专题01 有理数的加法与减法重难点题型专训（4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（人教版2024）

专题01 有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 省略加法和括号的形式 题型八 有理数加法在生活中的应用 题型九 有理数减法的实际应用 题型十 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法法则.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.据此进行解答即可. 【详解】解：， 故选：B 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算,掌握加法交换律和结合律是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用有理数的运算律逐一判断即可． 【详解】解：A、，则A选项错误，故A选项不符合题意； B、，则B选项错误，故B选项不符合题意； C、，则C选项错误，故C选项不符合题意； D、，则D选项正确，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的运算律，熟练掌握其运算律是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）加法结合律： ．即在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 不变； （2）综合有理数加法的交换律、结合律，我们有 【答案】 和 【解析】略 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）比小5的数是（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴比小5的数是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）计算时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正正得正、正负得负、负负得正即可去括号． 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算中的去括号．掌握相关规则即可． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算： ； ； ． 【答案】 【分析】根据有理数的加减运算，求解即可． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：；； 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟悉掌握加法运算法则是解题的关键．根据加法运算法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 1．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”．若密码为“，，”，则顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据题意列出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：， ∴顺利开锁时，标记线标记线按逆时针转了5个格， ∴标记线对准的刻度线表示的数是35 故选：D． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）绝对值大于1.5且小于的所有整数的和是 ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值及有理数的加法，熟知绝对值的定义是解题的关键． 先求出绝对值大于1.5而小于的所有整数，再求他们的和即可． 【详解】解：∵绝对值大于1.5而小于的所有整数是：，，， ∴． 故答案为：0． 3．（24-25七年级上·全国·期末）有一组数：，，，，，，，，，则这个数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据题意列式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）【阅读理解】对于可以如下计算： 解：原式____________________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）， ， ， ， ， ． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西·阶段练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律和加法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了加法的交换律和结合律，根据加法的运算律结合题意判断即可得解． 【详解】解：是应用了加法交换律和加法结合律， 故选：D． 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法，加法运算律，原式结合后，相加即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（2025七年级上·江苏·专题练习）填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 【详解】解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 3．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 【答案】 7 【分析】先把有理数加减混合运算统一转化成加法运算，再利用有理数加法运算律进行计算． 【详解】解：计算时， 先把减法转化为加法可得， 观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为． 故答案为：①，②，③，④7，⑤． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算以及加法运算律的知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则求解即可． 【详解】． 故选：D． 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），它们的值从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则是解答此题的关键． 先计算出各数，再根据有理数比较大小的法则比较出各数即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； ， ， 故选D． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期末）与的和为0的数是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查有理数的减法，利用有理数减法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）小聪运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数a，b，则输出的结果为．比如小聪依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算，若依次输入，，，则最后输出的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数数的减法，根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差即可求解． 【详解】解：根据题意，得，， 即最后输出的结果是4， 故答案为：4． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）定义：，计算的值． 【答案】2024 【分析】本题考查新定义下有理数运算，根据题意代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， ∵， ∴， 故答案为：2024． 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（24-25七年级上·重庆江津·期中）将算式中的若干个“”修改成为“”后，会有若干种计算的结果，那么要使该算式的计算结果为，则不同的修改方式一共有（　　）种 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键．根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】解：， ∴，，，，，，，， ； ∴不同的修改方式一共有9种； 故选B． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，必须统一成加法后，才能省略括号和加号． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）若，则根据此新运算，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义进行转化，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得结果的个位数字是 ，的结果的个位数字是 ． 【答案】 3 9 【分析】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．由已知可得的尾数7，9，3，1循环，则的结果的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，…， 的尾数7，9，3，1循环， ， ∴结果的个位数字是3； 的个位数字是0， 1，…，2023，一共有2023个数， ， ∴的结果的个位数字与的个位数字相同，即， ∴的结果的个位数字是9， 故答案为：3；9． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)885 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）将带分数拆分为整数和真分数的和，再分别相加即可求解； （2）裂项计算即可求解； （3）把原式记为①，把①式括号内的数倒序后与①式相加，进而除以2，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）把记为①， 把①式括号内的数倒序后， 得②， ，得， 所以原式． 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（2025·河北张家口·模拟预测）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据互为相反数的两个数相加得0即可求出这个数． 【详解】解：∵的相反数是， ∴能与相加得0的是， 故选：A． 1．（2025七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握运算律简便运算是解答的关键．先将减法化为加法，再利用有理数加法交换律和结合律对甲、乙两人的算式求解判断即可． 【详解】解： ，故甲计算错误； ，故乙计算正确， 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2024-2520= ． 【答案】 【分析】通过观察算式可得从第二个数开始，每4个数的和为0，根据找到的规律求解即可． 【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2024-2520 故答案为：-2020． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确分析式子中的运算规律． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是： （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （3）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题七 省略加法和括号的形式】 【例7】（24-25七年级上·全国·课后作业）把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数去括号法则即可求解. 【详解】= 故选C. 【点睛】此题主要考查有理数的加减，解题的关键是熟知去括号的方法. 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）将中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把减法统一到加法上后，省略加号即可． 【详解】解：∵， ∴省略加号和括号后的形式为， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数减法的运算，正确理解减法运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式＝ （化成省略括号和加号的和的形式） ＝ （运用加法交换律和结合律） ＝ （同号相加） ＝ ．（最终结果） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，先把减法运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可，掌握有理数的加减运算法则和加法运算律是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：，，，． 3．（24-25七年级上·全国·课前预习）（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）转化为加法： 这个算式我们可以看作是 、 、 、 这四个数的和． 为书写简单，省略算式中的括号和加号写为 ． 我们可以读作负 的和，或读作 【答案】 （-20）+（+3）+（+5）+（-7） -20 +3 +5 -7 -20+3+5-7 20、正3 、正5、负7 负20加3加5减7 【解析】略 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）（1）将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置：（使计算简便） （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先写成省略加号和的形式，再利用交换律使得运算简便； （2）先算乘除法，再算加法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【经典例题八 有理数加法在生活中的应用】 【例8】（24-25七年级上·广西·开学考试）盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸（    ）次一定会摸到红球． A．8 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了抽屉原理，考虑最坏的情况：摸出8次，都是摸出的黄球，则再摸出一个一定是红球，据此即可解答． 【详解】解：∵盒子里有8个黄球，5个红球， ∴至少摸次一定会摸到红球， 故选：C． 1．（2025七年级上·江苏·专题练习）北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解此题的关键是根据题意写出算式，即把实际问题转化成数学问题．根据柏林时间推出北京时间，找两人重合的时间部分，即可解题． 【详解】解：由题意可得：柏林时间为时，北京时间为， 小丽和小红可以选择的北京时间为， 小丽和小红可以选择的时刻可以是北京时间． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作：，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：，，，，，，．请问王先生最后 （填“是”或“不是”）回到出发点1楼． 【答案】是 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加法运算的应用． 把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则是回到1楼，否则不是． 【详解】解： ， 王先生最后是回到出发点1楼． 故答案为：是． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在一次数学活动课上，王老师将共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张下片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序．然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，并要求们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4．则拿到数字5的同学是 ． 【答案】乙同学 【分析】本题考查的是有理数的加法的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，可得12，11，9，4，是由1至8两个不同数字之和，可得丁同学手里拿的是1和3，再结合乙和丙，推出剩余甲同学手里拿的是4和8，即可得出乙同学和丙同学手里的数字． 【详解】解：根据题意，可得12，11，9，4，是由1至8两个不同数字之和， 只能是1和3的和， 丁同学手里拿的是1和3， 可能是4和5，或2和7的和， 丙同学手里拿的可能是4和5，或2和7， 11可能是5和6，或4和7的和， 乙同学的11能是5和6，或4和7， 甲手里必须有8,且配有4， 那么，丙同学的9只能是2和7，乙同学的11只能是5和6， 拿到数字5的同学是乙同学， 故答案为：乙同学． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）分别计算2日到7日的游客人数即可判断； （3）将1日到7日的游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 【经典例题九 有理数减法的实际应用】 【例9】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）长汀冬季的某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号减号变加号；二是减数的性质符号减数变相反数 根据有理数的减法的运算方法，用长汀冬季的某天的最高气温减去这天的最低气温，求出这一天的温差是多少即可． 【详解】解： 答：这一天的温差是， 故选：A． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温，那么这一刻阳台的气温比室内气温低（    ） A．5℃ B．12℃ C．7℃ D．℃ 【答案】B 【分析】根据温差=最高气温-最低气温计算即可. 【详解】∵最高气温是7℃，最低气温是-5℃， ∴温差为：7-（-5）=12（℃）， 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的减法，理解温差的定义，并准确列式是解题的关键． 2．（24-25七年级上·新疆塔城·期中）小明家电冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为．则小明家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数减法的应用，将“冰箱冷藏室温度减去冷冻室温度”列式，在按有理数减法法则计算即可，熟练运用有理数减法法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，而最低的盆地是吐鲁番盆地，两处高度相差 m． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 用珠穆朗玛峰的峰顶高度减去最低高度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为： 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）某风景区在“十一”黄金周期间，在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)在这7天中，游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)若9月30日的游客人数为3万人，求这7天的游客总人数是多少万人? 【答案】(1)最多一天是10月3日，最少一天是10月7日，他们相差万人 (2)万人 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减运算，解题关键是明确正负数在实际问题中的意义． （1）根据表格，计算出这七天每天人数和9月30日比相差人数，即可得到答案； （2）根据（1）中数据即可计算出这7天的游客总人数． 【详解】（1）解：根据表格可知，这七天每天人数和9月30日比， 10月1日比9月30日多万人， 10月2日比9月30日多万人， 10月3日比9月30日多万人， 10月4日比9月30日多万人， 10月5日比9月30日多万人， 10月6日比9月30日多万人， 10月7日比9月30日多万人， 最多一天是10月3日，最少一天是10月7日， 他们相差（万人） 答：最多一天是10月3日，最少一天是10月7日，他们相差万人． （2）解：根据（1）中数据可知，这7天的游客总人数为， （万人） 答：这7天的游客总人数是万人． 【经典例题十 有理数加减混合运算的应用】 【例10】（24-25七年级上·陕西安康·期中）支付宝主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，然后积分可以兑换礼品．小雅三天内积分的变动情况为：，则这三天后小雅的积分（   ） A．减少了29分 B．减少了95分 C．增加了29分 D．增加了66分 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．将所有数据相加，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， 即这三天后小雅的积分减少了29分， 故选：A． 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）某测绘小组的技术员要测量、两处的高度差，他们首先选择了、、、四个中间点，并测得它们的高度差如下表．根据以下数据，可以判断、之间的高度关系为（   ） A．处比处高 B．处比处高 C．、两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用，计算出，据此代入数值求出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴处比处高， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·开学考试）对种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是含甲的种，含乙的种，含丙的种；含甲、乙的种，含甲、丙的种，含乙、丙的种；含甲、乙、丙的种仅含维生素甲的有 种，不含甲、乙、丙三种维生素的有 种 【答案】 3 9 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算的应用，解题关键是读懂题意，找出数量关系，根据容斥原理列式计算即可． 根据题意和容斥原理，知含维生素甲的食物的种数=含维生素甲的食物种数-含维生素甲、乙的食物种数-含维生素甲、丙的食物种数+含维生素甲、乙、丙的食物种数；再求出含维生素甲或乙或丙的食物种数，即可求出不含维生素甲、乙、丙的食物种数． 【详解】解：仅含维生素甲的有种， 不含甲、乙、丙三种维生素的有种． 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·北京丰台·期末）2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值” 赛段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 里程波动值 10 26 ？ ？ 13 （1）第7个赛段的实际路程为 米； （2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 米. 【答案】 270 318 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）先求得5，6两个赛段的里程波动值之和，然后设第5个赛段的“里程波动值”为米，列得方程求得的值后列式计算即可． 【详解】解：（1）（米， 即第7个赛段的实际路程为270米， 故答案为：270； （2） （米， 即5，6两个赛段的里程波动值之和为30米， 设第5个赛段的“里程波动值”为米， 则， 解得：， 那么（米， 即第6个赛段实际路程为318米， 故答案为：318． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作，理由见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题中的操作规定，探索出数字之间的变化规律是解题的关键． （1）按照题中规定操作，即可求解； （2）如果只进行一次，只能改变相邻个数，剩下个数不相等，故至少次操作； （3）按照每次操作后，四个数的和是奇数（或偶数）的不变性，可以得出，，，不管以何种方式排列，通过若干次操作后都不能变成相等的个数． 【详解】（1）解：如图②即为所求； （2） 要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作， 如果只进行次操作，只能改变相邻的两个数，剩下的两个数不相等，因此最少需要通过次操作； （3）解：不能，理由如下： 为奇数， 又操作一次，将相邻两个数都减去同一个数，其余数不变，即得到的四个数的和为奇数， 最终得到四个相同的数， 最后得到的四个数的和为偶数， 不能将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数． 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）若，，，…．照此规律试求： (1)_________； (2)计算_________． (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，正确理解已知规律是解题关键． （1）根据已知规律求解即可； （2）根据已知规律去绝对值符号，再计算加减法即可； （3）根据已知规律去绝对值符号，再计算加减法即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25七年级上·福建三明·期中）探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： （+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11 0※（+9）=+9；（7）※0=+7 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你运用你找到的※（加乘）运算法则进行计算： （1）计算：（11）※（4）；（+7）※（9） （2）计算：（5）※〔0※（3）〕 【答案】（1）+15；-16；（2）-8． 【分析】（1）由题意可知，※（加乘）运算法则为两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，然后根据※（加乘）运算法则求解即可； （2）由题意可知，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都等于这个数的绝对值，然后根据※（加乘）运算法则求解即可． 【详解】解：（1）由（+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11， 可知，※（加乘）运算法则为两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加， ∴（11）※（4）=+15，（+7）※（9）=-16； （2）由0※（+9）=+9；（7）※0=+7，可知，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都等于这个数的绝对值， ∴（5）※〔0※（3）〕=（5）※（+3）=-8． 【点睛】此题考查了有理数加减运算的新定义问题，解题的关键是根据题意得出※（加乘）运算法则． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值（2）（3）或 【分析】本题考查有理数混合运算及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3）当时，； 当时，； 当时，． 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及有理数的加法运算，解题的关键是根据点为原点确定A，C，D所表示的数，再进行求和计算． 先根据点为原点确定a、b，c、d的值，然后将其代入进行计算． 【详解】（1）解：当B为原点时，点B表示的数为0，点A表示的数为，点C表示的数为2，点D表示的数为8， 所以 ； （2）解：当A、D表示的数互为相反数时，A，D间的距离为10， 所以点A表示的数为，点D表示的数为5，点B表示的数为，点C表示的数为， 所以． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）已知：是最小的两位正整数，且、、满足，若、、在数轴上所对应的点分别为、、，点为数轴上的一个动点，对应的数为． (1)求、两点间的距离； (2)若、两点间的距离是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值的非负性、数轴、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴知识，正确理解题意，弄清点的位置是解题的关键． （1）由是最小的两位正整数，得出，由绝对值的性质得出，，即可得出结果； （2）由两点间的距离公式即可得出结果． 【详解】（1）解：因为是最小的两位正整数， 所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以、两点间的距离为：； （2）解：因为，、两点间的距离是，点在数轴上， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 所以或． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）快递员骑自行车，从文昌中路邮电局出发，先向西骑行到小区，继续向西骑行到达小区，然后向东骑行到达小区，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示、、三个小区的位置； (2)小区离小区有多远？ (3)快递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)数轴见解析 (2)C村离A村有远 (3)邮递员一共骑行了 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法与减法． （1）向西为负方向，则A村对应的数为，B村对应的数为，C村对应的数为4，然后描点即可； （2）用4减去得到A村与C村之间的距离； （3）把快递员所走的路程相加即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， C村离A村有远； （3）解：， 快递员一共骑行了． 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1) ； ； (2) ； (3)计算： ． 【答案】(1)3，3 (2) (3) 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的加减混合计算．熟练掌握有理数的加减运算法则、绝对值的意义是解决本题的关键． （1）根据材料中给出的绝对值的意义求解即可； （2）根据材料中给出的绝对值的意义求解即可； （3）根据材料中给出的绝对值的意义先化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：； （3）解： ． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3)1，2 (4)最小值为3 【分析】本题考查数轴与绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出正整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：由题意知，有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）解：， 结合数轴知，当时，， x是正整数， x的值为1，2， 故答案为：1，2； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；； (1)按照上述算式的规则计算： ①_______； ②_______； ③_______； ④_______．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (2)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时，_______，异号两数进行※（宏）运算时_______． (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※（宏）运算中交换律和结合律是否成立？若不成立，只需举一个反例． 【答案】(1)①7；②6；③；④5； (2)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 (3)交换律在※（宏）运算中适用，结合律在※（宏）运算中不适用，理由见解析 【分析】本题考查有理数的加减运算，解答本题的关键是理解※（宏）运算法则． （1）根据题干中的例子求解即可； （2）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则； （3）据（1）中的结论分别采用有理数加法交换律和结合律计算可以解答本题． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④ ； （2）解：根据题意得：归纳※（宏）运算的运算法则：同号两数进行※（宏）运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏）运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）解：交换律在※（宏）运算中适用，结合律在※（宏）运算中不适用，理由如下： 设这两个有理数为a，b， 若a，b均为正数，则，， ∴； 若a，b均为负数，则，， ∴； 若a，b异号，且a的绝对值大于b的绝对值，则，， ∴； 综上所述，交换律在※（宏）运算中适用； ∵，，且， ∴结合律在※（宏）运算中不适用． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 【答案】勘察队在出发点上游，距出发点 【分析】本题考查有理数的正负，有理数的加法的应用；规定向上游走为正，将数据相加后，根据结果正负即可判断． 【详解】解：规定向上游走为正，根据题意可得， ∴勘察队在出发点的上游，距出发点． 2．（24-25七年级上·广东湛江·期末）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量． 【答案】(1)该厂星期一生产工艺品的数量是305个 (2)本周实际生产工艺品的数量为2110个 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，此类题常常结合生产、生活中的热点问题，是近几年中考的必考题型，认真阅读，理解题意是解此类题的关键． （1）根据表格将300与5相加即可求得周一的产量； （2）由表格中的增减情况，把每天对应的数字与2100相加即可． 【详解】（1）解：（个， 答：该厂星期一生产工艺品的数量是305个； （2）（个 答：本周实际生产工艺品的数量为2110个． 3．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）股民吉姆上星期买进某公司月股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股的涨跌情况（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？ (3)已知股票卖出时还需付成交额的1‰交易税，如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)34.5元 (2)最高价是35.5元，最低价是每股26元 (3)收益为元 【分析】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的意义、有理数的加法运算是解题关键． （1）利用正数与负数的意义可得到星期三收盘时每股的价格； （2）分别计算出这周每天的股价，然后比较即可； （3）先计算以26元每股卖出所得，再计算买进股票所需费用，然后求出它们的差即可． 【详解】（1）解：星期三收盘时每股的价格为：（元； （2）解：星期一收盘时每股的价格为：（元； 星期二收盘时每股的价格为：（元； 星期三收盘时每股的价格为：（元； 星期四收盘时每股的价格为：（元； 星期五收盘时每股的价格为：（元； 所以本周内最高价是35.5元，最低价是每股26元； （3）解：小周在星期五收盘前将全部股票卖出所得（元， 所以他赚到钱为元，故收益为元． 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（24-25七年级上·陕西商洛·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了有理数的加法运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． (1)原式利用题中的新定义计算即可求出值； (2)原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解∶根据题中的新定义得 ； （2）解∶根据题中的新定义得 ． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可； （2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可． 本题考查了新定义运算，绝对值化简，有理数加减混合运算，理解定义，规范解答时解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，，…… 运算（二）：，，，，…… 利用以上规律计算： (1) ___________， ___________，___________，___________， (2)___________； (3)计算： 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）根据运算（一）和运算（二）的新运算计算即可； （2）结合运算（一）和运算（二）的新运算将原式化简，然后根据有理数减法进行运算即可； （3）根据运算（一）和运算（二）的新运算结合有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：； ； ； ； 故答案为：，，，； （2）， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了定义新运算，理解题意中的新运算，结合有理数加减运算法则进行计算是解本题的关键． 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算的值等于（    ） A．－1012 B．－1011 C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】从第二个数开始，相邻两个数的和为，再确定的个数，最后求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）在“□”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同学们对加法运算定律的认识以及了解.我们通过题干给出的信息，可以知道题目要求我们运用加法的交换律和结合律，即，我们知道分数相加减，一般把分母相同的放在一起，因此A选项分母与题干中的分母相同，这样这道题目就解答出来了. 【详解】解：当“”里的数为时，可用交换律和结合律； 即； 故选：A 4．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数的减法法则是解题关键．利用中午的气温减去凌晨的气温即可得． 【详解】解：从凌晨到中午气温上升了， 故选：B． 5．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或 【答案】B 【分析】首先根据题意得出两个圈的和都是2，横、纵的和也是2，然后利用有理数的加减法计算，然后代入求解即可． 【详解】设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ， ∵横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和都是2，横、纵的和也是2 则，解得， ，解得， ，解得， 当时，则， 当时，则， 综上所述，的值是或， 故选B． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法，知道横竖以及两圈的和都是2是解题的关键． 6．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）与的和减去所得的差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考出来有理数加减混合运算，这类型的题目要分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式求解．根据题意列式并计算即可得到答案． 【详解】解： ． 7．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先去括号，再交叉相加，两两组合求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变换类，正确利用加法的运算律是解题的关键． 8．（24-25七年级上·福建·期中）教科书中为有理数的加法运算和减法运算提供了实际背景，右图直观解释的算术运算过程和结果是 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数得加减运算，根据图示，列出算式即可． 【详解】解：由图可得：； 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图给出了某地未来一个星期每天的最高温度与最低温度，这周星期四的温差为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据星期四的最高和最低气温列出算式进行解答即可． 【详解】解：这周星期四的温差为：． 故答案为：7． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减混合运算，首先算出12个数的和，要使添加负号后所有数之和等于零，则12个数分成两部分，正数之和、负数之和的绝对值相等，都是39，因此尝试添上负号的数较大即可得到n的值，从小的数字前添加负号，即可得到m的值，从而得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴添上负号的数的和为，其余数的和为39， ∵要填负号最少，需从大的数字前面加负号， ，， ∴至少要添4个负号， ∴， ∵要填负号最多，需从小的数字前面加负号， ，， ∴至多要添8个负号， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算绝对值，再利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的加减法则计算即可． 本题考查有理数的加减混合运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ∴． 13．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）《浮生六记》中说：“佛手乃香中君子”，佛手闻起来沁人心脾，泡茶喝止咳润肺，备受人们害爱．某地种植佛手已有600多年的历史，某果农采摘了8个佛手，每个佛手的质量以为标准，超过部分的质量记为正数，不足部分的质量记为负数．记录如下：（单位：） (1)该果农采摘的8个佛手中，质量最重的一个比最轻的一个重多少千克？ (2)与标准质量比较，这8个佛手总计超过或不足多少千克？ (3)若佛手的售价为42元，则该果农售出这8个佛手可赚多少元？ 【答案】(1) (2)与标准质量比较，这8个佛手总计超过 (3)该果农售出这8个佛手可赚元 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算法则的实际应用，正确理解题意列出对应的算式求解是解题的关键． （1）用标准重量加上每个佛手的重量记录求出每个佛手的重量，再用最大重量的佛手减去最小质量的佛手即可得到答案； （2）把所给的每个佛手的重量记录相加，若结果为正，则与标准质量比较为超过，若结果为负，则与标准质量比较为不足； （3）用单价乘以佛手的总重量进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，，，，，， ∴质量最重的佛手质量为，最轻重量的佛手质量为， ∴质量最重的一个比最轻的一个重； （2）解： ， ∴与标准质量比较，这8个佛手总计超过； （3）解：元， ∴该果农售出这8个佛手可赚元． 14．（2025七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 注：为提高外卖小哥收入，现有送单补贴方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单位不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．例如：周二送单补贴为，404＋46＝184（元） 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)求外卖小哥周四的送单补贴为多少？ (2)外卖小哥每天的工资由底著30元加上送单补贴构成，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)252元 (2)1500元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． （1）按工资的计算方法列式计算即可； （2）根据工资的计算方法列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 周四送单补贴为，404＋106+48＝252， 答：该外卖小哥周四送单补贴为252元； （2）由题意，得： （元， 答：该外卖小哥这一周工资收入1500元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数的加法与减法重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+5拓展训练+自我检测） 题型一 有理数的加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法运算律 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数加减混合运算 题型六 有理数加减中的简便运算 题型七 省略加法和括号的形式 题型八 有理数加法在生活中的应用 题型九 有理数减法的实际应用 题型十 有理数加减混合运算的应用 拓展训练一 有理数加减法的规律计算 拓展训练二 有理数加减法与数轴结合 拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算 拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合 拓展训练五 有理数加减法的新定义运算 知识点一：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算 ． 知识点二：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列变形中，运用运算律正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）加法结合律： ．即在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 不变； （2）综合有理数加法的交换律、结合律，我们有 知识点三：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）比小5的数是（    ） A．1 B． C． D．7 2．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）计算： ． 知识点四：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）计算时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南常德·期中）计算： ； ； ． 【经典例题一 有理数的加法运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再依据三个密码按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘即可解锁．已知顺时针方向转动个小格记为“”，逆时针方向转动个小格记为“”．若密码为“，，”，则顺利开锁时，标记线对准的刻度线表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）绝对值大于1.5且小于的所有整数的和是 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）有一组数：，，，，，，，，，则这个数的和为 ． 4．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）【阅读理解】对于可以如下计算： 解：原式____________________． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西·阶段练习）用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【经典例题三 有理数加法运算律】 【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律和加法结合律 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏·专题练习）填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 3．（24-25七年级上·全国·课堂例题）计算时，先把减法转化为加法可得 ，观察算式我们可以利用“凑整”法，利用加法的运算律将算式转化为 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】（2025·陕西西安·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），它们的值从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期末）与的和为0的数是 ． 3．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）小聪运用七年级上册的知识设计了一台数值转换机，只要依次输入两个整数a，b，则输出的结果为．比如小聪依次输入1，2，则输出的结果是，再次输入3，则输出的结果为，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差的运算，若依次输入，，，则最后输出的结果是 ． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）定义：，计算的值． 【经典例题五 有理数加减混合运算】 【例5】（24-25七年级上·重庆江津·期中）将算式中的若干个“”修改成为“”后，会有若干种计算的结果，那么要使该算式的计算结果为，则不同的修改方式一共有（　　）种 A．8 B．9 C．10 D．11 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）若，则根据此新运算，计算 ． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得结果的个位数字是 ，的结果的个位数字是 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题六 有理数加减中的简便运算】 【例6】（2025·河北张家口·模拟预测）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算： ． 3．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2024-2520= ． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题七 省略加法和括号的形式】 【例7】（24-25七年级上·全国·课后作业）把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）将中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：． 解：原式＝ （化成省略括号和加号的和的形式） ＝ （运用加法交换律和结合律） ＝ （同号相加） ＝ ．（最终结果） 3．（24-25七年级上·全国·课前预习）（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）转化为加法： 这个算式我们可以看作是 、 、 、 这四个数的和． 为书写简单，省略算式中的括号和加号写为 ． 我们可以读作负 的和，或读作 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）（1）将下列各式写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置：（使计算简便） （2）计算：． 【经典例题八 有理数加法在生活中的应用】 【例8】（24-25七年级上·广西·开学考试）盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸（    ）次一定会摸到红球． A．8 B．5 C．9 D．6 1．（2025七年级上·江苏·专题练习）北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作：，向下一楼记作，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：，，，，，，．请问王先生最后 （填“是”或“不是”）回到出发点1楼． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在一次数学活动课上，王老师将共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张下片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序．然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，并要求们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4．则拿到数字5的同学是 ． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【经典例题九 有理数减法的实际应用】 【例9】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）长汀冬季的某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的温差是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温，那么这一刻阳台的气温比室内气温低（    ） A．5℃ B．12℃ C．7℃ D．℃ 2．（24-25七年级上·新疆塔城·期中）小明家电冰箱冷藏室温度为，冷冻室温度为．则小明家冰箱冷藏室温度比冷冻室温度高 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，而最低的盆地是吐鲁番盆地，两处高度相差 m． 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）某风景区在“十一”黄金周期间，在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)在这7天中，游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ (2)若9月30日的游客人数为3万人，求这7天的游客总人数是多少万人? 【经典例题十 有理数加减混合运算的应用】 【例10】（24-25七年级上·陕西安康·期中）支付宝主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，然后积分可以兑换礼品．小雅三天内积分的变动情况为：，则这三天后小雅的积分（   ） A．减少了29分 B．减少了95分 C．增加了29分 D．增加了66分 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）某测绘小组的技术员要测量、两处的高度差，他们首先选择了、、、四个中间点，并测得它们的高度差如下表．根据以下数据，可以判断、之间的高度关系为（   ） A．处比处高 B．处比处高 C．、两处一样高 D．无法确定 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·开学考试）对种食物是否含有维生素甲、乙、丙进行调查，结果是含甲的种，含乙的种，含丙的种；含甲、乙的种，含甲、丙的种，含乙、丙的种；含甲、乙、丙的种仅含维生素甲的有 种，不含甲、乙、丙三种维生素的有 种 3．（24-25七年级上·北京丰台·期末）2023年10月，某校在北京园博园开展“创建绿色城市家园”的学生实践活动.活动线路从永定塔到锦绣谷，共分为9个赛段路程，平均每个赛段路程为300米，以300米为基准，其中实际路程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为“里程波动值”.下表记录了9个赛段的部分“里程波动值” 赛段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 里程波动值 10 26 ？ ？ 13 （1）第7个赛段的实际路程为 米； （2）如果第6个赛段的“里程波动值”比第5个赛段的“里程波动值”的2倍少6米，那么第6个赛段实际路程为 米. 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 【拓展训练一 有理数加减法的规律计算】 1．（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）若，，，…．照此规律试求： (1)_________； (2)计算_________． (3)计算． 2．（24-25七年级上·福建三明·期中）探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： （+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11 0※（+9）=+9；（7）※0=+7 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你运用你找到的※（加乘）运算法则进行计算： （1）计算：（11）※（4）；（+7）※（9） （2）计算：（5）※〔0※（3）〕 3．（24-25七年级上·江苏南通·期中）【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【拓展训练二 有理数加减法与数轴结合】 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 2．（2025七年级上·全国·专题练习）已知：是最小的两位正整数，且、、满足，若、、在数轴上所对应的点分别为、、，点为数轴上的一个动点，对应的数为． (1)求、两点间的距离； (2)若、两点间的距离是，求的值． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）快递员骑自行车，从文昌中路邮电局出发，先向西骑行到小区，继续向西骑行到达小区，然后向东骑行到达小区，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，向东方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示、、三个小区的位置； (2)小区离小区有多远？ (3)快递员一共骑行了多少千米？ 【拓展训练三 含绝对值的有理数加减法计算】 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1) ； ； (2) ； (3)计算： ． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；； (1)按照上述算式的规则计算： ①_______； ②_______； ③_______； ④_______．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (2)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时，_______，异号两数进行※（宏）运算时_______． (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※（宏）运算中交换律和结合律是否成立？若不成立，只需举一个反例． 【拓展训练四 有理数加减法的实际应用综合】 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 2．（24-25七年级上·广东湛江·期末）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量． 3．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）股民吉姆上星期买进某公司月股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股的涨跌情况（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价多少元？最低价是多少元？ (3)已知股票卖出时还需付成交额的1‰交易税，如果吉姆在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【拓展训练五 有理数加减法的新定义运算】 1．（24-25七年级上·陕西商洛·阶段练习）“”表示一种新的运算，它是这样定义的：． (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，，，…… 运算（二）：，，，，…… 利用以上规律计算： (1) ___________， ___________，___________，___________， (2)___________； (3)计算： 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 2．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）计算的值等于（    ） A．－1012 B．－1011 C．1012 D．1013 3．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）在“□”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段练习）某一天凌晨的温度是，中午的气温是，从凌晨到中午气温上升了（    ） A． B． C． 5．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为（　　） A．或1 B．或 C．或 D．1或 6．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）与的和减去所得的差为 ． 7．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）计算的结果是 ． 8．（24-25七年级上·福建·期中）教科书中为有理数的加法运算和减法运算提供了实际背景，右图直观解释的算术运算过程和结果是 ．    9．（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图给出了某地未来一个星期每天的最高温度与最低温度，这周星期四的温差为 ． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？”现要在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，添加的负号个数最多个，最少个，则 ． 11．（24-25七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) 12．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 13．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）《浮生六记》中说：“佛手乃香中君子”，佛手闻起来沁人心脾，泡茶喝止咳润肺，备受人们害爱．某地种植佛手已有600多年的历史，某果农采摘了8个佛手，每个佛手的质量以为标准，超过部分的质量记为正数，不足部分的质量记为负数．记录如下：（单位：） (1)该果农采摘的8个佛手中，质量最重的一个比最轻的一个重多少千克？ (2)与标准质量比较，这8个佛手总计超过或不足多少千克？ (3)若佛手的售价为42元，则该果农售出这8个佛手可赚多少元？ 14．（2025七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 15．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“-”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 注：为提高外卖小哥收入，现有送单补贴方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单位不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．例如：周二送单补贴为，404＋46＝184（元） 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)求外卖小哥周四的送单补贴为多少？ (2)外卖小哥每天的工资由底著30元加上送单补贴构成，求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$