精品解析：山东省青岛市青岛超银中学金沙路校区2024-2025学年上学期九年级开学考试数学试卷

2024年暑假阶段学习成果质量反馈 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ） A. 20 B. 40 C. 24 D. 30 4. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 方程﹣5x2=1的一次项系数是（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. 0 6. 下列命题中，错误的是（ ） A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　 A. B. C. D. 8. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，则对角线AC的长为（ ） A. B. C. 12 D. 12 10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题三分） 11. 方程的根为_______． 12. 已知是方程的一个根，则方程的另一根是__________. 13. 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足________条件时，四边形EFGH是菱形． 14. 如下图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米．求通道的宽是______米． 15. 如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是 ____________________． 16. 如图，在菱形中，，E、F分别是，的中点，、相交于点G，连接，．有下列结论：①，②，③，④；其中正确的结论序号是_______． 三、解答题（共10小题）． 17. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 19. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米． （1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 20. 如图，在平行四边形中，，，的平分线分别与，相交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形为菱形?请说明理由． 21. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 23. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④这批苹果最多保存天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克元? （2）求天后一次性全部售出所得的利润为多少元? （3）若天后一次性出售所得利润为元，求的值． 24. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年暑假阶段学习成果质量反馈 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”逐项判断即可． 【详解】A. 2x+1=0是一元一次方程，故不符合题意； B. ，分母含有未知数，故不符合题意； C.为一元二次方程，符合题意； D. ，分母含有未知数，故不符合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟知一元二次方程的特点． 2. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0， 解得a＜1且a≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 3. 菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ） A. 20 B. 40 C. 24 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】菱形的面积为：； 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 4. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 方程﹣5x2=1的一次项系数是（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【详解】方程整理得：-5x2-1=0， 则一次项系数为0， 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 6. 下列命题中，错误的是（ ） A. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两条对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查命题的真假判断，特殊四边形的判定，解题的关键是熟练利用判定定理进行判断． 【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意； B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误，符合题意； C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不合题意； D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不合题意； 故选：B． 7. ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD的面积的等量关系，并进行求解． 解：如图， 过P作PE⊥CD，PF⊥BC， ∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1， ∴∠PCE=30°， ∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=， S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD =××1+××1-×1×1=； 故选B． 8. 某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系：现价=原价下调的百分率），正确列出方程是解题关键． 【详解】解：由题意得第一次下调费率后的售价为， 第二次下调费率后的售价为， 得到方程， 故选：D． 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，则对角线AC的长为（ ） A. B. C. 12 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出△ABD是等边三角形，可求出AD的长，再根据特殊角的锐角三角函数值求出AO的长即可解决问题． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝6，∠DAC＝30°， ∴AO＝6×cos30°＝ ， ∴AC＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及解直角三角形，求出AO的长是解题关键． 10. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质得出CD＝AB＝2，ABCD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，由平行线的性质得出∠BAM＝∠AMD，再由角平分线证出∠BAM＝∠AMB，得出MB＝AB＝2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，ABCD，BC＝AD＝1，∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠AMD， ∵AM平分∠DMB， ∴∠AMD＝∠AMB， ∴∠BAM＝∠AMB， ∴BM＝AB＝2， ∴CM＝， ∴DM＝CD−CM＝2−； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明MB＝AB是解决问题的关键． 二、填空题（共6小题，每题三分） 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 已知是方程的一个根，则方程的另一根是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系定理中的两根之和，计算即可. 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是方程的一个根， ∴根据根与系数关系定理，得， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了已知一元二次方程的一个根求另一个根，熟练运用一元二次方程根与系数的关系定理，选择合适的计算方式是解题的关键. 13. 如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足________条件时，四边形EFGH是菱形． 【答案】AB=CD 【解析】 【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，，HG∥AB，，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可． 【详解】解：需添加条件AB=CD． ∵E，F是AD，DB中点， ∴EF∥AB，， ∵H，G是AC，BC中点， ∴HG∥AB，， ∴EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵E，H是AD，AC中点， ∴， ∵AB=CD， ∴EF=EH， ∴四边形EFGH是菱形． 故答案为AB=CD． 14. 如下图，社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为160平方米．求通道的宽是______米． 【答案】3 【解析】 【分析】设通道的宽为米，则停车位可以合成长为米，宽为米的矩形，根据铺花砖的面积为160平方米，即可得出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设通道的宽为米，则停车位可以合成长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）． 故答案为：3 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题的关键． 15. 如图，在中，，D是上一动点，过点作于点E，于点F．连接，则线段的最小值是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，E、F分别是，的中点，、相交于点G，连接，．有下列结论：①，②，③，④；其中正确的结论序号是_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握菱形四边相等，对角相等；等边三角形三线合一；①通过证明为等边三角形，得出 ，，即可判断；②易得为等边三角形，通过证明，得出则，即可判断；③易得，根据勾股定理得出，再根据三角形的面积公式，即可判断；④易得，则与不全等，即可判断． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵E、F分别是，的中点， ∴，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴， 和①同理可得为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③∵点E为中点，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵， ∴与不全等，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（共10小题）． 17. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 【答案】 如图所示，四边形BEDF为所求菱形， 【解析】 【分析】首先作的角平分线交AC于点D，再过点D分别作BC边和AB边的平行线，即可得出所求菱形． 【详解】解：作法：（1）作的角平分线交AC于点D，具体作法为：以点B为圆心，任意长为半径作圆，与AB边交于M点，与BC边交于N点，分别以M、N点为圆心，适当长为半径作圆，交于P点，作射线BP，交AC于点D； （2）作交AB于点E，交BC于点F，则四边形BEDF为所求菱形． 证明：∵，， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∵BD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为菱形． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及角平分线的作法，平行线的性质，平行四边形的判定、菱形的判定等知识点，熟记菱形的判定方法是解题的关键． 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）或 （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 两边除以2得，， 开平方得，， ∴，； 【小问2详解】 解：， 配方得，，即， 开平方得，， ∴，； 【小问3详解】 解：， 移项得，， 分解因式得，， ∴或， ∴或； 【小问4详解】 解：， 分解因式得，， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米． （1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 【答案】（1）； （2）当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设的长度为米，则的长度为米； （2）根据矩形的面积公式列出方程． 【小问1详解】 解：依题意得，． 则； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得，． 则或． ， ，舍去． 即，． 答：当的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米． 20. 如图，在平行四边形中，，，的平分线分别与，相交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形为菱形?请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2） 时， 四边形为菱形， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， 由 （1） 得，， ∴与是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识． （1）根据平行四边形的性质可得，，再结合角度和角平分线的定义可得，问题得解； （2）先证明与是等边三角形，可得，，再证明四边形为平行四边形，根据，可得，问题得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（舍）． 答：年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ， 整理得：， 解得：，． ∵售价不超过20元， ∴． 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 22. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点、分别是、的中点， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． （2）解：当四边形是菱形时，四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 即． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等； （2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形． 【详解】略 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA． 23. 为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题： ①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元； ②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④这批苹果最多保存天． 若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售． （1）多少天后这批苹果的市场价为每千克元? （2）求天后一次性全部售出所得的利润为多少元? （3）若天后一次性出售所得利润为元，求的值． 【答案】（1）天 （2）元 （3）天 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题关键． （1）设存放天后按当天价格一次性出售，利用销售价格储存时间，即可求出结果； （2）利用利润销售单价销售数量冷藏费用总成本，进行计算即可； （3）利用利润销售单价销售数量冷藏费用总成本，可得关于的一元二次方程，进行计算，再根据题意进行取舍即可． 【小问1详解】 解：设存放天后按当天价格一次性出售， 根据题意，天后这批苹果的市场价为每千克元， ， 解得：， 答：天后这批苹果的市场价为每千克元； 【小问2详解】 天后的价格为：（元）， 天要损坏的苹果有（千克）， 天的冷藏费用为（元）， 天后一次性全部售出所得的利润： （元）， 答：天后一次性全部售出所得的利润为元； 【小问3详解】 天后的价格为：（元）， 天要损坏的苹果有（千克）， 天的冷藏费用为（元）， ， 整理得：， ， ，， 批苹果最多保存天， ． 24. 如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形． 探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF＝AE＝﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2＝12 解得，x1＝x2＝ ∴BE＝BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍 探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程） 探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”） 探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程） 【答案】不存在，详见解析 【解析】 【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答． 【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得x2﹣x+1=0， b2﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍； 探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4， 所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=2﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（2﹣x）2=12， 整理得2x2﹣4x+3=0， b2﹣4ac=16﹣24＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍， 故答案为不存在； 探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC， ∴BF=AE=﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理，得， x2+（﹣x）2=12， 整理得2x2﹣2x+n﹣1=0， b2﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解， 不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $