专题03 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训（3个知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版2024）

专题03 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示 题型二 有理数幂的相关概念 题型三 求一个数的近似数 题型四 求近似数的精确度 题型五 有理数的乘方运算 题型六 有理数乘方的逆运算 题型七 乘方运算的符号规律 题型八 程序流程图与有理数计算 题型九 算24点 题型十 计算器——有理数 题型十一 含乘方的有理数混合运算 题型十二 有理数的四则混合运算 题型十三 乘方的应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）《孙子算经》卷上说：“十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛．”说明“合、升、斗、斛”均为十进制，则二十斛等于（   ） A．勺 B．勺 C．勺 D．勺 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习） ； ； . 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·北京通州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级·全国·阶段练习）计算： ． 知识点三： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约有126300000人在此平台上学习，用科学记数法表示126300000为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）2025年，我国通过免签政策积极推动入境游，第一季度入境外国游客达万人次，同比增长，其中数据万用科学记数法表示为 ． 知识点四： 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）按括号内的要求，用四舍五入法，对1022.0099取近似值，其中错误的是（    ） A．1022.01（精确到0.01） B．（精确到百位） C．1022（精确到十位） D．1022.010（精确到千分位） 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）用四舍五入法，对精确到百分位得到的近似数是 ． 【经典例题一 用科学记数法表示】 【例1】（24-25七年级上·湖南郴州·期末）天问二号探测器在轨运行超8天后，与地球距离超300万千米．数据300万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某种计算机每秒钟可进行次运算，它工作秒，可以完成的运算次数用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·模拟预测）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为 . 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）上海世博会是我国举办的一次世界盛事，本届世博会将吸引世界各地约69500000人次参观．69500000用科学记数法可表示为 ． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【经典例题二 有理数幂的相关概念】 【例2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）下列算式的运算结果可以表示为的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． （2025七年级上·全国·专题练习）底数是，指数是2的幂写成 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 4．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【经典例题三 求一个数的近似数】 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）精确到千位的近似值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）小亮的体重为，若将体重精确到，则小亮的体重约为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）圆周率，用四舍五入法把精确到0.01，得到的近似值是 ． 3．（24-25七年级上·江西南昌·开学考试）（数的读写）十八亿零三十万五千写作 ，改写成以“万”为单位的数是 ，省略亿后面的尾数约是 ． 4．（2025七年级上·江苏·专题练习）小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 【经典例题四 求近似数的精确度】 【例4】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．近似数万精确到十分位 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数万精确到十分位 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）近似数精确到（    ） A．百位 B．千位 C．十分位 D．个位 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）四舍五入得到的近似数精确到 位． 3．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）用四舍五入法取近似数，精确到的值为 ． 4．（2025七年级上·江苏·专题练习）下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【经典例题五 有理数的乘方运算】 【例5】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）计算（  ） A． B．3 C． D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）当时，以下等式：①；②；③；④中成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空： ， ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ① （为正数）， ②若，则 ， ． 【经典例题六 有理数乘方的逆运算】 【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）= ． 3．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·期中）计算： ． 4．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）观察下面三行数： ，9，，81···① 1，，9，···② ，10，，82···③ (1)认真观察第①行数的排列规律，若设第①行的第n个数为a，则 （用含n的式子表示） (2)分析第②③行数与第①行数分别之间的关系，解答问题：设x、y、z分别为第①②③行的2012个数，求的值． 【经典例题七 乘方运算的符号规律】 【例7】（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）= ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下面的三行数． ① ② ③ (1)第①行第n个数是___________，第②行第n个数是___________，第③行第n个数是___________． (2)是否存在某一列的三个数的和为2187，若存在，请求出这三个数：若不存在，请说明理由． 【经典例题八 程序流程图与有理数计算】 【例8】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 1．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，则最后输出的结果是（    ）    A．72 B．144 C．288 D．576 2．（24-25七年级上·广西崇左·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）计算器上有一个倒数键，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按或键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键，则得．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：，在显示屏上的结果是，则原来输入的某数是 ． 4．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：． (1)求的值； (2)小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，出现了什么情况？为什么？ 【经典例题九 算24点】 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·福建·专题练习）“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，,从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子 ． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）你玩过24点游戏吗？就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24． (1)若给你四个数3，，7，，请列出算式； (2)若给你四个数，5，7，，5请列出算式． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 【经典例题十 计算器——有理数】 【例10】（24-25七年级上·山东烟台·期中）使用科学计算器按下图按键顺序输入，则它表达的算式的计算结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如图，则计算器最后显示的结果是 ．    3．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【经典例题十一 含乘方的有理数混合运算】 【例11】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为（    ） A．1 B．3 C． D． 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列解题过程： 计算：的值． 解：设，① 则，② ，得． 通过阅读，请用你学到的方法计算： ． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【经典例题十二 有理数的四则混合运算】 【例12】（24-25七年级上·广东惠州·期中）若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 1．（24-25七年级上·广东云浮·期中）定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有（是正整数，且）个点，相应的图案中总的点数记为，则 ． 4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列等式，再解答问题． ，，， 把以上三个等式两边分别相加得： ． (1)第四个等式为 ；猜想并写出： ． (2)根据你发现的规律计算：    (3)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ． 【经典例题十三 乘方的应用】 【例13】（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 2．（2025七年级上·全国·专题练习）一张圆形纸的面积是4.2平方分米，对折3次，平均分成了 份，每份是 平方分米． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．则之间满足的关系式为 ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们称为“梅岭数”，记，，， （其中为正整数）． (1)计算： ． (2)求的值． (3)探究与的关系，并说明理由． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ＝______，＝______； (2) ＝______，＝______； (3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______； (4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______． 试用你发现的规律计算× 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·开学考试）我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）我们常用的数是十进制数，创新组说计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1），而且两者之间可以互相换算． 例如，将换算成十进制数：，则 (1)将9转换成二进制：_______________（_____） (2)请将27转换为二进制数； (3)请将转换为十进制数 2．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）阅读材料：    我们常用的数是十进制数，如，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．（注意：对于任何非零数a都有，即） 解决问题：二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？ 应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 3．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践： 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟单头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过12000公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： （1）请把射程12000公里转化为六进制的数应该为______公里； （2）在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是______； （3）把29，41转化为二进制的数分别为______，______，利用二进制数的加法法则计算他们的和为______； 拓展： （4）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释，如图：上述符号所表示的数是由四个二进制数组成，将他们分别转换为八进制数得到一个四位数；将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转化为十进制数为______． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 2．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将0，1，3，4，7这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等． 则______（注：） 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）六一儿童节期间，阳光文具店开展促销活动． 方案一：所有文具一律打八折； 方案二：购买5支同样的钢笔，送1支同款钢笔（单支原价15元）． 张老师要给班级36名同学每人购买1支这种钢笔，选择哪种方案更省钱？需要花多少钱？ 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形，已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要多少帆布（帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到）？ (2)帐篷的容积大约是多少（π取 3.14，结果精确到）？ 3．（24-25七年级上·福建南平·期中）某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级上·福建厦门·期中）可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）若，则的值是(    )． A．-l B．O C．1 D．2021 4．（24-25七年级上·广东珠海·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，最后输出的结果是5，则“?”表示的判断条件可能是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（n为正整数），则n表示的二进制数为，其中，或1（）．下列说法正确的个数为（   ） ①二进制数转化为十进制数为10；②十进制数89转化为二进制数为；③计算： A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）将精确到，结果是 ． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 8．（24-25七年级上·内蒙古包头·期末）我们学过、、、这四种运算，现在规定“”是一种新的运算，表示：，如：，那么 ． 9．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3， 4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）．在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如可以列出算式；现给出四个数，请你写出一个算式使其结果为24. ． 10．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）有一种密码，将英文26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个自然数（如表格），当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号为，按上述规定，将明码“”译成密码是 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 11．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）计算： (1) (2) 12．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 13．（24-25七年级上·河北邢台·期末）规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 14．（24-25七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准如下： 某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准 机动车 车型类别 收费标准 8时~20时（元/辆・小时） 20时~次日8时（元/辆・小时） 双休日 其他时间 小型车 20 10 5 大型车 10 10 5 备注 按时计费的停车费，不足1小时按1小时计． 2025年6月14日（星期六），张叔叔驾驶小型车进入该风景名胜区停车场，当天离开．根据收费标准，他需支付多少停车费？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数的乘方与混合运算重难点题型专训 （4个知识点+13大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 用科学记数法表示 题型二 有理数幂的相关概念 题型三 求一个数的近似数 题型四 求近似数的精确度 题型五 有理数的乘方运算 题型六 有理数乘方的逆运算 题型七 乘方运算的符号规律 题型八 程序流程图与有理数计算 题型九 算24点 题型十 计算器——有理数 题型十一 含乘方的有理数混合运算 题型十二 有理数的四则混合运算 题型十三 乘方的应用 拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究 拓展训练二 二进制问题 拓展训练三 幻方问题 拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合 知识点一：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）《孙子算经》卷上说：“十勺为一合，十合为一升，十升为一斗，十斗为一斛．”说明“合、升、斗、斛”均为十进制，则二十斛等于（   ） A．勺 B．勺 C．勺 D．勺 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的运算和科学记数法，熟练掌握乘方的运算和科学记数法是解题的关键．根据“合、升、斗、斛”均为十进制，将二十斛进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每相邻单位之间是十进制， 1斛等于10斗，1斗等于10升，1升等于10合，1合等于10勺， 1斛勺勺， 20斛勺． 故选：D ． 2．（24-25七年级上·四川眉山·阶段练习） ； ； . 【答案】 1 9 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：；；． 故答案为：1；9；． 知识点二：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·北京通州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查有理数的混合计算，关键是根据法则进行计算． 2．（24-25六年级·全国·阶段练习）计算： ． 【答案】1998 【分析】先构造公因数，提出公因数，然后减去两个数等于减去这两个数的和即可简便求出． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了乘法分配律的逆运算，减去两个数等于减去这两个数的和等知识，熟练掌握乘法分配律的逆运算是解此题的关键． 知识点三： 科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约有126300000人在此平台上学习，用科学记数法表示126300000为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）2025年，我国通过免签政策积极推动入境游，第一季度入境外国游客达万人次，同比增长，其中数据万用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故答案为：． 知识点四： 近似数 1、近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2、有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 3、精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度，一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）按括号内的要求，用四舍五入法，对1022.0099取近似值，其中错误的是（    ） A．1022.01（精确到0.01） B．（精确到百位） C．1022（精确到十位） D．1022.010（精确到千分位） 【答案】C 【分析】本题考查四舍五入取近似值，涉及精确位数、科学记数法、四舍五入法取近似值等知识，根据题中选项，按照精确度四舍五入取值验证即可得到答案，熟记四舍五入法求解是解决问题的关键． 【详解】解：A、1022.0099（精确到0.01）得到的近似值为1022.01，选项正确，符合题意； B、1022.0099（精确到百位）得到的近似值为，选项正确，符合题意； C、1022.0099（精确到十位）得到的近似值为，选项错误，不符合题意； D、1022.0099（精确到千分位）得到的近似值为1022.010，选项正确，符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）用四舍五入法，对精确到百分位得到的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，熟知精确到某一位即对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键．精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对精确到百分位得到的近似数为， 故答案为：． 【经典例题一 用科学记数法表示】 【例1】（24-25七年级上·湖南郴州·期末）天问二号探测器在轨运行超8天后，与地球距离超300万千米．数据300万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：300万， 故选：B． 1．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）某种计算机每秒钟可进行次运算，它工作秒，可以完成的运算次数用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数乘法计算，科学记数法的表示方法，计算总运算次数后，将其转化为科学记数法的标准形式即可 【详解】解：计算机总运算次数为：， 故选：C 2．（2025·四川广元·模拟预测）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故答案为： 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）上海世博会是我国举办的一次世界盛事，本届世博会将吸引世界各地约69500000人次参观．69500000用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 【详解】解：∵， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】(1)34900双 (2)棵 【分析】（1）根据“消费一次性筷子约900亿双，耗费木材”列式计算即解答； （2）根据“我国每年消费一次性筷子约900亿双耗费木材立方米”，结合一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材列式计算即可解答． 【详解】（1）解：（双）． 答：1立方米的木材约能生产34900双一次性筷子． （2）解：棵． 答：2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐棵生长了20年的大树． 【点睛】本题考查科学记数法的应用、整式除法等知识点．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【经典例题二 有理数幂的相关概念】 【例2】（24-25七年级上·福建厦门·期末）下列算式的运算结果可以表示为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数幂的概念．根据有理数幂的概念“表示个连乘”即可解答． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据自然数的定义（自然数为非负整数，包括0和所有的正整数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数）、有理数幂的定义（在中，叫做底数，叫做指数）、相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐个判断即可得． 【详解】解：（1）0是最小的自然数；则原说法错误； （2）整数和分数统称为有理数，正数和负数不一定都是有理数，则原说法错误； （3）的底数是3，则原说法错误； （4）、互为相反数，则，原说法正确； （5）当时，，则原说法错误； 综上，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了自然数、有理数、有理数幂、相反数，熟记各概念是解题关键． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）底数是，指数是2的幂写成 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的概念，根据幂的书写规则即可求解．注意分数为底时，需要把底数加括号． 【详解】解：底数为，指数为2，写成， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 4．（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3)； (4) 【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 【经典例题三 求一个数的近似数】 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）精确到千位的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到千位，只需要对百位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到千位的近似值为， 故选：． 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）小亮的体重为，若将体重精确到，则小亮的体重约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，利用四舍五入得到近似数即可，掌握近似数的概念，四舍五入的方法是解题的关键． 【详解】解：小亮的体重为， 故选：． 2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）圆周率，用四舍五入法把精确到0.01，得到的近似值是 ． 【答案】3.14 【分析】本题主要考查近似数的精确度．根据近似数的精确度，用四舍五入法，即可求解． 【详解】解：近似数用四舍五入法精确到0.01的结果为3.14． 故答案为：3.14． 3．（24-25七年级上·江西南昌·开学考试）（数的读写）十八亿零三十万五千写作 ，改写成以“万”为单位的数是 ，省略亿后面的尾数约是 ． 【答案】 万 亿 【分析】本题考查了数的读写，求近似数，解题的关键是掌握数的读写方法．根据数的读写方法和求近似数的方法，即可求解． 【详解】解：十八亿零三十万五千写作：， 改写成以“万”为单位的数是：万， 省略亿后面的尾数约是：亿， 故答案为：，万，亿． 4．（2025七年级上·江苏·专题练习）小亮：把按四舍五入法近似到千位，得．小明：把按四舍五入法近似到千位，可以先将按四舍五入法近似到百位，得到，接着再把按四舍五入法近似到千位，得到，你认为谁的说法正确？请说明你的理由． 【答案】小亮的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了近似数，科学记数法，要精确到千位就是科学记数法的标准形式中的末尾数字所在的位置是原数的千位，然后根据四舍五入的原理进行取舍即可求解，掌握科学记数法中的近似数的取值是解题的关键． 【详解】解：小亮的说法正确．理由如下： 把按四舍五入法近似到千位，应该保留到千位，百位后面的舍去，得，所以小亮的说法正确； 而小明先将按四舍五入法近似到百位再按四舍五入法近似到千位是不对的， 故小亮的说法正确． 【经典例题四 求近似数的精确度】 【例4】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．近似数万精确到十分位 B．近似数精确到百分位 C．近似数精确到百分位 D．近似数万精确到十分位 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数，熟练掌握近似数是解题的关键；因此此题可根据近似数进行排除选项即可． 【详解】解：A、近似数万，精确到百位，故原说法错误； B、近似数精确到十位，故原说法错误； C、近似数精确到百分位，原说法正确； D、近似数万，精确到千位，故原说法错误； 故选C． 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期中）近似数精确到（    ） A．百位 B．千位 C．十分位 D．个位 【答案】A 【分析】本题主要考查了求近似数，先将科学记数法还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数，将科学记数法还原是解题的关键． 【详解】解：近似数，中的在百位上， ∴近似数精确到百位上． 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）四舍五入得到的近似数精确到 位． 【答案】十分 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示：一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：四舍五入得到的近似数精确到十分位， 故答案为：十分． 3．（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）用四舍五入法取近似数，精确到的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数的知识；解题的关键是熟练掌握近似数的性质，把千分位上的数字进行四舍五入，从而完成求解求解． 结合题意，根据近似数的性质，把千分位上的数字进行四舍五入，即可得到答案． 【详解】解：将精确到后，得到的近似数是：． 故答案为：． 4．（2025七年级上·江苏·专题练习）下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【答案】(1)精确到十分位，有3个有效数字； (2)精确到万位，有1个有效数字； (3)精确到百位，有4个有效数字 【分析】本题考查了近似数的精确度和有效数字的概念． （1）、（2）、（3）近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；有效数字，即从数字的左边第一个不是0的数字起，所有的数字都是有效数字．据此求解即可． 【详解】（1）解：近似数，数字0所在是位是十分位，则精确到十分位，有3个有效数字； （2）解：近似数5万，数字5所在的位是万，则精确到万位，有1个有效数字； （3）解：近似数，右边的数字5所在的位是百位，则精确到百位，有4个有效数字． 【经典例题五 有理数的乘方运算】 【例5】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）计算（  ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的运算，根据题干个相乘，即为，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）当时，以下等式：①；②；③；④中成立的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查指数幂的运算，熟练掌握指数幂的运算是解题的关键．利用指数幂与底数的关系进行计算即可； 【详解】解：由题可知，则，故①成立； ，故②成立； ，故③成立； ，故④不成立； 故选B． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，再根据乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若a、b、c、d是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方，由已知四个整数的积等于121，又，所以只存在，再由得出每个数，求出答案． 【详解】解：已知是互不相等的整数，且， 又，那么a，b，c，d四个整数之积等于121， 只有， 又已知， 所以， 那么，． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建泉州·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是、两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空： ， ； (2)劳格数有如下运算性质：若、为正数，则，．根据运算性质，填空： ① （为正数）， ②若，则 ， ． 【答案】(1)2， (2)①，②， 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算及题中所给新定义是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）①根据题中所给公式可进行求解；②由题意易得，然后代值进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得，， ，； 故答案为：2，； （2）解：①， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：，． 【经典例题六 有理数乘方的逆运算】 【例6】（24-25七年级上·山东泰安·期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据乘方的逆运算进行计算． 【详解】解：原式= 故选B 【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答． 【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数， ∴y=x+1， ∵x2＝44944=2122， ∴x=212， ∴y=213， ∴y2=2132=45 369， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键． 2．（2025·湖南邵阳·模拟预测）= ． 【答案】22007 【分析】先根据有理数乘法的意义，将改写成，然后在逆用乘法分配律，即可得到答案. 【详解】 故答案为. 【点睛】本题考查的是有理数乘方的意义，根据有理数乘法的意义，将改写成是解题的关键. 3．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·期中）计算： ． 【答案】 【分析】把原式化为，再逆用积的乘方运算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·湖北黄冈·阶段练习）观察下面三行数： ，9，，81···① 1，，9，···② ，10，，82···③ (1)认真观察第①行数的排列规律，若设第①行的第n个数为a，则 （用含n的式子表示） (2)分析第②③行数与第①行数分别之间的关系，解答问题：设x、y、z分别为第①②③行的2012个数，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）观察第①行数得，第①行数满足（n为该行第几个数，即n为正整数，且）． （2）观察第②③行数与第①行数，即可得出它们之间的关系，求出x，y，z的值，再代入求解即可． 【详解】（1）观察第①行数得，第①行数的规律是（n为该行第几个数，即n为正整数，且）． 故答案为：； （2）第②行数是第①行数对应的数除以的结果；第③行数是第①行数对应的数加1的结果． ，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数字类的规律题，掌握数字之间的规律并代入代数式求解是解题的关键． 【经典例题七 乘方运算的符号规律】 【例7】（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 【答案】B 【分析】由运算式中的加数一共个数，其中偶次方有个，奇次方有个，从而可得答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键． 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）= ． 【答案】 【分析】根据乘方去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方，注意和的区别． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和偶数次方的非负性，算出x和y的值，再代入式子求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查绝对值的性质和乘方的性质，解题的关键是利用绝对值的非负性和偶数次方的非负性进行计算求解． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下面的三行数． ① ② ③ (1)第①行第n个数是___________，第②行第n个数是___________，第③行第n个数是___________． (2)是否存在某一列的三个数的和为2187，若存在，请求出这三个数：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在．这三个数为：729，727，731． 【分析】（1）由数据可知，奇数为负，偶数为正，绝对值是3的n次方，得第n个数为，第二行比第一行小2，第三行比第一行大2，据此即可得结果； （2）根据三个数的和是2187，列出等式，计算即可． 【详解】（1）解：①行第一个是负数，绝对值是； 第二个数是正数，绝对值是； 第三个数负数，绝对值是； ……； 以此类推第n个数是， 第二行，每一个数比第一行小2， 即：； 第三行比第一行大2， 即：； 故答案为：，，； （2）解：存在．理由如下： 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故这三个数为：729，727，731． 【点睛】本题考查的是数字的变化，解题的关键是根据奇数为负，偶数为正，绝对值是3的n次方，得第n个数为，依据这数，后面的迎刃而解． 【经典例题八 程序流程图与有理数计算】 【例8】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 【答案】C 【分析】本题考查流程图，将代入进行计算，将结果与100进行比较，若小于等于100，则将结果作为x继续代入进行计算，若大于100则输出结果即可． 【详解】解：， 则， ∵， ∴继续循环，此时， 则， ∵， ∴输出结果为150， 故选：C． 1．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是18，则最后输出的结果是（    ）    A．72 B．144 C．288 D．576 【答案】C 【分析】根据程序流程图逐步列式计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴输入得：， ∵， ∴输入得：， ∵， ∴输入得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·广西崇左·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与程序框图有关的有理数的混合运算．理解运算规则是解题的关键． 输入，则，由，输入，则，由，输出即可． 【详解】解：输入，则， ∵， ∴输入，则， ∵， ∴输出， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）计算器上有一个倒数键，能求出输入的不为零的数的倒数（注：有时需先按或键，才能实现此功能，下面不再说明）．例如，输入2，按下键，则得．现在计算器上输入某数，再依下列顺序按键：，在显示屏上的结果是，则原来输入的某数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设原来输入的数为a，根据题意列出方程，解之可得答案． 【详解】解：设原来输入的数为a， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴原来输入的某数是5， 故答案为：5． 4．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：． (1)求的值； (2)小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，出现了什么情况？为什么？ 【答案】(1) (2)输入了的数值，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）把当作a，当作b，代入运算程序中进行计算； （2）程序中有除法，除数不能为0，根据这个即可找出原因． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ∵0不能作除数， ∴小华在输入数据时可能是，即． 【经典例题九 算24点】 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 1．（2025七年级上·福建·专题练习）“24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式： × ×（ － ）． （2）3，9，4，2，算式： ． 【答案】 2 3 8 4 【分析】本题主要考查了四则混合运算，熟练的掌握四则混合运算的法则是解题的关键． 根据四则混合运算顺序，从左往右依次计算，先算乘、除法，再算加、减法，有括号的先算括号里面的．可以把24先分解成两个数的和、差、商、积的形式，然后再通过给的已知数字，尝试调整凑成得数是24，如，等； （1）先算小括号里的减法，用；再算乘法，；最后算乘法，；列综合算式为：； （2）先计算括号内的加法，；再计算另一个括号内的减法，； 最后将两个结果相乘，；列综合算式为：． 【详解】根据分析可知： “24点”是一种有趣的益智游戏．请根据每组提供的4张牌，每张牌只用1次，通过计算使得结果等于24． （1）2，3，4，8，算式：． （2）3，9，4，2，算式：． （答案不唯一） 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明有5张写着以下数字的卡片，,从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能用一次，请写出一种符合要求的运算式子 ． 【答案】（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24 【分析】利用“24点”游戏规则写出符合要求的式子即可． 【详解】解：由题意可得，符合要求的运算式子为：（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24， 故答案为（﹣2）3×[﹣（2+1）]=24. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）你玩过24点游戏吗？就是让你将给定的四个数，用加、减、乘、除、乘方运算（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果等于24． (1)若给你四个数3，，7，，请列出算式； (2)若给你四个数，5，7，，5请列出算式． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的混合运算使计算结果等于24即可得； （2）根据有理数的混合运算使计算结果等于24即可得． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，． 例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：； (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键 （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为： （2）解：∵ ∴ 故答案为： （3）解：∵ ∴ 故答案为： 【经典例题十 计算器——有理数】 【例10】（24-25七年级上·山东烟台·期中）使用科学计算器按下图按键顺序输入，则它表达的算式的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据计算器的使用方法，结合各项进行判断即可． 【详解】 解：按下列按键顺序输入： 则它表达的算式是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了计算器的应用，根据有理数的输入方法正确输入数据是解题关键． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下面科学计算器的按键顺序：对应的计算任务是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学计算器按键功能可得． 【详解】解：与科学计算器的按键顺序对应的算式是 故选：B． 【点睛】本题主要考查计算器-有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 2．（24-25七年级上·山东烟台·期中）用课本中介绍的计算器计算，按键顺序如图，则计算器最后显示的结果是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了计算器基础知识以及有理数混合运算，根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 【答案】 【分析】根据科学计算器的使用计算. 【详解】依题意得：[+（﹣3）2]÷2=， 故答案为． 【点睛】利用科学计算器的使用规则把有理数混合运算，再计算. 4．（24-25七年级上·山东烟台·期中）计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了利用计算器进行数有理数的乘方运算，根据计算器的按键顺序计算即可得解，熟练掌握计算器求幂的时候指数的使用方法是解决此题的关键． 【详解】 ． 【经典例题十一 含乘方的有理数混合运算】 【例11】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）我们把记作，记作，那么计算的结果为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是理解并掌握新定义及有理数乘除运算法则．根据新定义列出算式，再根据有理数的乘除运算法则计算可得． 【详解】解：， 故选：A． 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先算乘方，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）观察下列解题过程： 计算：的值． 解：设，① 则，② ，得． 通过阅读，请用你学到的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题干给定的方法，设，则，两式相减后即可得出结果． 【详解】解：设，① 则，② ，得 ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 【经典例题十二 有理数的四则混合运算】 【例12】（24-25七年级上·广东惠州·期中）若，则计算的结果是（   ） A． B．130 C． D．290 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及倒数的意义，由倒数的意义可知，进而可求出结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选A. 1．（24-25七年级上·广东云浮·期中）定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，绝对值的意义，根据新定义运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键． 先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有（是正整数，且）个点，相应的图案中总的点数记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，有理数的混合运算，先由特殊到一般得到，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解：由题意得： 当每个边上有n个点，把每个边上的点数相加得，这样角上的点数被重复计算了一次， ∴每个边上有n个点时的点数为， 即， ∴ ； 故答案为： 4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列等式，再解答问题． ，，， 把以上三个等式两边分别相加得： ． (1)第四个等式为 ；猜想并写出： ． (2)根据你发现的规律计算：    (3)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】此题考查了有理数的混合运算和规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意和归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值； （3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值；②原式利用拆项法变形，计算即可求出值． 【详解】（1）解：由题意可得，第四个等式为， 猜想 故答案为：， （2） （3）① ② 【经典例题十三 乘方的应用】 【例13】（24-25七年级上·江苏南京·期中）珠穆朗玛峰高约为米，而一张纸的厚度约为毫米．假设这张纸能够无限次对折，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则这张纸对折的次数至少是（    ）（参考数据：） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘方，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键，由题意可知，纸张对折次，纸张厚度为毫米，若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度，则使，再由有理数的乘法逐步计算即可． 【详解】一张纸的厚度约为毫米， 纸张对折次，纸张厚度为毫米， 珠穆朗玛峰高约为米， 若要使它的厚度超过珠穆朗玛峰高度， 则有， ，，， 至少对折次后，它的厚度超过珠穆朗玛峰高度． 故选：A． 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解． 【详解】解：由题意得第一次复制得2张， 第二次复制最多得2×2=22=4张， 第三次复制最多得2×2×2=23=8张， 第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张， ……， 第九次复制最多得29=512张， 第十次复制最多得210=1024张， 1024＞1000， 所以至少需要10次． 故选：B 【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）一张圆形纸的面积是4.2平方分米，对折3次，平均分成了 份，每份是 平方分米． 【答案】 8 【分析】每对折一次，得到的每一份的面积就是上一次面积的一半；由此求解． 【详解】解：对折3次后每一份的面积是全部面积的一半的一半的一半， ，即相当于平均分成了8份， （平方分米）， 故答案为：8，． 【点睛】把一个圆形对折n次，就相当于平均分成了份． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．则之间满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】根据对数的定义计算后，看对数之间的关系，确定对数之间的关系即可． 【详解】解：因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题考查了新定义对数问题，准确理解新定义是计算的关键． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）我们称为“梅岭数”，记，，， （其中为正整数）． (1)计算： ． (2)求的值． (3)探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互为相反数，理由见解析 【分析】本题考查了数字类变化规律、乘方的应用，掌握变化规律是解此题的关键． （1）根据（其中为正整数）可得和，计算即可得出答案； （2）根据（其中为正整数）可得和，计算即可得出答案； （3）分别求出与，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：与互为相反数， 理由如下： ， ， 故与互为相反数． 【拓展训练一 有理数乘方的规律计算探究】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ＝______，＝______； (2) ＝______，＝______； (3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______； (4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______． 试用你发现的规律计算× 【答案】（1）1，1；（2），；（3）16，16；（4）400，400；规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，． 【分析】先分别求出各个式子，再根据结果即可总结出规律，然后根据规律即可得出答案． 【详解】解：(1) ＝，＝； (2) ＝，＝； (3)(－1)4×24＝，(－1×2)4＝； (4)(－5)2×42＝，(－5×4)2＝． 规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，即am·bm＝(ab)m(m为正整数)． ×＝××4＝×4＝×4＝－1×4＝－4． 【点睛】本题考查了有理数幂的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）观察下列等式 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； ， 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式：______； (2)请写出第个等式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）观察已知等式即可求解； （）由等式规律写出即可； （）利用规律计算即可； 本题考查了有理数乘方的变形运算，根据已知等式找出有理数乘方运算的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：按上述规律，第六个等式为， 故答案为：； （2）解：由规律可得，第个等式为， 故答案为：； （3）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·开学考试）我们把“n个相同的数a相乘”记为“”，例如． (1)计算： ， ． (2)观察以下等式： …     由以上规律，我们可以猜测 ． (3)计算：． 【答案】(1)64，625 (2) (3) 【分析】本题主要考查了数学归纳整理的能力，解题的关键要分析材料找到题目中规律从而由特殊例子总结出一般规律． （1）根据乘方的运算法则计算即可； （2）根据给出的材料可看出，等号右边x的指数规律是，所以． （3）运用（2）的规律计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：64，625； （2）解：根据观察可得：， 故答案为：． （3）解：， ， ， ． 【拓展训练二 二进制问题】 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）我们常用的数是十进制数，创新组说计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1），而且两者之间可以互相换算． 例如，将换算成十进制数：，则 (1)将9转换成二进制：_______________（_____） (2)请将27转换为二进制数； (3)请将转换为十进制数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法． （1）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可； （2）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可； （3）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可． 【详解】（1）解：将9转换成二进制：， 故答案为：； （2）解：； （3）解：． 2．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）阅读材料：    我们常用的数是十进制数，如，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．（注意：对于任何非零数a都有，即） 解决问题：二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？ 应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？ 【答案】二进制中的数101011等于十进制中的43；她一共采集到的野果数量为1838个 【分析】二进制数转化为十进制数，就是把底数变为2，列式计算；六进制数转化为十进制数，就是把底数变为6，列式计算． 【详解】解：二进制中的数， 二进制中的数101011等于十进制中的43． 6进制的数， 她一共采集到的野果数量为1838个．    【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握二进制和六进制转化为十进制时数位表示的方法是解题的关键． 3．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）综合与实践： 2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟单头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．射程超过12000公里，覆盖全球所有区域，展示了我国精确打击能力和威慑力．此消息一出振奋人心，是无数科学家们日以继夜的奋战换来的成果．同样也离不开计算机的帮忙，计算机是使用二进制进行运算的，与我们日常使用的十进制不同，应用你学的知识，解答下列问题： （1）请把射程12000公里转化为六进制的数应该为______公里； （2）在设计洲际弹道导弹时，科学家想把计算机中的数据的数转化为八进制的数，则这个数应该是______； （3）把29，41转化为二进制的数分别为______，______，利用二进制数的加法法则计算他们的和为______； 拓展： （4）易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释，如图：上述符号所表示的数是由四个二进制数组成，将他们分别转换为八进制数得到一个四位数；将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转化为十进制数为______． 【答案】（1）；（2）；（3）；；；（4） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，新定义运算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据题意，由十进制转化为六进制的方法进行计算可以得解； （2）先将二进制数转化为十进制数，再将十进制数转化为八进制数即可； （3）根据十进制转化为二进制的方法进行计算即可； （4）根据题意先得出二进制数为，再将二进制数转化为十进制数为，从而得出． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ， ∴把射程12000公里转化为六进制的数应该为； （2） ， ∵， ， ∴， 即数据的数转化为八进制的数为； （3）∵， ， ， ， ， ∴； ∵， ， ， ， ， ∴； ∴； （4）根据题意可得：这个二进制数为， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴． 【拓展训练三 幻方问题】 1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（   ） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 A．505 B．500 C．510 D．515 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】 【分析】设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，根据题意可知：，，变形可得：，，即可求出的值． 【详解】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q， ∴根据题意可知：，， ∴将上式变形可得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幻方的特征和应用和有理数的乘方的运算，理解题目中幻方的概念并求出，的值是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将0，1，3，4，7这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等． 则______（注：） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或11 【分析】本题考查了有理数的加法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 补充完整的三阶幻方如图2所示： （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第三列上的数字为， 补充完整的新的三阶幻方如图3所示： （3）根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 【拓展训练四 有理数四则混合运算实际应用综合】 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）六一儿童节期间，阳光文具店开展促销活动． 方案一：所有文具一律打八折； 方案二：购买5支同样的钢笔，送1支同款钢笔（单支原价15元）． 张老师要给班级36名同学每人购买1支这种钢笔，选择哪种方案更省钱？需要花多少钱？ 【答案】选择方案一更省钱，需要432元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键．根据两种促销方案分别求出费用，比较即可得到答案． 【详解】解：方案一：（元） 方案二：， （元） 即选择方案一更省钱，需要432元． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，一顶帆布帐篷的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形，已知圆柱的底面积为，母线，圆锥的高，母线． (1)制作一顶这样的帐篷（接缝忽略不计）至少需要多少帆布（帐篷的底面不用帆布，π取3.14，结果精确到）？ (2)帐篷的容积大约是多少（π取 3.14，结果精确到）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆柱与圆锥的计算，以及有理数混合运算的应用． （1）先根据圆柱的底面积为求出底面半径，再根据侧面积公式计算即可； （2）根据圆柱与圆锥的容积公式计算即可． 【详解】（1）设底面半径为r， 由 得    答：制作一顶这样的帐篷至少需要帆布 （2） 答：帐篷的容积大约是． 3．（24-25七年级上·福建南平·期中）某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 【答案】(1)；；12 (2)一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接根据正负数的意义、有理数加减运算即可解答； （2）根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是． 故答案为；；12． （2）解：根据题意得： （元）． 答：一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示形式即可得到答案． 【详解】解：米 故选：A． 2．（24-25七年级上·福建厦门·期中）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据有理数乘法的定义可得出结论． 【详解】解：可表示为， 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）若，则的值是(    )． A．-l B．O C．1 D．2021 【答案】A 【分析】利用非负数的性质，分别求出a与b的值，带入即可求出． 【详解】解：由题意得：a−2=0，b−1=0，解得a=2，b=1， 所以(b−a)2021 =(1−2)2021=(−1)2021=−1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查整数指数幂和绝对值的概念，以及负数的奇次指数幂为负数，偶次幂为正数．整数指数幂与绝对值的值是非负数，由题干中两个式子相加为0可知，两个式子本身都为0，熟练掌握是解决问题的关键． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为1，最后输出的结果是5，则“?”表示的判断条件可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将开始输入的值1代入计算，知道所得计算结果大于介于时的数，输出即可． 【详解】解：如输入1，则， 输入，则，输出； 故判断条件为大于且小于5的数， 选项中满足， 故选：C． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制”记数法的人，用“二进制”记数只需数字0和1．对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”．例如：十进制数，则十进制数3在二进制中表示为；十进制数，则十进制数5在二进制中表示为．若（n为正整数），则n表示的二进制数为，其中，或1（）．下列说法正确的个数为（   ） ①二进制数转化为十进制数为10；②十进制数89转化为二进制数为；③计算： A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了十进制，有理数的混合运算，数学常识以及等式的性质，熟练运用新定义法则是解题的关键．根据题意，利用二进制数与十进制数的转化方法逐项判断即可． 【详解】解：①二进制数转化为十进制数为：，故①正确； ②，则十进制数89转化为二进制数为，故②正确； ③．故③错误； ①②正确，共2个， 故选：B． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）将精确到，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用四舍五入法求近似数，将精确到，就要看位，位上的数是，应入，所以可得：． 【详解】解：． 故答案为： ． 7．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为 ． 【答案】30 【分析】根据科学计算器的使用计算. 【详解】解：依题意得：[3×（﹣2）3-1]÷（-）=30， 故答案为30． 【点睛】利用科学计算器的使用规则把有理数混合运算，再计算. 8．（24-25七年级上·内蒙古包头·期末）我们学过、、、这四种运算，现在规定“”是一种新的运算，表示：，如：，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的新定义运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；由题意易得，然后再计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：0． 9．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3， 4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）．在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如可以列出算式；现给出四个数，请你写出一个算式使其结果为24. ． 【答案】 【分析】根据题目中的信息和要求可以写出一个算式使其结果为24. 【详解】(-5+6÷3) ×（-8）=24 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，熟练掌握这一运用是解题的关键. 10．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）有一种密码，将英文26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个自然数（如表格），当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号为，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号为，按上述规定，将明码“”译成密码是 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数混合运算的应用，理解题干的破译方法是解题关键．分别找出明码字母对应的序号，进而求出密码字母对应的序号，找出密码字母即可． 【详解】解：的明码序号为1，是奇数， 的密码对应的序号为，即对应字母为； 的明码序号为12，是偶数， 的密码对应的序号为，即对应字母为； 的明码序号为16，是偶数， 的密码对应的序号为，即对应字母为； 的明码序号为15，是奇数， 的密码对应的序号为，即对应字母为； 明码“”译成密码是， 故答案为： 11．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算括号，再算乘除，后算加减； （2）先把除法转化为乘法，再逆用乘法分配律计算． 【详解】（1） （2） 12．（24-25七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·河北邢台·期末）规定三角形框“”表示，方框“”表示“”． 例如：算式． 已知：算式，其中方框中缺少了一个数字，用“”表示． (1)若表示3． ①求已知中的算式的值； ②直接写出的值． (2)如果已知中的算式的值为，直接写出表示的数． 【答案】(1)① ② (2)2 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列式计算即可． （1）①根据题意列式计算即可；②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置，根据除法的意义即可得到答案； （2）根据除法的意义得到除数，根据题中规定的运算列式即可得到答案． 【详解】（1）解：①原式． ． ②因为①中算式与②中算式的被除数与除数交换了位置， 所以它们的结果互为倒数． 由①中算式的值为，可得②中算式的值为． （2）因为被除数，商． 所以除数； 所以，所以， 所以． 14．（24-25七年级上·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是乘方的应用，理解乘方的含义与阅读部分提示的求和方法是解本题的关键； （1）直接利用乘方的含义可得答案； （2）先根据规律得到，再结合阅读部分的求和方法可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）①∵第一格放一粒米，第二格放二粒即粒，第三格放四粒即粒，第四格放八粒即粒，， ∴国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒； ②由题意可得：， ∴， 两式相减可得：； 15．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准如下： 某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准 机动车 车型类别 收费标准 8时~20时（元/辆・小时） 20时~次日8时（元/辆・小时） 双休日 其他时间 小型车 20 10 5 大型车 10 10 5 备注 按时计费的停车费，不足1小时按1小时计． 2025年6月14日（星期六），张叔叔驾驶小型车进入该风景名胜区停车场，当天离开．根据收费标准，他需支付多少停车费？ 【答案】135 【分析】本题考查的分段计费知识的运用，准确理解题意是解答本题的关键． 根据题意可知，张叔叔的停车时长是23时时30分=8时30分，分成两段收费：第一段，20时时30分=5时30分≈6小时，单价20元/小时，根据“单价×数量=总价”，求出这一段停车的费用；第二段，23时时=3小时，单价5元/小时，根据“单价×数量=总价”，求出这一段停车的费用；最后把这两段的停车费用相加，即可得到实际费用． 【详解】解：20时时30分=5时30分小时 23时时小时 （元） 答：他需支付135元． 学科网（北京）股份有限公司 $$