第一章一元二次方程单元测试2025-2026学年苏科版九年级数学上册

一元二次方程单元测试 （范围：1.1-1.4） 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 【题型1】一元二次方程定义及相关概念 1．（本题4分）（22-23九年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D． 2．（本题4分）（22-23九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 3．（本题4分）（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程． 4．（本题4分）（23-24九年级上·山东潍坊·期末）是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【题型2】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 5．（本题4分）（23-24八年级下·江苏南通·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．（本题4分）（22-23九年级上·广东珠海·期中）已知一元二次方程的两根分别为、，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 8．（本题4分）（22-23九年级下·江苏南通·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【题型3】一元二次方程的应用 9．（本题4分）（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A．B． C． D． 10．（本题4分）（23-24八年级下·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ． 11．（本题4分）（23-24九年级上·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为，则可列方程 ． 【题型4】一元二次方程的解法 12．（本题4分）（23-24九年级下·江苏连云港·期中）三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为 ． 13．（本题4分）（23-24九年级上·江苏镇江·期中）用配方法解方程，可以将其变形为（为常数）的形式，则 ． 14．（本题12分）（23-24九年级上·江苏镇江·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型5】一元二次方程的解法 15．（本题9分）（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知关于x的方程．(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根； (2)如果方程有两个实数根，当时，求m的值． 16．（本题9分）（23-24八年级下·江苏淮安·期中）第十九届亚运会在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（）． (1)请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式 ． (2)若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 17．（本题9分）（23-24九年级上·江苏苏州·期中）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度小于10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为，矩形面积为． (1)矩形面积______（用含的代数式表示）； (2)当矩形动物场面积为时，求边的长； (3)能否围成面积为矩形动物场?说明理由． 18．（本题9分）（22-23九年级上·江西南昌·开学考试）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动；与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：________，_________ (用含的代数式表示)； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．C 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、方程2x﹣3＝x为一元一次方程，不符合题意； B、方程2x+3y＝5是二元一次方程，不符合题意； C、方程2x﹣x2＝1是一元二次方程，符合题意； D、方程x+＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的问题，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 3． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程：据此列式代数计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程． ∴， ∴， 故答案为：． 4． 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得，根据，利用整体思想即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∴ 故答案为： 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故选：C． 6．A 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程根的判别式为， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 7．B 【分析】直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程两根分别是和，且，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解答此题的关键是明确． 8．2024 【分析】根据一元二次方程根与系数关系可以求出，可化为，代入求值即可解答． 【详解】∵是方程的两个实数根 由一元二次方程根与系数关系可得： ， 而 故答案为2024． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系式进行计算与转化是解决本题的关键． 9．C 【分析】将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，利用长方形面积公式得到，从而确定答案． 【详解】解：将三条路平移，如图所示： 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为， ， 故选：C． 【点睛】本题考查列方程解实际应用题，读懂题意，根据所给图形，采用平移得到矩形是解决问题的关键． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设较小的一个数为，则另外一个数为，根据两个数的平方和是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设较小的一个数为，则另外一个数为， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 这两个数的积为， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为，根据经过两次降价后的价格原价（每次降价的百分率）2，即可得出关于的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12．23 【分析】本题考查了解一元二次方程及三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 解一元二次方程，并用三角形的三边关系得出第三边，再利用三角形的周长即可求解． 【详解】解：， 解得：，， 由，则 4、9、14不能构成三角形； 由， 则4、9、10能构成三角形，则三角形周长为． 故答案为：23． 13． 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，然后把方程左边写成完全平方形式，即可得出的值． 【详解】解：， ， ，即， ， 故答案为：． 14．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、直接开平方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得：，； （2）解：， ， ，即， ， 解得：，； （3）解：， ， ， 或， 解得：，； （4）解：， ， ， 或， 解得：，． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则，于是根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，然后解一次方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得， 即m的值为． 16．(1) (2)80 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键是根据等量关系列出函数解析式． （1）根据相对于单价45元时，每日销售量是550件，销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件，故当销售单价x元时，销售量即为，由此得解； （2）根据利润（售价进价）销售量进行计算可以得解； 【详解】（1）解： 销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件； 当销售单价x元时，，即， （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得：，（因，舍去） 故文化衫单价应为80元． 答：该文化衫单价应为80元． 17．(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积=长×宽求解即可； （2）根据矩形动物场面积为，列一元二次方程，求解即可； （3）根据矩形动物场面积为列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）∵动物场边的长为，木栏总长20米，则， ∴米， ∴矩形面积为， 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得， ∵墙长度小于， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 所以，边的长为； （3）不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴不能围成面积为矩形动物场． 18．(1)， (2)秒或秒时，的长度等于 (3)存在秒，能够使得五边形的面积等于，理由见详解 【分析】 （1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）根据题干信息使得五边形的面积等于的值存在，利用长方形的面积减去的面积即可，则的面积为，由此求得值． 【详解】（1）根据运动的特点可知：，， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）由题意得：， 解得：，； 当秒或秒时，的长度等于； （3）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： ∵当点运动到点时，两点停止运动， ∴， 长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于，则的面积为， ， 解得：不合题意舍去，． 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，利用含t的代数式表示各自线段的关系，根据题干数量关系即可确立等量关系式是解题的关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$