。 答题区： 43＋98＋102＋147 ＝98＋102＋43＋147 ＝200＋43＋147 ＝243＋147 ＝390（人） 答：三至六年级一共有390人参加这次活动。 变式训练1：（24-25四年级上·安徽亳州·期中）阅读材料，回答问题。 社团活动是校园文化建设的重要载体，它能培养学生的兴趣、能力及创造力。实验小学开设了丰富多彩的社团活动，有古诗词、书法、演讲、乒乓球、健美操等12个项目。其中，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人。健美操是融体操、舞蹈、音乐于一体的运动项目，具有高度的艺术性，深受同学们的喜爱，此社团人数最多，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加。社团活动的开展，不但发展了学生的兴趣爱好，而且丰富了学生的学习生活。 （1）估一估，这段材料大约有（    ）个字。 （2）古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人？ （3）健美操社团有多少人？ 【答案】（1）220； （2）385人； （3）300人 【思路引导】（1）由题意得，题目中的文字较多，可以先看一行有多少个字，再数出有多少行，可以估算出这段材料大约有多少个字。 （2）由题意得，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人，求古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人，用加法计算。计算时，利用加法交换律可使计算简便。 （3）由题意得，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加，可以先用3乘4算出一共有多少个班，然后再乘上25即可算出健美操社团有多少人。计算时，利用乘法结合律可使计算简便。 【规范解答】（1）由题意得，每行大约有40个字，一共有5行半。 40×5＋20 ＝200＋20 ＝220（个） 这段材料大约有220个字。（答案不唯一） （2）164＋85＋136 ＝164＋136＋85 ＝300＋85 ＝385（人） 答：古诗词、乒乓球、书法社团一共有385人。 （3）3×4×25 ＝3×（4×25） ＝3×100 ＝300（人） 答：健美操社团有300人。 变式训练2：（21-22四年级上·山东·单元测试）开车从A城到B城的途中依次经过C、D、E三个城市，各段路程分别如下表。那么，从A城到B城全程多少千米？ 路段 A→C C→D D→E E→B 路程（千米） 82 157 118 133 【答案】490千米 【思路引导】根据题意，要求从A城到B城全程多少千米，把A→C、C→D、D→E、E→B，这四段路的路程相加即可解题。 【规范解答】82＋157＋118＋133 ＝（82＋118）＋（157＋133） ＝200＋290 ＝490（千米） 答：从A城到B城全程490千米。 【考点剖析】熟练掌握连加运算的计算方法，列式计算时，注意加法交换律、加法结合律的应用。 类型2 整数加法结合律的实际应用 典型例题2：（23-24四年级上·四川广安·期末）麻辣牛肉系列产品是驰名嘉陵江沿岸地区的武胜名优特产食品，因其历史悠久，选料讲究，制作精细，风味独特而深受人们喜爱。家家超市第一天卖出麻辣牛肉278袋，第二天上午卖出188袋，下午卖出112袋。家家超市这两天一共卖出麻辣牛肉多少袋？ 思路分析：本题考查了加法的意义，首先用加法求出第二天上、下午卖出的麻辣牛肉总和，再与第一天卖出的麻辣牛肉数量相加得到的和就是家家超市这两天一共卖出麻辣牛肉。列式计算即可。 答题区： 根据分析计算如下： 188＋112＋278 ＝300＋278 ＝578（袋） 答：家家超市这两天一共卖出麻辣牛肉578袋。 变式训练1：（24-25四年级上·山东烟台·期中）四（1）班六组的4名同学每分钟跳绳成绩如下表。 姓名 李芳 王丽 卫刚 郝东 数量/下 127 86 173 114 这4名同学平均每人每分钟跳绳多少下？ 【答案】125下 【思路引导】先把4名同学的成绩相加求出总成绩，再用总成绩除以4，即可求出这4名同学平均每人每分钟跳绳多少下；计算时可以运用加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；据此解答。 【规范解答】127＋86＋173＋114 ＝（127＋173）＋（86＋114） ＝300＋200 ＝500（下） 500÷4＝125（下） 答：这4名同学平均每人每分钟跳绳125下。 变式训练2：（23-24四年级上·全国·课后作业）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 【答案】245页 【思路引导】分析题可知第一天20页，第二天（20＋5）页，第三天（20＋5×2）页……第七天（20＋5×6），第七天正好是50页，这七天读的页数加一起就是这本书的页数，20＋（20＋5）＋（20＋5×2）＋（20＋5×3）＋（20＋5×4）＋（20＋5×5）＋（20＋5×6），共有7个20，（1＋2＋3＋4＋5＋6）个5，最后加在一起即为所求。 【规范解答】1＋2＋3＋4＋5＋6 ＝（1＋6）＋（2＋5）＋（3＋4） ＝7＋7＋7 ＝14＋7 ＝21 20×7＋21×5 ＝140＋105 ＝245（页） 答：这本书共245页。 类型3 整数减法的性质的实际应用 典型例题3：（24-25四年级上·重庆忠县·期末）一个粮仓有大米900袋，上午运走了372袋，下午运走了128袋，这个粮仓还剩下大米多少袋？ 思路分析：用仓库大米的总袋数减去上午和下午运走的袋数，就是剩下的袋数，据此即可列式求解；计算时，根据减法的性质，连续减去两个数等于减去这两个数的和，可以先算372和128的和，再用900减去这个和，可以简便运算。 答题区： 900－372－128 ＝900－（372＋128） ＝900－500 ＝400（袋） 答：这个粮仓还剩下大米400袋。 变式训练1：（23-24四年级上·重庆垫江·期末）一个仓库有大米783袋，第一天运走348袋，第二天运走252袋，还剩多少袋大米？ 【答案】183袋 【思路引导】要求还剩多少袋大米，就要用总袋数将第一天运走大米的袋数和第二天运走大米的袋数减掉即可求出。通过观察可以发现，第一天运走的大米袋数加上第二天运走的大米袋数可以凑成整数，根据减法的性质，一个数连续减两个数等于减这两个数的和，据此简便计算即可。 【规范解答】783－348－252 ＝783－（348＋252） ＝783－600 ＝183（袋） 答：还剩183袋大米。 变式训练2：“双十一”期间商家开展电器促销活动，有一种型号的电视机原价3888元，降价288元后，又降价212元。小贤家现在买一台这种型号的电视机，需要用多少元？ 【答案】3388元 【思路引导】理清数量关系，原价3888元，降价288元后，又降价212元，就是从原价分别减去两次降价，就能求出小贤家现在买一台这种型号的电视机的价格。 【规范解答】 两种方法均可。 答：小贤家现在买一台这种型号的电视机的价格3388元。 类型4 整数乘法交换律的实际应用 典型例题4：（24-25四年级上·广东深圳·期末）阳光小学共有8个开放式图书角，每个图书角都放置了5个书架，平均每个书架放125本图书，一共有多少本书？ 思路分析：根据题意，已知8个开放式图书角，每个图书角都放置了5个书架，先用乘法计算，用8×5计算出学校的书架总数，再乘125就是学校的书的总数。列式计算即可。 答题区： 根据分析可知： 5×8×125 ＝40×125 ＝5000（本） 答：一共有5000本书。 变式训练1：（24-25四年级上·四川成都·期中）在某鞋店放着25个鞋架，每个鞋架有6层，每层可以摆放16双鞋，问这家鞋店可以摆放多少双鞋？ 【答案】2400双 【思路引导】根据题意，可以先用25×6算出鞋架一共有多少层，再用25×6的结果乘16，算得一共可以放多少双鞋，那么列出综合算式就是：25×6×16，为了更简便更快算出答案，我们可以将16拆分成4×4，因此算式是：25×6×4×4，可以利用乘法交换律和乘法结合律将25与4结合，6和4结合，据此计算即可解答。 【规范解答】根据分析可得： 25×6×16 ＝25×6×4×4 ＝25×4×6×4 ＝（25×4）×（6×4） ＝100×24 ＝2400（双） 答：这家鞋店可以摆放2400双鞋。 【考点剖析】本题考查乘法简便运算，需要我们灵活运用乘法的交换律、结合律，同时会利用拆分法拆分出可以简便运算的数字是解题的关键。 变式训练2：（23-24四年级上·山东济南·期中）实验小学有5个年级，每个年级有8个班，平均每班有40人。实验小学一共有多少名学生？ 【答案】1600名 【思路引导】已知实验小学有5个年级，每个年级有8个班，即可求出一共有多少个班，用5乘8；再用平均每班人数40人乘一共的班数，即得到一共有多少名学生。或先求出每个年级有多少名学生，用平均每班人数40乘每个年级的班数8，再用每个年级的人数乘5个年级，即得到一共有多少名学生。据此解答。 【规范解答】解法一： 5×8×40 ＝40×40 ＝1600（名） 解法二： 40×8×5 ＝320×5 ＝1600（名） 答：实验小学一共有1600名学生。 类型5 整数乘法结合律的实际应用 典型例题5：（24-25四年级上·福建泉州·期末）草船借箭是我国古典名著《三国演义》中赤壁之战的一个经典故事。若有20条船，一共可以借到多少支箭？ 每条船上有128个草靶子，每个草靶子上平均插50支箭。 思路分析：一条船上共有128个草靶子，每个草靶子上插50支箭，因此一条船上可借箭数为128×50＝6400支。再乘20即可求出20条船一共可借多少支箭。 答题区： 128×50×20 ＝128×（50×20） ＝128×1000 ＝128000（支） 答：一共可以借到128000支箭。 变式训练1：（24-25四年级上·广东深圳·期末）贝贝想用计算器计算36×25的结果，但是计算器上的按键“6”坏了。她想了想，输入了算式“12×3×25”。 （1）想一想，贝贝输入的这个算式可以得到正确的结果吗？为什么？（写出你的思考过程） （2）你还能想到什么样的算式，用这个计算器也可以算出36×25的结果？（至少写出1个） 【答案】（1）可以；见详解；（2）见详解 【思路引导】（1）三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。根据乘法结合律进行解答。计算器上“6”坏了，我们计算36×25，可以将36想成是由12×3得到的，因为12×3＝36，所以36×25就可以转化为12×3×25，再运用乘法结合律，对12×3×25进行计算，即可算出36×25的最终结果。以此答题即可。 （2）根据乘法结合律，将36想成是另外两个数之积，相乘等于36的算式也可以是2×18，4×9，或者运用乘法分配律，将36想成是（40－4）、（32＋4）等，都可以进行计算。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： （1）计算器上“6”坏了，我们计算36×25，可以将36想成是由12×3得到的，因为12×3＝36，所以36×25就可以转化为12×3×25，再运用乘法结合律，对12×3×25进行计算，即可算出36×25的最终结果。（答案不唯一） （2）2×18＝36，所以36×25可以写成2×18×25；40－4＝36，所以36×25可以写成（40－4）×25。（答案不唯一） 变式训练2：（24-25四年级上·广东深圳·期中）张家界天门山索道全长7455米，是世界上最高的高山客运索道。天门山索道上一共有98个缆车轿厢，每个缆车轿箱最多容纳8名乘客，若所有缆车轿厢运行125趟，最多可载多少名乘客？ 【答案】98000名 【思路引导】1个缆车轿箱最多能载8名乘客，98乘8可以求出98个缆车轿厢最多能载多少名乘客，因为所有缆车轿厢运行125趟，再给这个积乘125即可求出125趟能载多少名乘客，计算时可以根据乘法结合律进行简算，先计算8与125的积，再把这个积与98相乘即可。 【规范解答】98×8×125 ＝98×（8×125） ＝98×1000 ＝98000（名） 答：最多可载98000名乘客。 类型6 整数乘法分配律的实际应用 典型例题6：（24-25四年级下·河北邯郸·期末）某旅行社推出“邯郸一日游”的两种价格方案（如下图）。成人和儿童各12人。你会选择哪种方案？为什么？ 方案一 成人每人150元 儿童每人60元 方案二 团体20人以上每人100 思路分析：方案一：成人12人×成人每人150元＋儿童12人×儿童每人60元＝总价，计算时可以利用乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c； 方案二：12＋12＝24人，24人＞20人，所以用24人×每人100元＝总票价，再比较两种方案的结果，选出最便宜的方案即可； 答题区： 根据分析可得： 方案一： 12×150＋12×60 ＝12×（150＋60） ＝12×210 ＝2520（元） 方案二： （12＋12）×100 ＝24×100 ＝2400（元） 2520＞2400，所以方案二更便宜些。 答：选方案二，因为买团体票花的钱更便宜。 变式训练1：（24-25四年级上·浙江金华·期末）扎染是我国的非遗传承项目之一、李祖村某染坊推出了十二生肖系列，其中“中国龙”每个定价为108元，“小金蛇”每个定价为92元。某旅行团预定了“中国龙”和“小金蛇”各35个，共需多少钱？ 【答案】7000元 【思路引导】根据题意“中国龙”每个定价为108元×35个＋“小金蛇”每个定价为92元×35个＝（“中国龙”每个定价为108元＋“小金蛇”每个定价为92元）×35个＝共需多少钱，代入数据计算，这里运用了乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c。 【规范解答】108×35＋92×35 ＝（108＋92）×35 ＝200×35 ＝7000（元） 答：共需7000元。 变式训练2：（24-25四年级上·湖南永州·期末）学校组织同学们去“蒋先云故居”接受红色文化教育，租来8辆大客车和8辆小客车，大客车每辆可坐52人，小客车每辆可坐38人，每台车刚好坐满。一共去了多少人？ 【答案】720人 【思路引导】分别用每辆大客车、小客车乘坐的人数乘上相应的辆数，再相加即可求解。 【规范解答】52×8＋38×8 ＝（52＋38）×8 ＝90×8 ＝720（人） 答：一共去了720人。 类型7 整数除法的性质的实际应用 典型例题7：（23-24四年级下·陕西渭南·期末）2024年6月9日是第17个国际档案日，今年宣传主题为“筑梦向现代化、奋斗兰台人”。目前我国已有15项档案文献入选世界记忆名录，17项档案文献入选世界记忆亚太地区名录，数量位居世界前列。某部门将27000份档案放入新购进的125个书柜进行整理，每个书柜有8层，平均每层多少份档案？（用简便方法计算） 思路分析：先用27000除以125算出平均每个书柜放多少份档案，再除以8即可算出平均每层放多少份档案。计算时，利用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）可使计算简便。据此解答。 答题区： 27000÷125÷8 ＝27000÷（125×8） ＝27000÷1000 ＝27（份） 答：平均每层27份档案。 变式训练1：学校要开运动会，准备做4800面彩旗布置运动场。学校把这个任务平均分给25个班，每个班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？ 【答案】48面 【思路引导】根据题意，先用4800除以25求出每个班能分多少面彩旗，再除以4即可求出平均每个小组要做多少面彩旗。 【规范解答】 答：平均每个小组要做48面彩旗。 【考点剖析】本题考查了用两步连除解决实际问题。 变式训练2：（20-21四年级·山东潍坊·期末）学校要做2000面彩旗，把这个任务交给25个班，每班有4个小组，平均每个小组要做多少面彩旗？（列综合算式解答） 【答案】20面 【思路引导】要做的彩旗面数除以班数，再除以每个班的小组数即可解答。 【规范解答】2000÷25÷4 ＝2000÷（25×4） ＝2000÷100 ＝20（面） 答：平均每个小组要做20面彩旗。 【考点剖析】本题主要考查学生对整数除法的性质的掌握和灵活运用。 第二部分：难度分层训练 1．（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期中）一个篮球场是一个长28米、宽15米的长方形，这个篮球场的面积是多少？17个这样的篮球场的面积是多少？一个足球场是一个长105米、宽68米的长方形，这个足球场的面积是多少？你能发现什么？ 【答案】420平方米；7140平方米；7140平方米； 我发现：一个足球场的面积等于17个篮球场的面积。 【思路引导】根据长方形的面积面积＝长×宽，先计算出一个篮球场的面积，再乘17算出17个篮球场的面积。同理根据长方形面积公式计算出一个足球场的面积，计算是运用乘法分配律进行简算；最后比较17个篮球场的面积和一个足球场的面积，得出结论。 【规范解答】28×15＝420（平方米） 答：这个篮球场的面积是420平方米。 420×7＝7140（平方米） 答：17个这样的篮球场的面积是7140平方米。 105×68 ＝（100＋5）×68 ＝100×68＋5×68 ＝6800＋340 ＝7140（平方米） 答：这个足球场的面积是7140平方米。 7140平方米＝7140平方米 答：我发现：一个足球场的面积等于17个篮球场的面积。 2．（24-25四年级下·河南信阳·期中）爷爷家有一块菜地，长35米，宽25米，他准备在这块菜地里划出一个最大的正方形种白菜，其余的种萝卜，种萝卜的面积是多少平方米？ 【答案】250平方米 【思路引导】长方形面积＝长×宽；正方形面积＝边长×边长；在一个长方形里画最大正方形，正方形的边长就是长方形的宽，所以在长35米，宽25米的菜地里划出一个最大的正方形种白菜，正方形的边长就是25米，菜地总面积减去正方形面积即为剩余的面积，据此解题。 【规范解答】25×35－25×25 ＝875－625 ＝250（平方米） 答：种萝卜的面积是250平方米。 3．（24-25四年级下·全国·课后作业）黄梅戏与京剧、越剧、评剧、豫剧并称“中国五大戏曲剧种”，也是安徽省的主要地方戏曲剧种。安庆某黄梅戏剧团2023年平均每月演出14场，2024年平均每月演出16场。2023年和2024年一共演出了多少场？ 【答案】360场 【思路引导】根据题意，一年有12个月，可以用12个月分别乘2023年、2024年每月演出的场数，再相加。 【规范解答】14×12＋16×12 ＝（14＋16）×12 ＝30×12 ＝360（场） 答：2023年和2024年一共演出了360场。 4．（24-25四年级上·四川成都·期末）学校号召学生将自家多余的塑料瓶收集起来，变废为宝循环利用。四（9）班学生平均分成三个小组，每个小组11人。第一小组平均每人回收8个塑料瓶；第二小组平均每人回收12个塑料瓶；第三小组平均每人回收26个塑料瓶。这三个小组一共回收多少个塑料瓶？ 【答案】506个 【思路引导】用每个小组平均每人回收的个数乘11，求出每个小组共回收多少个塑料瓶，再相加，就是这三个小组一共回收多少个塑料瓶；在计算过程中发现有相同的因数，可利用乘法分配律进行简算。乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【规范解答】11×8＋11×12＋11×26 ＝11×（8＋12＋26） ＝11×46 ＝506（个） 答：这三个小组一共回收506个塑料瓶。 5．（24-25四年级上·重庆黔江·期末）李老师带着同学们到劳动基地摘苹果，第一天摘了823个，第二天上午摘了535个，下午摘了177个。这两天共摘苹果多少个？ 【答案】1535个 【思路引导】由题意得，将第一天、第二天上午和下午摘的数量相加，即可求出这两天共摘苹果多少个。计算时，利用加法交换律可使计算简便。 【规范解答】823＋535＋177 ＝823＋177＋535 ＝1000＋535 ＝1535（个） 答：这两天共摘苹果1535个。 1．（23-24四年级上·陕西咸阳·阶段练习）某水果店卖出两箱苹果，第一箱37千克，第二箱28千克，苹果的单价是5元/千克。第二箱比第一箱少卖了多少钱？ 【答案】45元 【思路引导】要求第二箱比第一箱少卖的钱数，需计算两箱苹果的重量差，再乘单价。 【规范解答】（37－28）×5 ＝9×5 ＝45（元） 答：第二箱比第一箱少卖了45元。 2．（24-25四年级下·广西河池·期末）甲、乙两组合作加工一批零件。甲组每天加工146个，乙组每天加工154个。加工17天后，还剩下136个零件没有加工。这批零件一共有多少个？ 【答案】 5236个 【思路引导】用甲组每天加工的零件个数和乙组每天加工的零件个数分别乘上18算出甲组18天一共加工的零件个数和乙组18天一共加工的零件个数，然后再把得数加起来算出他们18天一共加工的零件个数。最后再加上剩下的36个零件即可算出这批零件共有多少个。计算时，利用乘法分配律的逆运算：a×c＋b×c＝（a＋b）×c可使计算简便。 【规范解答】 （个） （个） 答：这批零件一共有5236个。 3．（24-25四年级上·贵州黔南·期末）四年级35名同学在元旦迎新活动中表演花灯舞蹈，统一订购下图中的表演服，一共需要多少钱？ （1）算式：（39＋25）×35，先算（39＋25），也就是先求出____________。 （2）除了上述方法，你还有别的方法解决问题吗？请写出相应的算式并解答。 【答案】（1）一套表演服的价钱； （2）见详解 【思路引导】（1）已知图中上衣单价是39元，裤子单价是25元，39＋25表示的是一套表演服（一件上衣和一条裤子）的价钱，所以先算（39＋25），也就是先求出一套表演服的价钱。 （2）可以分别计算出35件上衣的总价和35条裤子的总价，再将两者相加，得到35套表演服的总价。已知上衣单价39元，根据“总价＝单价×数量”，可得35件上衣的总价为39×35＝1365（元）；裤子单价25元，同理可得35条裤子的总价为25×35＝875（元）；那么35套表演服的总价为1365＋875＝2240（元）。 【规范解答】（1）算式：（39＋25）×35，先算（39＋25），也就是先求出一套表演服的价钱。 （2）39×35＋25×35 ＝1365＋875 ＝2240（元） 答：一共需要2240元。 4．（24-25四年级上·浙江金华·期末）2024年11月2日，全国热气球公开赛盛大开幕，为期7天的比赛引来全国各地30支队伍在此竞技。爸爸妈妈带着明明和妹妹去现场观看开幕式音乐节，成人票每张88元，儿童票每张48元。小明一家带了300元，够吗？ 【答案】够 【思路引导】根据题意，爸爸、妈妈、明明妹妹，总共是2成人2儿童，所以用成人的人数×成人票价＋儿童的人数×儿童票价，即可算得一共需要多少钱，再与300元作比较，如果大于300元，则不够，如果小于等于300元，则够，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 88×2＋48×2 ＝（88＋48）×2 ＝136×2 ＝272（元） 272＜300，所以带300元，够。 答：小明一家带了300元，够。 5．（24-25四年级上·安徽合肥·期末）黄山是世界自然和文化双遗产，以奇松、怪石、云海、温泉、冬雪“五绝”著称于世。聪聪一家自驾去黄山游玩，3小时行驶了210千米，照这样的速度。出发5小时以后，他们距目的地还有20千米，聪聪家到黄山一共多少千米？ 【答案】370千米 【思路引导】根据题意，用210÷3＝70（千米），求出每小时行驶的速度，用70×5，求出5小时行驶的路程，再用5小时行驶的路程加上20千米，即可求出聪聪家到黄山一共多少千米。 【规范解答】210÷3×5＋20 ＝70×5＋20 ＝350＋20 ＝370（千米） 答：聪聪家到黄山一共370千米。 1．（2025四年级下·全国·专题练习）小立和小芳做同一道乘法题，可结果却不一样，小立算得结果为47552，小芳算得结果为47872，他们马上查找原因，这才发现小立将一个乘数个位上的5看成了3，小芳将这个乘数个位上的5看成了8，正确的乘积是多少？ 【答案】47680 【思路引导】读题可知，两人的计算结果相差（47872－47552），小立将一个乘数个位上的5看成了3，小芳将这个乘数个位上的5看成了8，因此两人的计算结果相差（8－3）倍，两人计算结果的差÷倍数差＝一倍数，即那个正确的乘数。再根据积÷乘数＝另一个乘数，用47552÷64，计算出小立错算的乘数，错算的这个乘数的个位3换成5是正确的乘数，最后将两个正确的乘数相乘即可。 【规范解答】（47872－47552）÷（8－3） ＝320÷5 ＝64 47552÷64＝743 正确的应该是745。 745×64＝47680 答：正确的乘积是47680。 【考点剖析】关键是通过两人错算的乘数的个位数，确定积相差的倍数，从而先求出正确的乘数。 2．（23-24三年级上·陕西汉中·期中）小刚在计算一道减法题时，不小心把墨水洒到了本子上，题中的被减数看不清了，只记得被减数比减数多129，比差多486，被减数是多少？ 【答案】615 【思路引导】被减数－减数＝差，被减数比减数多的129，就是差，被减数比差多的486，就是减数，要求被减数是多少，只需要将129和486加起来即可。据此解答。 【规范解答】129＋486＝615 答：被减数是615。 【考点剖析】本题主要是理解被减数、减数与差之间的关系，能够明确一个减法算式中，被减数比减数多的数是差，被减数比差多的是减数。 3．（21-22四年级上·湖北武汉·期末）两数相除商是5，余数是23。已知被除数、除数、商和余数的总和是255，请你求出除数是多少。 （1）根据“两数相除商是5，余数是23”，请你表示被除数和除数的关系。 （2）依据你的思路，写出完整的解答过程。 【答案】（1）被除数＝除数×5＋23 （2）见详解 【思路引导】（1）根据被除数＝除数×商＋余数，又知道“两数相除商是5，余数是23”，所以被除数＝除数×5＋23。 （2）因为被除数、除数、商和余数的总和是255，所以用255减去商5，再减去余数23，求出被除数和除数的和；又因为被除数除以除数有余数，再把余数减去；两数相除商是5，所以被除数是除数的5倍，被除数和除数共（5＋1）份数，所以最后再除以（5＋1）即可求出除数。 【规范解答】（1）被除数和除数的关系是：被除数＝除数×5＋23。 （2）255－5－23＝227 （227－23）÷（5＋1） ＝204÷（5＋1） ＝204÷6 ＝34 答：除数是34。 【考点剖析】此题主要考查的是在有余数的除数算式中，被除数＝除数×商＋余数。 4．（2022四年级下·全国·专题练习）有一些棒棒糖，小明第一次吃掉这些糖的一半还多10个，第二次吃掉余下的一半还多20个，这时还剩下15个糖，原来有多少个棒棒糖？ 【答案】160个 【思路引导】运用逆推的方法求解：如果第二次少吃20个，即吃掉余下的一半，那么剩下的糖数就会多20个，即剩下15＋20个，这也是第一次吃掉后剩下的一半，再乘2，就是第一次吃掉后剩下的糖数，同理第一次少吃10个，那么剩下的糖数就会多10个，用第一次吃掉后剩下的糖数加上10个，就是总糖数的一半，再乘2就是原有的糖数。 【规范解答】[（15＋20）×2＋10]×2 ＝[35×2＋10]×2 ＝[70＋10]×2 ＝80×2 ＝160（个） 答：原来有160个棒棒糖。 【考点剖析】此题用倒推思想，从结果出发，向前一步步推算即可。 5．（21-22四年级上·江苏·期末）丫丫和甜甜都是手工小组的组员，甜甜这学期刚加入，丫丫制作的小手工件数是甜甜的4倍，如果丫丫送给甜甜24件，那么两人的小手工件数相同。丫丫和甜甜原来各有多少件小手工？ 【答案】丫丫有64件；甜甜有16件 【思路引导】分析题意画出线段图更容易理解，丫丫制作的小手工件数是甜甜的4倍，丫丫的数量比甜甜多3倍，这3倍的一半给了甜甜，即给了24，然后即可解答。 【规范解答】 （24×2）÷（4－1） ＝48÷3 ＝16（件） 16×4＝64（件） 答：丫丫有64件小手工，甜甜有16件小手工。 【考点剖析】根据题意画出线段图是解题的关键。 第 12 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 $$