第04讲 有理数的乘法与除法 （知识点+题型+强化训练） 同步讲义与测试2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

第04讲 有理数的乘法与除法 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.倒数 3.有理数乘法的运算律 4.有理数乘法法则的推广 5.有理数的除法法则 6.分数的化简 7.有理数的乘除混合运算 8.有理数的加减乘除混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 十、有理数四则混合运算的实际应用 十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 与乘积的符号 与 的符号 正 同号，即>0，>0 或<0，<0 负 异号，即>0，>0 或<0，<0 0 至少一个为0，即=0 或=0 知识点2.倒数 1. 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 特别解读 1.“ 乘积是1 ”是判断两个数互为倒数的关键. 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系，单独一个数不能称其为倒数. 3.取倒数不改变原数的正负性. 4. 0无倒数，倒数等于它本身的数是±1. 2. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若， 互为倒数， 则·=1 若·=1，则， 互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 的相反数是－ 若，互为相反数， 则＋=0 若＋=0， 则， 互为相反数 知识点3.有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 可逆向使用，即 知识点4.有理数乘法法则的推广 1. 几个不为0 的数相乘的法则 几个不为0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数. 确定积的符号后，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值. 2. 有乘数为0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有乘数为0 ，那么积为0 . 同样，若积为0，则至少有一个乘数为0 . 知识点5.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：÷=·( ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 ：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 知识点6.分数的化简 1. 实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. 2. 分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 3. 分数化简的结果为最简分数或整数. 特别提醒 1.分数线既代表除号，又有括号的功能. 2.最简分数的条件： (1)分子、分母同为正号； (2)分子、分母不能再约分，即分子、分母互质. 3.两个有理数相除(除数不为0)，商是有理数，所以有理数就是形如(p，q 是整数，q ≠ 0) 的数. 知识点7.有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算法则 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.由负因数的个数决定 知识点8.有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 2. 计算器的使用 计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算，各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同(具体参见计算器的使用说明)，但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的. 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握乘法法则是解决问题的关键．先根据同号得正，异号得负确定结果的运算符号，再把绝对值相乘． 【详解】解：． 故选：A ． 2．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）小强和小丽去迷宫游玩，他们发现了一个秘密机关，机关的门口是一些写着整数的数字按钮，此时传来一个机器人的声音：“按两个数，使积等于，两个数不分顺序．”则符合要求的按法共有 种． 【答案】6 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可分解出积为的因数，进而解题即可． 【详解】解：∵，；，；，． ∴符合要求的按法共有6种． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了有理数乘法法则的实际运用，根据题意找出相关因数是关键． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)1 (3)0 (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的乘法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】该题考查了有理数的乘法，根据0乘以任何数都为0即可解答． 【详解】解：∵六个有理数相乘，积为0， 故这六个有理数中至少有一个为0， 故选：C． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)80 (2)0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题关键． （1）根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0，由此即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的乘法，正数与负数，以及有理数的减法，根据题中的规定，列出正确的算式即可． 【详解】解：根据题意：2天后的水位用算式表示：． 故选：B． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，向上攀登后，气温下降 ． 【答案】18 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，利用乘法算出向上攀登后，气温的变化量即可． 【详解】∵每登高气温的变化量为， ∴向上攀登后，气温变化量为：， 即气温下降， 故答案为：18． 9．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（还原法解题）某年国庆期间，山西的特大暴雨牵动了全国人民的心．山西暴雨引发省内37条河流几乎同时发生洪水，接踵而至的是山体滑坡，路面冲毁，屋舍农田被淹．解放军某部紧急调派四支队伍参加救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下人的一半支援第四队，后来又调进人，这时第一队还有30人，第一队原来有多少人？ 【答案】第一队原有158人 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】该题考查了有理数的应用，由条件“后来又调进 8 人”和“这时第一队还有 30 人”，可知不调进 8 人有（人）．由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有 22 人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有（人）．由“抽调 35 人支援第三队”后还有 44 人，可知之前有（人）．由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有 79 人，可知第一队原有（人）． 【详解】解：（人）， 答：第一队原有158人． 题型四、倒数 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）若是3的倒数，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数进行分析，即可作答． 【详解】解：∵是3的倒数，且 ∴， 故选：A 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个数的倒数为，则这个数为 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数的概念，两个数乘积为1，则这两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：一个数的倒数为，则这个数为． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的倒数： (1)3； (2)； (3)； (4)； (5)0.2； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)5 (6) 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数，乘积等于1的两个数互为倒数． （1）直接根据倒数的定义求解； （2）直接根据倒数的定义求解； （3）直接根据倒数的定义求解； （4）先把带分数化成假分数，再根据倒数的定义求解； （5）直接根据倒数的定义求解； （6）先把小数化成分数，再转化为假分数，最后根据倒数的定义求解． 【详解】（1）∵, ∴3的倒数是； （2）∵, ∴的倒数是； （3）∵, ∴的倒数是； （4）∵，, ∴的倒数是； （5）∵, ∴的倒数是； （6）∵，, ∴的倒数是． 题型五、有理数乘法运算律 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算时，运用下列运算律可以避免通分的是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法分配律，根据乘法分配律即可得出答案，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 【详解】解：， 故运用乘法分配律可以避免通分． 故选：D． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：是运用了乘法的 律和 律来进行计算的． 【答案】 交换 结合 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的交换律和结合律． 根据有理数乘法的交换律和结合律求解即可． 【详解】解：是运用了乘法的交换律和结合律来进行计算的． 故答案为：交换，结合． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： 【答案】30 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．利用有理数乘法的分配律计算即可得． 【详解】解：原式 ． 题型六、有理数的除法运算 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题考查有理数的除法计算，根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）（ ）＝ ； （2）（ ÷ ）＝ ． 【答案】 11 0.96 0.06 16 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查的是有理数的除法运算，根据有理数除法运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：；11； （2）； 故答案为：0.96；0.06；16． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)4 (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型七、有理数除法的应用 19．（2025七年级上·山东·专题练习）签字笔每支6元，铅笔每支2元，签字笔的价钱是铅笔价钱的多少倍？这道题是求（ ）． A．6的2倍是多少 B．6比2多几 C．6里面有几个2 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】此题考查有理数除法的实际应用，求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，即用较大的数除以较小的数；本题需明确“倍”的概念，即签字笔的价钱中包含多少个铅笔的价钱； 【详解】解：签字笔的价钱是铅笔价钱的倍 即求6是2的几倍，6里面有几个2 故选C 20．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）把89转换为八进制数是 ． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】此题考查了进制的转换，有理数的除法运算，根据进制的转换法则求解即可． 【详解】 ∴从下往上读取余数，得到． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一列火车在东西向的铁路上运行，规定自车站向东为正，向西为负，进A站以前的时间为负，出A站以后的时间为正，请你以上述信息为背景，编制一个问题，解释算式“”的含义． 【答案】见解析 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，根据题意可编制问题一列火车从A站东180千米的地方进入A站用了3小时，这列火车平均每小时行多少千米，据此求出速度即可． 【详解】解：根据题意，编制的问题为：一列火车从A站东180千米的地方进入A站用了3小时，这列火车平均每小时行多少千米？ （千米/时）． 答：这列火车平均每小时行60千米． 题型八、有理数乘除混合运算 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算及其运算顺序，解题的关键在于遵循从左至右的运算顺序，同时正确处理负号．先计算除法，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 23．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算，结果是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． 先化除为乘，然后再计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数乘除混合运算．先将有理数除法转化为有理数的乘法，再根据有理数乘法进行计算即可． 【详解】：解解： ． 题型九、有理数四则混合运算 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）在计算时，最先计算的应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的一般运算顺序：先算乘方运算，再算乘除运算，最后进行加减运算，有括号的要先进行括号里面的运算，据此解答即可，掌握有理数的一般运算顺序是解题的关键． 【详解】解：在计算时，最先计算的应该是， 故选：． 26．（24-25七年级上·全国·课后作业）定义新运算“※”：满足，则 ． 【答案】6 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，原式利用已知的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：原式， 故答案为：6． 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知为有理数，定义运算符号为：当时，；当时，．求的值． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值． 【详解】解:根据新定义，得，， ∴． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 28．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）某商品有两种不同型号，这两种型号都卖了64元，其中一件盈利，一件亏本，两种都卖出，商家（    ） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，两种型号的商品成本不同，先列式求出各自成本再比较即可． 【详解】解：（元）， （元）， （元）， ，则商家赔了． 故选：B． 29．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某地探空气球的气象观测资料表明， 高度每增加1千米， 气温大约降低6℃． 若 该地地面温度为，高空某处温度为，则此处相对地面的高度是 千米． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，审清题意，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键. 根据题意，此处的高度为，求出数值，即为高度. 【详解】根据题意，该处的高度为：. 答：此处相对地面的高度是7千米. 30．（24-25七年级上·全国·课后作业）一家服装店用1240元购进了10件衣服，每件的市场销售价预定为200元．实际的售价情况如下（售出价超出预定价记为正，不足记为负）： 件数（件） 3 2 2 1 2 钱数（元） 通过计算，这家服装店在这次销售中是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 【答案】盈利，盈利800元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据有理数的混合运算求出总售价，然后减去成本即可． 【详解】解：， 所以（元）， 故这家服装店在这次销售中盈利800元． 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【比大小】在数轴上，M、N两点的位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，由数轴可知，然后一一判断即可得出答案． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴故该选项不符合题意； 故选：C． 32．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）在数轴上表示a，b，c三个有理数的点的位置如图所示，下列各式：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】② 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的除法运算 【分析】此题主要考查利用有理数在数轴上的位置判定式子的正误，首先根据各有理数在数轴上的位置，判定出其大小关系，然后逐一判定即可得解． 【详解】解∶根据数轴可知：， ∴，故①错误， ，故②正确 ∵， ∴且， ∴，故③错误， 故其中正确的是：② 故答案为：②． 强化训练 一、单选题 1．6的倒数为（    ） A．－6 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是理解倒数的概念并正确计算． 根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：设6的倒数为， ， 解得， 故答案为：D． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的除法运算；根据有理数的除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 3．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 4．应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法对加法的分配律 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 【详解】解：应用了乘法结合律， 故选：B 5．小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了学生乘法的意义知识的掌握情况，根据题意，解答此题，每本科技类图书可分别与3本不同的故事书组合，共有3种组合方法，4本就有种方法，这是解决本题的关键． 【详解】解：（种），所以共有12种不同的捐法． 故选：D． 6．数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 7．天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 【详解】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 8．为了简化计算，算式可以化为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，要熟悉乘法分配律．解题关键是将转换为的形式．将带分数转化为整数与分数的代数和形式，再利用乘法分配律展开计算． 【详解】 ． 故选：A． 9．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的性质，有理数的加法，有理数的乘法，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，有理数的加法，有理数的乘法，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， ∴，， ， 故A，B，D错误；C正确； 故选：C． 10．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 二、填空题 11．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 12．绝对值不大于2024的所有整数的积为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了绝对值的定义，有理数的乘法，根据乘以任何数为，即可求解． 【详解】解：绝对值不大于2024的所有整数有， ∴ ∴绝对值不大于2024的所有整数的积为， 故答案为：． 13．在，0，，3中，两个数的积的最大值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的乘法，根据两个有理数相乘的法则计算，再找出积最大的即可． 【详解】∵， ∴最大的两个数是3和0，；最小的两个数是和，， ∵， ∴两个数的积的最大值是2 故答案为：2． 14．有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 15．对于任意有理数a,b,c,d,我们规定符号．例如：．则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的运算，解题的关键是理解题意，列出算式． 根据新定义下的运算列出算式求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：6． 16．新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 三、解答题 17．用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3500 (2)12 (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便． （1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的分配律计算； （3）利用乘法的交换律计算即可； （4）逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的基本运算规则，重点考查运算顺序和各类运算的综合应用能力，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键．首先处理绝对值部分，将小数化为分数后计算差值，再根据绝对值性质取结果；按照先计算乘方，然后计算中括号内的式子，先算小括号里的分数加法(通分后相加)，再利用乘法分配律简化计算，最后进行减法运算；最后将绝对值的结果与中括号计算的结果进行减法运算(减去一个负数等于加上它的相反数)，完成整个式子的求解，综合检验了四则运算的规则． 【详解】解： = = = = = 19．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先利用有理数的乘法分配律和有理数的乘法运算法则求解，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，根据原式加号前后两部分互为倒数，运用有理数乘除的运算法则计算出后面部分即可得解． 【详解】解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 21．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，除法运算等知识，解题的关键是： （1）把变形为，同时把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， （2）解：原式 ； （3）解∶原式 ． 22．某市出租车的收费标准如下； 里程 收费 3千米及3千米以下 8.00元 3千米以上，单程，每增加1千米 1.60元 3千米以上，往返，每增加1千米 1.20元 (1)李丽乘出租车从家到外婆家共付车费17.6元，李丽家到外婆家相距多少千米？ (2)王老师从学校去相距6千米的人事局取一份资料并立即回到学校．他怎样坐车比较合算？需付出租车费多少元？ 【答案】(1)李丽家到外婆家相距9千米 (2)王老师按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.2元计算比较合算，需付出租车费18.8元 【分析】本题考查收费问题，理解并掌握相应的收费方法，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据收费规则求出超出3千米的费用，进而求出超出的里程，即可得出结果； （2）求出两种收费方案的费用，进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：（元）， （千米）， （千米）； 答：李丽家到外婆家相距9千米； （2）解：第一种情况：按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.20元计算， （元）， 第二种情况：按3千米以上，单程，每增加1千米，收费1.60元计算， （元）， ； 所以王老师按3千米以上，往返，每增加1千米，收费1.20元计算比较合算，需付出租车费18.8元． 23．有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1) (2)千克 (3)元 【分析】此题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据最大数减去最小数，可得最重的一筐比最轻的一筐要重多少千克； （2）根据题意把20筐白菜的重量与标准质量的差加起来求出平均偏差，再加上标准重即可求解； （3）根据（2）中数据求出的20筐白菜的总重量乘以每千克的售价求解即可． 【详解】（1）解：（千克）， 最重的一筐比最轻的一筐要重千克； （2）解： 每筐白菜的平均重量（千克） 每筐白菜的平均重量是千克； （3）解：（元）， 答：出售这20筐白菜可卖元． 24．2022年9月，第56届世乒赛在成都举行．某工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径检验记录如下．（“＋”表示超出标准，“－”表示不足标准） 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 直径 0 0.3 0.1 0.2 (1)其中偏差最大的乒乓球直径是________； (2)若误差在“”以内的球可以作为良好产品，这些乒乓球的良好率是________； (3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米？ 【答案】(1) (2)50% (3)毫米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是理解正负号在题中的实际意义． （1）找出列表中绝对值最大的数据，加上标准值即可； （2）找出列表中绝对值小于的数据的个数，除以总数，即可得到良好率； （3）求出列表中所给数据的平均数，加上标准值即可． 【详解】（1）解：列表中绝对值最大的数是， ， 即偏差最大的乒乓球直径是， 故答案为：； （2）解：列表中绝对值小于的数有5个， ， 即这些球的良好率是， 故答案为：50； （3）解： ， 即这10个乒乓球平均每个球的直径是毫米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘法与除法 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数的乘法法则 2.倒数 3.有理数乘法的运算律 4.有理数乘法法则的推广 5.有理数的除法法则 6.分数的化简 7.有理数的乘除混合运算 8.有理数的加减乘除混合运算 题型巩固 一、两个有理数的乘法运算 二、多个有理数的乘法运算 三、有理数乘法的实际应用 四、倒数 五、有理数乘法运算律 六、有理数的除法运算 七、有理数除法的应用 八、有理数乘除混合运算 九、有理数四则混合运算 十、有理数四则混合运算的实际应用 十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 强化训练 单选题（10） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. (2)任何数与0 相乘，都得0 . 2. 有理数乘法的符号法则 与乘积的符号 与 的符号 正 同号，即>0，>0 或<0，<0 负 异号，即>0，>0 或<0，<0 0 至少一个为0，即=0 或=0 知识点2.倒数 1. 定义 乘积是1 的两个数互为倒数. 特别解读 1.“ 乘积是1 ”是判断两个数互为倒数的关键. 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系，单独一个数不能称其为倒数. 3.取倒数不改变原数的正负性. 4. 0无倒数，倒数等于它本身的数是±1. 2. 倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1 的两个数互为倒数 ( ≠ 0)的倒数是 若， 互为倒数， 则·=1 若·=1，则， 互为倒数 都成对 出现 相反数 只有符号不同的两个数叫作互为相反数 的相反数是－ 若，互为相反数， 则＋=0 若＋=0， 则， 互为相反数 知识点3.有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 可逆向使用，即 知识点4.有理数乘法法则的推广 1. 几个不为0 的数相乘的法则 几个不为0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数. 确定积的符号后，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值. 2. 有乘数为0 的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有乘数为0 ，那么积为0 . 同样，若积为0，则至少有一个乘数为0 . 知识点5.有理数的除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：÷=·( ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 ：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 知识点6.分数的化简 1. 实质 分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程. 2. 分数的符号法则 分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变. 3. 分数化简的结果为最简分数或整数. 特别提醒 1.分数线既代表除号，又有括号的功能. 2.最简分数的条件： (1)分子、分母同为正号； (2)分子、分母不能再约分，即分子、分母互质. 3.两个有理数相除(除数不为0)，商是有理数，所以有理数就是形如(p，q 是整数，q ≠ 0) 的数. 知识点7.有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算法则 有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.由负因数的个数决定 知识点8.有理数的加减乘除混合运算 1. 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 2. 计算器的使用 计算器具有运算快、操作简便等优势，当有理数的混合运算的计算量大时，可借助计算器计算，各种类型的计算器在使用时，操作方法不尽相同(具体参见计算器的使用说明)，但在进行加、减、乘、除四种运算时按键方法通常是一样的. 题型巩固 题型一、两个有理数的乘法运算 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．6 2．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）小强和小丽去迷宫游玩，他们发现了一个秘密机关，机关的门口是一些写着整数的数字按钮，此时传来一个机器人的声音：“按两个数，使积等于，两个数不分顺序．”则符合要求的按法共有 种． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、多个有理数的乘法运算 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知六个有理数相乘，积为0，下列说法一定正确的是（    ） A．这六个有理数一定都为0 B．这六个有理数中只有一个为0 C．这六个有理数中至少有一个为0 D．这六个有理数中有两个数互为倒数 5．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： ； 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型三、有理数乘法的实际应用 7．（24-25七年级上·全国·随堂练习）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天下降，今天的水位为，那么2天后的水位用算式表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，向上攀登后，气温下降 ． 9．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（还原法解题）某年国庆期间，山西的特大暴雨牵动了全国人民的心．山西暴雨引发省内37条河流几乎同时发生洪水，接踵而至的是山体滑坡，路面冲毁，屋舍农田被淹．解放军某部紧急调派四支队伍参加救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下人的一半支援第四队，后来又调进人，这时第一队还有30人，第一队原来有多少人？ 题型四、倒数 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）若是3的倒数，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个数的倒数为，则这个数为 ． 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出下列各数的倒数： (1)3； (2)； (3)； (4)； (5)0.2； (6)． 题型五、有理数乘法运算律 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算时，运用下列运算律可以避免通分的是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：是运用了乘法的 律和 律来进行计算的． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： 题型六、有理数的除法运算 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C．3 D． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）（ ）＝ ； （2）（ ÷ ）＝ ． 18．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七、有理数除法的应用 19．（2025七年级上·山东·专题练习）签字笔每支6元，铅笔每支2元，签字笔的价钱是铅笔价钱的多少倍？这道题是求（ ）． A．6的2倍是多少 B．6比2多几 C．6里面有几个2 20．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段练习）把89转换为八进制数是 ． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）一列火车在东西向的铁路上运行，规定自车站向东为正，向西为负，进A站以前的时间为负，出A站以后的时间为正，请你以上述信息为背景，编制一个问题，解释算式“”的含义． 题型八、有理数乘除混合运算 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．8 B． C． D．2 23．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算，结果是 ． 24．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： 题型九、有理数四则混合运算 25．（24-25七年级上·全国·课后作业）在计算时，最先计算的应该是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·全国·课后作业）定义新运算“※”：满足，则 ． 27．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知为有理数，定义运算符号为：当时，；当时，．求的值． 题型十、有理数四则混合运算的实际应用 28．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）某商品有两种不同型号，这两种型号都卖了64元，其中一件盈利，一件亏本，两种都卖出，商家（    ） A．不赔不赚 B．赔了 C．赚了 D．说不清 29．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某地探空气球的气象观测资料表明， 高度每增加1千米， 气温大约降低6℃． 若 该地地面温度为，高空某处温度为，则此处相对地面的高度是 千米． 30．（24-25七年级上·全国·课后作业）一家服装店用1240元购进了10件衣服，每件的市场销售价预定为200元．实际的售价情况如下（售出价超出预定价记为正，不足记为负）： 件数（件） 3 2 2 1 2 钱数（元） 通过计算，这家服装店在这次销售中是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 题型十一、根据点在数轴的位置判断式子的正负 31．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【比大小】在数轴上，M、N两点的位置如图所示，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）在数轴上表示a，b，c三个有理数的点的位置如图所示，下列各式：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 强化训练 一、单选题 1．6的倒数为（    ） A．－6 B． C．6 D． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D．6 3．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 4．应用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和结合律 D．乘法对加法的分配律 5．小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（　　）种不同的捐法． A．3 B．4 C．7 D．12 6．数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 8．为了简化计算，算式可以化为（   ） A． B． C． D． 9．实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 10．我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 二、填空题 11．的倒数是 ． 12．绝对值不大于2024的所有整数的积为 ． 13．在，0，，3中，两个数的积的最大值是 ． 14．有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是 ． 15．对于任意有理数a,b,c,d,我们规定符号．例如：．则的值为 ． 16．新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则 ． 三、解答题 17．用乘法运算律简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算：． 19．计算： 20．计算：． 21．计算： (1)； (2)； (3)． 22．某市出租车的收费标准如下； 里程 收费 3千米及3千米以下 8.00元 3千米以上，单程，每增加1千米 1.60元 3千米以上，往返，每增加1千米 1.20元 (1)李丽乘出租车从家到外婆家共付车费17.6元，李丽家到外婆家相距多少千米？ (2)王老师从学校去相距6千米的人事局取一份资料并立即回到学校．他怎样坐车比较合算？需付出租车费多少元？ 23．有20筐白菜、以每筐20千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差 袋数 2 3 2 5 5 3 (1)20筐白菜中，最轻的一筐比最重的一筐少 千克． (2)每筐白菜的平均重量是多少？ (3)若白菜每千克售价4元，则出售这20筐白菜可卖多少元？ 24．2022年9月，第56届世乒赛在成都举行．某工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径检验记录如下．（“＋”表示超出标准，“－”表示不足标准） 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 直径 0 0.3 0.1 0.2 (1)其中偏差最大的乒乓球直径是________； (2)若误差在“”以内的球可以作为良好产品，这些乒乓球的良好率是________； (3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$