专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训（4个知识点+8大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，两个有理数相乘，同号为正，异号为负，0乘以任何数的结果都为0，据此求解即可． 【详解】解：根据有理数乘法计算法则可知，四个选项中只有D选项中的式子的结果为负数， 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算的结果是 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算；本题先确定积的符号，再把两数的绝对值相乘即可，熟记乘法的运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则的值可表示为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将99变形为98+1，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：∵， ∴ =2021×（98+1） =2021×98+2021×1 =m+2021， 故选：C． 【点睛】此题考查了乘法分配律的计算，正确掌握乘法分配律的计算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】根据乘法分配律展开计算即可． 【详解】解： = = =1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C．2016 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数除法，掌握有理数除法法则成为解题的关键． 直角运用有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）有理数除法法则：成立的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法法则，掌握有理数的除数不能为0是解题的关键． 【详解】解：有理数除法法则：把除法转化成乘法是除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·开学考试）两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，根据因数与积的变化规律，两个因数同时扩大相同倍数，积扩大倍数为各因数扩大倍数的乘积． 【详解】解：设原两个因数为和，则原积为，当每个因数扩大到原来的3倍后，变为和，新积为，即积扩大到原来的9倍． 故选：B． 1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．先计算出，再计算即可得出答案． 【详解】解： ， ， 故选：C 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求绝对值和有理数的运算，先求出字母的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）规定“*”是一种运算符号，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义及有理数的乘法及减法运算，根据新定义列出式子，根据运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北张家口·期中）发现：任意两个负数的积一定等于其相反数的积． 特例验证： 因为 因此， (1)请你仿照上面的方法验证：； (2)若a、b为正数，请论证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题乘法交换律；和乘法分配律，模仿示例，即可验证． （2）根据题乘法交换律，可以写出相应的依据． 【详解】（1）解：因为 因此 （2）因为 因此 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（2025·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 1．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）一列数则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， 故上面的数据以，，2为一个循环，依次出现， ∵，， ∴ 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如果a、b、c是非零有理数, 那么所有可能的值为 ． 【答案】3或或1或 【分析】此题考查了分类讨论与有理数绝对值的性质应用能力，有理数加减混合运算，分类讨论：①a、b、c中有一个负数时，②a、b、c中有两个负数时，③a、b、c中有三个负数时，④a、b、c都是正数时，即可求解． 【详解】解：∵当时，此时；当时，此时； ∴①a、b、c中有一个负数时，所以，原式； ②a、b、c中有两个负数时，所以，原式； ③a、b、c中有三个负数时，所以，原式； ④a、b、c都是正数时，所以，原式； 故答案为：3或或1或． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数：，，，0，5，，要从中抽取3张，使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数乘法运算．要想积最大，要保证最后的结果必须是正数，因此抽取的卡片负数的个数要为偶数个，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵要想积最大，即要保证最后的结果必须是正数， ∴抽取的卡片负数的个数要为偶数个， ∴抽取的卡片为，，时的积最大，即， 故答案为：120． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第5个等式为______； (2)利用规律计算：的值； (3)探究并计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类规律，根据已有等式发现规律成为解题的关键． （1）根据已有等式类比第5个等式即可； （2）根据已有等式，从而把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解即可； （3）根据已有等式，从而把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解即可． 【详解】（1）解：第一个等式： 第二个等式： 第三个等式：， 第四个等式：， 第五个等式：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）的相反数的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，倒数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是，的倒数是， ∴的相反数的倒数是， 故选：D 1．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的倒数是 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值、相反数、倒数，根据绝对值、相反数、倒数的定义分别判断选项A、C、D，根据两个负数比较，绝对值大的反而小判断选项B． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、因为，所以，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、的倒数是，D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据，互为相反数且均不为0，，互为倒数，，可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：，互为相反数且均不为0，，互为倒数，， ，， 当时， ， 综上所述，的值为 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知m的相反数是，n的倒数是，则的绝对值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数和倒数，绝对值的计算，熟练掌握相反数和倒数的定义是解题的关键．根据相反数和倒数的定义求出的值再计算出绝对值即可． 【详解】解： m的相反数是，n的倒数是， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，． (1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点； (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)B、C两点间的距离是，A、D两点间的距离是7 【分析】本题考查了有理数与数轴，倒数，相反数． （1）先分别根据绝对值、倒数、相反数的概念得出点，，，表示的数，再根据数轴上数的特点，在数轴上表示数即可； （2）根据两点间距离的求法直接求解即可． 【详解】（1）解：，， 的倒数为，0的相反数为0， ∴点，，，分别表示，，0，4， ∴点，，，四个点在数轴上表示如下： （2）解：∵， ∴B、C两点间的距离是， ∵， ∴A、D两点间的距离是7． 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】B 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 1．（24-25七年级上·云南昆明·开学考试）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】先运用乘法分配律计算，再运用加法法则计算即可． 【详解】解：原式= = ＝ ＝ ＝ ＝ =． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握运算律进行简便计算是解题的关键． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝ 【答案】2023 【分析】由＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…具体的运算，总结出一般规律为：再利用规律解题即可得到答案． 【详解】解： ＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…． 故答案为： 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，有理数的混合运算，列代数式，掌握利用代数式总结数字的变化规律是解题的关键． 4．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题： 计算：，看谁算得又对又快． 下面是三名同学给出的不同解法： 小强：原式； 小丽：原式； 小红：原式． 对比以上三种解法，请你选择其中你喜欢的方法计算． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 仿照小红的方法将原式变形，计算即可求出值． 【详解】解： 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）若，，则代数式的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的运用，有理数乘除运算，熟知绝对值都为非负数并且运用分类讨论思想是解题的关键．根据题意分以下四种情况，①当、同为正数时，②当、同为负数时，③当为正数、为负数时，④当为负数、为正数时，结合绝对值意义和有理数乘除法法则讨论求解，即可解题． 【详解】解：，， ①当、同为正数时， ， ②当、同为负数时， ， ③当为正数、为负数时， ， ④当为负数、为正数时， ， 综上所述，代数式的取值共有2个， 故选：B． 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）曾老师说，且，请你求的值（   ） A． B．0 C．1 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．判断的正负性进行化简求值即可得到答案． 【详解】解： 中有个负数或者三个都是负数， ， 中有个负数， 设为负数，为正数， 此时， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为 ． 【答案】0，，2 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的除法，分情况进行讨论是解题的关键．分当，时；当，时；当，时；当，时四种情况作答即可． 【详解】解：当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为0，，2， 故答案为：0，，2 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘除运算，根据题意列出算式，然后通过法则即可求解，解题的关键是明确题意，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】由题意可得，， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘除混合运算法则计算即可解答． 【详解】解： ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数乘除混合运算的运算法则是先化除为乘，然后再计算． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【分析】首先根据题意可得两人相遇时，乙比甲多走了360 米，然后根据路程÷速度=时间，用两人相遇时走的路程之差除以速度之差，求出两人相遇用的时间是多少，最后用它乘以两人的速度之和，求出两地之间的距离的2倍是多少，再用它除以2，求出A、B两地相距多少米即可． 【详解】解： ， ， （米）， 答：A、B两地相距900米， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系： 速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人相遇用的时间是多少． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 【答案】 【分析】利用题中的新定义列式，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 【答案】 【分析】根据的意义得出，，，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘除运算，正确理解的意义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）阅读下列解题过程． 计算 ： 解：         （第一步）           （第二步）                 （第三步）                        （第四步） ． 回答： (1)上面解答过程有错误，是第 步，错误的原因是 ； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)②④，②的错误原因是同级运算没从左至右运算；④的错误原因是两个负数相除结果为正 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）根据有理数的乘除法混合运算法则，分步查找错误即可； （2）根据有理数的乘除法混合运算法则进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：②乘法和除法的混合运算，同级运算没从左至右运算，计算步骤不能颠倒，④负数和负数相除结果为正数，因此②④错误， 故答案为：②④；②的错误原因是同级运算没从左至右运算；④的错误原因是两个负数相除结果为正 （2）解：原式 ． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）某种商品原价为8元，现打五折促销，促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．16元 D．40元 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用． 将原价乘以折扣率计算促销价即可． 【详解】解：商品原价为8元，打五折即按原价的出售， ∴促销价为：（元）， 故选：B． 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负，如果水位每天上升，今天的水位为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 2天前的水位用算式表示是：， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘法的运算法则，涉及正数和负数的理解，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）有一款手机原价元，现在降价销售，现价 元． 【答案】 【分析】本题考查百分比的应用，根据“原价乘以折扣等于现价”进行求解即可． 【详解】（元）. 故答案为：. 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，利用乘法的费用等于票价乘以路程，列出算式进行求解即可． 【详解】解：， （元）； 故答案为： 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米，前一次的终点为下一次的起点）如下： 　，，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？ (2)通过计算判断，小李运营过程中离开出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车耗油量为5升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 【答案】(1)10千米 (2)20千米 (3)350升 【分析】本题考查的是正数和负数的应用． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）算出每一站与出发点的距离，进而分析得出答案； （3）根据有理数的绝对值的定义计算． 【详解】（1）解： 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点10千米； （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 所以小李运营过程中离开出发点最远时是20千米； （3）解： （千米） （升） 答：这天下午小李共耗油350升． 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数符号的判断，需分类讨论，当同号时，当异号且时，当异号且时，分别判断即可． 【详解】解：当同号时，是负数，是正数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 综上所述，在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个． 故选：B． 1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是（不考虑，树和灯的宽度），如图，从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了图形规律以及列代数式：每隔3棵树就有一个路灯，也就是路灯与路灯之间的距离是，即第一个路灯是，第二个路灯是，第三个路灯是，以此类推，，即520m处刚好是第十四个路灯，而505m距离520m是15m，所以路灯前面有一棵树，而545m距离520m是25m，即路灯后面有两颗树，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是 ∴路灯与路灯之间的距离是， ∴第一个路灯是， 第二个路灯是， 第三个路灯是， 以此类推， …… ，即520m处刚好是第十四个路灯， ∵从第1个路灯起向右之间 ∴而505m距离520m是15m，所以路灯前面有一棵树，而545m距离520m是25m，即路灯后面有两颗树， 即从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是树、路灯、树、树； 故选：A 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某年的10月份有四个星期四、五个星期三，这年的10月8日是星期 ． 【答案】一 【分析】本题主要考查数字规律，有理数混合运算，根据题意，找出循环规律，是解题的关键． 【详解】解：10月有31天，四个星期四，五个星期三， ∴31号是星期三，（天），（周）（天），把星期三往前推2天，是星期一， ∴10月8号是星期一， 故答案为：一． 3．（24-25七年级上·全国·期中）如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是 cm． 【答案】12 【分析】根据图形，得到3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长，小正方形的边长小长形的长小长方形的宽，得到小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长，结合阴影部分的面积求出小长方形的长和宽，即可得解． 【详解】解：由图可知：3个小长形的宽个小长形的长个小长方形的长， 小正方形的边长小长形的长小长方形的宽， 所以小正方形的边长的小长方形的宽的小长方形的长， 因为三块阴影部分的总面积是，． 所以单个小正方形面积为． 所以小正方形的边长是cm． ， 所以小长方形长为，宽为， 所以小长方形周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查有理数的运算．解题的关键是正确的识图，得到小长方形的长和宽与小正方形的边长的关系． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下： ，，，，，． (1)若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 【答案】(1)在出发点的北方1千米处 (2)出租车共耗油8.4升 (3)第三位乘客需支付车费43.5元 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，以及正数和负数的意义， （1）利用有理数的加法列出算式，再计算即可； （2）求出各数的绝对值的和，再利用耗油量×行驶路程可得答案； （3）利用起步价+超过3千米部分的费用+等候费可得答案． 【详解】（1）解：， 答：最后一位乘客送到目的地时，小李在出发点A的北方1千米处； （2）解：（千米）， （升）， 答：出租车共耗油升； （3）解：由题意得： （元）， 答：第三位乘客需支付车费元． 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）写出符合下列条件的数，再在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来． ①的相反数；②相反数等于本身的数；③绝对值等于2.5的负数；④的倒数；⑤；⑥． 【答案】①1.5；②0；③；④；⑤；⑥；图见解析； 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，相反数，绝对值，倒数，化简多重符号等知识点，先求出各数，再在数轴上表示，并从大于号从右到左连接起来即可． 【详解】解：的相反数是1.5； 相反数等于本身的数是0； 绝对值等于2.5的负数是； 的倒数是； ； ． 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）月的某一个周末，某校组织七年级学生乘汽车沿公路参观6个“最美乡村”景点（设定这6个景点都在同一条直线上），约定汽车向东行驶的方向为正（图中箭头的方向为东），向西行驶的方向为负，这一天从A地出发到六个景点B、C、D、E、F、G参观，汽车行驶记录依次为：（单位：千米），，，，，．    (1)以A为原点，在数轴上标出这六个景点的位置； (2)最后一个景点在A地东边还是西边？距A地多少千米？ (3)若每千米汽车耗油升，油价元/升，则到达景点G时，共需油费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)东边，6千米 (3)元 【分析】（1）由题意知，景点B为；景点C为；景点D为；景点E为；景点F为；景点G为；然后在数轴上标出这六个景点的位置即可； （2）由（1）作答即可； （3）根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，景点B为； 景点C为； 景点D为； 景点E为； 景点F为； 景点G为； 在数轴上标出这六个景点的位置如下；    （2）解：由（1）可知，最后一个景点在的东边，距A地6千米； （3）解：由题意知，（元）， ∴共需油费元． 【点睛】本题考查了有理数的加法、减法运算，在数轴上表示有理数，正负数的实际应用，有理数的乘法运算的应用，绝对值等知识．熟练掌握有理数的加法、减法运算，在数轴上表示有理数，正负数的实际应用，有理数的乘法运算的应用，绝对值是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里． (1)若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)问超市A和外公家C相距多少千米？ (3)若小轿车每千米耗油0.15升，求小明一家从出发到返回家时小车的耗油量． 【答案】(1)图见解析 (2)超市A和外公家C相距千米 (3)小明一家从出发到返回家时小车的耗油量为升 【分析】本题考查用数轴表示数， （1）由已知得：从家向东走了6千米到超市，则超市A表示6，又向东走了1.5，则爷爷家B表示的数为7.5，从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，所以外公家C表示的数为，画数轴如图； （2）右边的数减去左边的数即可； （3）计算总路程，根据耗油量总路程计算即可． 【详解】（1）解：由题意，画出数轴如图所示： （2）由图可知：（千米）； 答：超市A和外公家C相距千米 （3）（升）； 答：小明一家从出发到返回家时小车的耗油量为升． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求：的值． （2）若，，若，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，绝对值，相反数和倒数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）互为相反数的两个数的和为0，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值最小的有理数是0，据此可得，再代值计算即可； （2）根据绝对值的意义得到，，再由，得到，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴或 ∴的值为或． 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知a与2互为相反数，b与互为倒数． (1)则 ， ． (2)已知，求的绝对值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值非负数的性质，熟练掌握相反数、倒数的定义以及非负数的性质是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义求出a、b的值即可； （2）根据非负数的性质即可求出m、n的值，从而求出的绝对值． 【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，， ， ∵b与互为倒数 ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 的绝对值为1． 3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 【答案】（1）6；或6；（2）4.5或5.5；（3）5；（4）4 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用、数轴上两点间的距离、有理数的加减和乘法，掌握是解答本题的关键． （1）直接求解即可；由表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是4可求解； （2）分、、化简绝对值，然后利用有理数的加减和乘法运算法则即可求解； （3）根据3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，又表示数x与和3两数在数轴上所对应的两点之间的距离和，据此求解即可； （4）分、、、四种情况，化简绝对值，利用有理数的加减法和乘法的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； ∵表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是4， ∴或6， 故答案为：6；或6； （2）对于， 当时，，即，解得； 当时，，x不存在，舍去； 当时，，即，解得， 综上，x的值为4.5或5.5； （3）∵3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，又表示数x与和3两数在数轴上所对应的两点之间的距离和， ∴当数x在和3两数之间时，有最小值，又， 故的最小值为5， 故答案为：5； （4）对于， 当时，； 当时，，则； 当时，； 当时，， 综上，的最小值为4． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）若“”表示一种新运算，规定． (1)计算： (2)计算： 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ． 2．（24-25七年级上·全国·期中）用一批纸装订相同的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 … 可以装订的本数 225 180 144 120 60 … (1)这批纸共有多少页？ (2)用表示每本的页数，表示可以装订的本数，请用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ (3)如果现在需要用这批纸装订80本相同的练习本，平均每本练习本有多少页？ 【答案】(1)3600页 (2)与之间的关系是，与成反比例关系 (3)45页 【分析】本题考查了有理数运算的应用，理清表格中的数量关系是解答本题的关键． （1）根据“该批纸”的数量一定，列代数式求解； （2）根据（1）中的关系求解； （3）把n的值代入（2）中的关系式求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：3600； （2）由表格中数据可知， ∴与成反比例关系； （3）解：（页）， 答：平均每本练习本有45页． 3．（24-25七年级上·辽宁大连·开学考试）我们学过五线谱上的“音阶”（如图）：实际上，相邻两个音之间并不是每次都升高大二度（全音），其中3到4、7到都只升高了小二度（半音）． 小明了解到可以用统一规格、粗细均匀的水杯制作乐器．敲击水杯发出音的高低取决于杯子中水的多少．水越多音越低，水越少音越高．每高一个全音．就要减少一定量的水，高一个半音减少的水量约是高一个全音减少水量的一半． (1)按音阶规律填空：4-7号水杯中应倒入水的深度分别为__________； __________；__________；__________； (2)请画出最后一个杯子水深的大概位置； (3)制作这个“水杯乐器”，至少需要准备几杯这种规格水杯的水量．（结果保留整数） 【答案】(1)5.5，4.1，2.7，1.3 (2)见详解 (3)4 【分析】本题主要考查了有理数运算的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意可知一个全音水深减少1.4，一个半音水深减少0.7，据此分析并计算后4个水杯中应倒入水的深度即可； （2）确定音阶的水杯内的水量，然后画出水深的大概位置即可； （3）将几个杯子的水深相加，用总量除以10，再将商保留整数即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得，，， 所以，第4杯水深：， 第5杯水深：， 第6杯水深：， 第7杯水深：． 故答案为：5.5，4.1，2.7，1.3； （2）由题意，可知发出音阶的水杯内的水量为， 则可画出最后一个杯子水深的大概位置，如下图所示： （3）， （杯）． 答：至少需要准备4杯这种规格水杯的水量． 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 3．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）猜想并写出：， 故答案为：； （）原式 ； （）原式 ． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（2025七年级上·云南·专题练习）定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算和有理数混合运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义运算法则计算即可； （2）根据题中的新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义得： ； （2）根据新定义得： ， ， ∴． 2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种新的运算：． (1)计算与，此运算满足乘法交换律吗？ (2)计算与，此运算满足乘法结合律吗？ 【答案】(1)此运算满足乘法交换律，理由见解析 (2) 运算不满足乘法结合律，理由见解析 【分析】（1）由定义的新运算可知， ，进一步计算即可得出答案，同理求出的值，并根据结果判断是否满足乘法交换律即可 （2）先由新定义可得，进一步利用新定义计算即可得出答案，再算出的值，然后根据结果判断是否满足乘法结合律即可． 【详解】（1）解：此运算满足乘法交换律，理由如下： ； ． 故此运算满足乘法交换律． （2）运算不满足乘法结合律，理由如下： ； ． 故此运算不满足乘法结合律． 【点睛】本题考查实数的运算，明确新定义，能够根据新定义进行运算是解题的关键． 1．（2025·广东·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键，根据有理数的乘法法则计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）2025是春意盎然，生机勃勃的双春年，2025的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数：乘积是1的两数互为倒数．利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：2025的倒数是 故选：D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）×2 012＝×2 012＝2 000×2 012－×2 012＝4 024 000－1＝4 023 999，这个运算运用了(　　)． A．加法交换律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】根据运算过程可得这个运算运用了分配律，故可得解. 【详解】由于×2 012＝×2 012＝2 000×2 012－×2 012＝4 024 000－1＝4 023 999， 故此运算过程运用了分配律. 故选C. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·吉林通化·期中）如图①，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图②放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐的刻度尺是1.8，点C对齐的刻度尺是，则数轴上点B所对应的数b为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴的概念，有理数的混合运算，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字0对齐数轴上的点，点B对齐刻度，点C对齐刻度， ， ， 解得， 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 （   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】解：第1次跳后落在2上； 第2次跳后落在1上； 第3次跳后落在3上； 第4次跳后落在5上； … 4次跳后一个循环，依次在2，1，3，5这4个数上循环， ∴2012÷4=503， ∴应落在5上， 故选D． 6．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习） ，的倒数是 【答案】 【分析】本题考查化简多重符号，倒数．一个数前面有偶数个负号，结果为正；一个数前面有奇数个负号，结果为负；乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：， 的倒数是． 故答案为：，． 7．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知代数式的结果为负数，若x与y同号，则z 0．（填“>”或“<”） 【答案】> 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 根据有理数的乘法法则，几个数相乘，积的符号看负因数的个数，当负因数个数为奇数时，积为负数，当负因数的个数为偶数时，积为正数． 【详解】解：∵与同号， ∴, ， ∴， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 【答案】 分配律 【分析】本题考查有理数的运算．掌握乘法分配律，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：在计算时，利用乘法的分配律可以简单运算； 原式； 故答案为：分配律，． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据差倒数的定义，求出的值，确定数字规律，进而求出的值． 【详解】解： 由题意，得：，，， ∴每四个数一循环，， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律探究，有理数的乘法运算．理解并掌握差倒数，是解题的关键． 10．（24-25七年级上·广东江门·开学考试）某校运会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．那么，开始时乙每分钟比甲多跑 米，甲加速后，每分钟比原来多跑 米． 【答案】 16 96 【分析】根据在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙，可知这5分钟甲比乙多跑400米，可求出甲比乙每分钟多跑80米，进而计算出前15分钟乙比甲多跑的路程，可得开始时乙每分钟比甲多跑16米，然后可得答案． 【详解】解：因为在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙， 所以甲加快速度后，甲比乙每分钟多跑米， 因为在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙， 所以前15分钟，乙比甲多跑米， 所以开始时乙每分钟比甲多跑米， 所以甲加速后，每分钟比原来多跑米， 故答案为：16，96． 【点睛】本题考查了追击问题，有理数混合运算的实际应用，能够根据已知条件求出前15分钟，乙比甲多跑的距离是解题的关键． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)20 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）计算题．（写出必要的计算过程．能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)88 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先将化成，再利用乘法分配律计算，然后计算加减法即可得； （2）利用乘法的交换律与分配律进行计算即可得； （3）先去括号，再计算括号内的减法，然后利用乘法分配律计算即可得； （4）将原式变形为，则式子可变形为，据此计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 13．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题以材料题为背景，介绍了有理数运算中的简便运算．正确理解题意加以运用是解题关键． （1）利用材料一所给方法，先计算即可求解； （2）利用材料二所给方法即可计算． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． 15．（24-25七年级上·全国·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 【答案】(1)，， (2) (3)到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了 (4)这一趟公交车票价总收入为92元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用及有理数的乘除法的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据表格数据根据正负数的意义，有理数的加减进行计算即可求解； （2）先计算出中间第三站开车时车上人数，再根据中间第四站上车人数结合中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，列式计算即可； （3）观察表格中数据，求出到达终点站时的人数，即可解答； （4）根据表格数据，求出所有上车的人数再加上起点站的人数，最后乘以票价即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知：中间第二站上车人数是4人，下车人数是6人， 中间第二站开车时车上人数是：（人）； 故答案为：4，6，21 （2）解：中间第三站开车时车上人数是：（人）， 中间第四站上车后人数：（人）， 根据题意：中间第四站开车时的人数为：（人） 则（人） 故； 故答案为： （3）解：到达终点站时的人数为：（人）， ， ， 到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了； （4）解： （元） 答：这一趟公交车票价总收入为92元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合 拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合 拓展训练三 有理数乘除法综合应用 拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题 拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题 知识点一：有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列运算结果为负数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）计算的结果是 知识点二：有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则的值可表示为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 知识点三：倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C．2016 D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）的倒数是 ． 知识点四：有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C．﹣6 D．6 2．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）有理数除法法则：成立的条件是 ． 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·广东深圳·开学考试）两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 1．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如果，那么 ． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）规定“*”是一种运算符号，，则 ． 4．（24-25七年级上·河北张家口·期中）发现：任意两个负数的积一定等于其相反数的积． 特例验证： 因为 因此， (1)请你仿照上面的方法验证：； (2)若a、b为正数，请论证：． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】（2025·河北·模拟预测）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 1．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）一列数则 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如果a、b、c是非零有理数, 那么所有可能的值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数：，，，0，5，，要从中抽取3张，使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是 ． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）观察下列各式，回答问题： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： (1)猜想并写出：第5个等式为______； (2)利用规律计算：的值； (3)探究并计算：的值． 【经典例题三 倒数】 【例3】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）的相反数的倒数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的倒数是 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，那么代数式 的值为 ． 3．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）已知m的相反数是，n的倒数是，则的绝对值为 ． 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，． (1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点； (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ 【经典例题四 有理数的乘法运算律】 【例4】（24-25七年级上·广东茂名·期中）计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 1．（24-25七年级上·云南昆明·开学考试）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）计算： ． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算如下：＝1＋，＝1＋，＝1＋，＝1＋，…．利用以上运算的规律求出2021＝ 4．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题： 计算：，看谁算得又对又快． 下面是三名同学给出的不同解法： 小强：原式； 小丽：原式； 小红：原式． 对比以上三种解法，请你选择其中你喜欢的方法计算． 【经典例题五 有理数的除法运算】 【例5】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）若，，则代数式的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）曾老师说，且，请你求的值（   ） A． B．0 C．1 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知“”是一种运算符号，并且，，，，，则 ． 4．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【经典例题六 有理数乘除混合计算问题】 【例6】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 2．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知a是有理数，表示不超过a的最大整数，如等，那么 ． 4．（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）阅读下列解题过程． 计算 ： 解：         （第一步）           （第二步）                 （第三步）                        （第四步） ． 回答： (1)上面解答过程有错误，是第 步，错误的原因是 ； (2)请写出正确的解题过程． 【经典例题七 有理数的乘法的实际应用】 【例7】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）某种商品原价为8元，现打五折促销，促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．16元 D．40元 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负，如果水位每天上升，今天的水位为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）有一款手机原价元，现在降价销售，现价 元． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）某市的地铁站牌每一个站名上方都有一个对应数字，将上、下站名所对应数字相减的差的绝对值作为乘车路程，根据乘车路程所在区段计算票价．乘车路程区段与对应票价（部分）如下表： 乘车路程区段 0~5 6~10 11~15 16~25 … 票价/元 1 2 3.2 4.6 … 另外，学生乘车实行5折优惠，若一名学生上车时站名对应数字是4，下车时站名对应数字是23，则该学生乘车的费用为 元． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米，前一次的终点为下一次的起点）如下： 　，，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？ (2)通过计算判断，小李运营过程中离开出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车耗油量为5升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 【经典例题八 有理数的除法应用】 【例8】（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 1．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是（不考虑，树和灯的宽度），如图，从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是（    ） A． B．   C．   D．   2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某年的10月份有四个星期四、五个星期三，这年的10月8日是星期 ． 3．（24-25七年级上·全国·期中）如图，在一块长方形的展板上，整齐地贴着许多大小相同的小长方形卡片，卡片之间有三块正方形空隙（图中阴影部分），已知三块阴影部分的总面积是，则小长方形卡片的周长是 cm． 4．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）出租车司机小李某天上午运营全是在某条南北走向的路上进行的，如果规定向北为正，向南为负，这天上午他的行车里程（单位：千米）如下： ，，，，，． (1)若记出发点位置为A，将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为0.2升/千米，小李接送这六位乘客，出租车共耗油多少升？ (3)小李师傅接到第三位乘客后，刚好遇上高峰期，遇红灯及堵车等候时间约为32分钟，问第三位乘客需支付车费多少元？ 起步价 （3千米以内） 超过3千米部分每千米费用 （不足1千米以1千米计） 等候费 （不足1分钟以1分钟计） （单价：元） 11 2.5 每4分钟2.5元 【拓展训练一 有理数乘除法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）写出符合下列条件的数，再在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来． ①的相反数；②相反数等于本身的数；③绝对值等于2.5的负数；④的倒数；⑤；⑥． 2．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）月的某一个周末，某校组织七年级学生乘汽车沿公路参观6个“最美乡村”景点（设定这6个景点都在同一条直线上），约定汽车向东行驶的方向为正（图中箭头的方向为东），向西行驶的方向为负，这一天从A地出发到六个景点B、C、D、E、F、G参观，汽车行驶记录依次为：（单位：千米），，，，，．    (1)以A为原点，在数轴上标出这六个景点的位置； (2)最后一个景点在A地东边还是西边？距A地多少千米？ (3)若每千米汽车耗油升，油价元/升，则到达景点G时，共需油费多少元？ 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里． (1)若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)问超市A和外公家C相距多少千米？ (3)若小轿车每千米耗油0.15升，求小明一家从出发到返回家时小车的耗油量． 【拓展训练二 有理数乘除法与绝对值结合】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求：的值． （2）若，，若，求的值． 2．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知a与2互为相反数，b与互为倒数． (1)则 ， ． (2)已知，求的绝对值． 3．（24-25七年级上·全国·阶段练习）同学们都知道，表示a与b的差的绝对值，也可以理解为数轴上对应的两个点之间的距离．如4与在数轴上对应的两点之间的距离表示为，任意一个数x与数2在数轴上对应的两点之间的距离可表示为．试利用数轴探索： （1）______；若，x的值为_______； 建立模型： 表示数轴上有理数x所对应的点到3和所对应的两点距离之和，结合数轴： 模型应用： （2）若，则x的值为_______． （3）的最小值为_______． 延申拓展： （4）的最小值为_______． 【拓展训练三 有理数乘除法综合应用】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）若“”表示一种新运算，规定． (1)计算： (2)计算： 2．（24-25七年级上·全国·期中）用一批纸装订相同的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 … 可以装订的本数 225 180 144 120 60 … (1)这批纸共有多少页？ (2)用表示每本的页数，表示可以装订的本数，请用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ (3)如果现在需要用这批纸装订80本相同的练习本，平均每本练习本有多少页？ 3．（24-25七年级上·辽宁大连·开学考试）我们学过五线谱上的“音阶”（如图）：实际上，相邻两个音之间并不是每次都升高大二度（全音），其中3到4、7到都只升高了小二度（半音）． 小明了解到可以用统一规格、粗细均匀的水杯制作乐器．敲击水杯发出音的高低取决于杯子中水的多少．水越多音越低，水越少音越高．每高一个全音．就要减少一定量的水，高一个半音减少的水量约是高一个全音减少水量的一半． (1)按音阶规律填空：4-7号水杯中应倒入水的深度分别为__________； __________；__________；__________； (2)请画出最后一个杯子水深的大概位置； (3)制作这个“水杯乐器”，至少需要准备几杯这种规格水杯的水量．（结果保留整数） 【拓展训练四 裂项相消法解决规律计算问题】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 3．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项． 【类比探究】（）猜想并写出：__________． 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：． 【拓展提高】（）计算：． 【拓展训练五 有理数乘除法的新定义问题】 1．（2025七年级上·云南·专题练习）定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，，如． (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义一种新的运算：． (1)计算与，此运算满足乘法交换律吗？ (2)计算与，此运算满足乘法结合律吗？ 1．（2025·广东·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）2025是春意盎然，生机勃勃的双春年，2025的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）×2 012＝×2 012＝2 000×2 012－×2 012＝4 024 000－1＝4 023 999，这个运算运用了(　　)． A．加法交换律 B．乘法交换律 C．分配律 D．乘法结合律 4．（24-25七年级上·吉林通化·期中）如图①，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4，某同学将刻度尺如图②放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐的刻度尺是1.8，点C对齐的刻度尺是，则数轴上点B所对应的数b为（    ） A．3 B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 （   ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习） ，的倒数是 7．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知代数式的结果为负数，若x与y同号，则z 0．（填“>”或“<”） 8．（24-25七年级上·河北邢台·期末）在计算时，利用乘法的 可以简单运算；其计算结果是 ． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 10．（24-25七年级上·广东江门·开学考试）某校运会在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速，在第15分钟时，甲加快速度，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时，甲再次追上乙．那么，开始时乙每分钟比甲多跑 米，甲加速后，每分钟比原来多跑 米． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）计算题．（写出必要的计算过程．能简算的要简算） (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 15．（24-25七年级上·全国·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$