山西省长治市襄垣县古韩中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山西省长治市襄垣县古韩中学七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.不等式的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 2.若是方程的解，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.下列为数学中的优美图形，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.九章算术中记载了这样一道题：牛头和羊只共值金，牛头和羊只共值金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 5.将周长为的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，≌，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是(    ) A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 8.不等式组的最小整数解是(    ) A. B. C. D. 9.如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有(    ) 或与在同一条直线上 或与在同一条直线上 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图所示，在发射神舟二十号时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，运用的数学原理是三角形的______． 12.如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的度数为______． 13.已知方程，则______． 14.小明同学为留守儿童捐赠了一个书包已知这个书包标价元，现在打折出售，支付时还可以再减免元，小明实际支付了元，则打了______折 15.如图，从正六边形的边向内作一个长方形，连结交于点，则 ______． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 解方程：； 解方程组： 17.本小题分 如图，在中，是边上的高，，，求的度数． 18.本小题分 下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式． 过程如下： 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项得，第四步 两边都除以，得第五步 任务一：填空： 以上求解过程中，去分母的依据是______； 以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 19.本小题分 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． 在图中，作，使在格点上，且与成轴对称； 在图中，作，使、均在格点上，且与成中心对称； 在图中，作，使、均在格点上，且是绕着点顺时针方向旋转后的图形． 20.本小题分 根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． 购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ 如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 21.本小题分 阅读与思考． 请认真阅读并完成相应的问题： “友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，则 ______， ______； 如图，在基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由． 22.本小题分 综合与实践． 问题背景：平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用例如图，在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果为了更多地了解平面密铺，七班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题． 问题一： “对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是为”，其中体现的数学思想主要是______； A.整体思想 B.转化思想 C.方程思想 D.类比思想 填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 ______ ______ ______ 问题二： 给出下列正多边形：正三角形；正五边形；正六边形；正八边形用上述正多边形中的一种能够辅满地面的是______；填序号 用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是______； A.内角都是整十数度数 B.边数都是的整数倍 C.内角整除 D.内角整除 问题三： 用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有个正三角形，个正六边形，请探究，之间满足的关系式，并说明理由； 图是图中的一个基本图形，若，，则______． 23.本小题分 综合与探究． 问题背景：已知如图，凹四边形． 初探： 试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用： 请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展： 如图，平分，平分，若，，求的度数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， ， ， 将解集表示在数轴上如下： 故选：． 依次移项、合并同类项即可得出答案． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 2.【答案】  【解析】解：是方程的解， ， 解得：， 故选：． 将代入原方程，解得的值即可． 本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断如下： A、原图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、原图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、原图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：设每头牛值金，每头羊值金， 牛头，羊头，共值金；牛头，羊头，共值金， ， 故选：． 根据未知数，将今有牛头，羊头，共值金；牛头，羊头，共值金，两个等量关系具体化，联立即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程． 5.【答案】  【解析】解：对于选项A， 依题意得：该三角形的三边分别为：，，， ，不符合构成三角形的条件， 该选项中所标的数据不正确； 故选项A不符合题意； 对于选项B， 依题意得：该三角形的三边分别为：，，， ，不符合构成三角形的条件， 该选项中所标的数据不正确； 故选项B不符合题意； 对于选项C， 依题意得：该三角形的三边分别为：，，， ，不符合构成三角形的条件， 该选项中所标的数据不正确； 故选项C不符合题意； 对于选项D， 依题意得：该三角形的三边分别为：，，， ，符合构成三角形的条件， 该选项中所标的数据正确； 故选项D符合题意． 故选：． 对于每一个选项，分别求出该三角形的三边，然后利用三角形三边之间的关系进行判断即可得出答案． 此题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 6.【答案】  【解析】解：，， ， ≌， ， 故选：． 根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，求出即可． 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等． 7.【答案】  【解析】解：、正三角形的每个内角是，个正三角形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； B、正四边形的每个内角是，个正四边形满足同一顶点处的周角为，故本选项符合题意； C、正六边形的每个内角是，个正六边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； D、正八边形的每个内角是，个正八边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； 故选：． 平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 本题考查平面镶嵌密铺，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合． 8.【答案】  【解析】解：， 由得：， ， ， ， 由得：， ， ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的最小整数解为：， 故选：． 按照解一元一次不等式组的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后按照判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集，从而求出其最小整数解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 9.【答案】  【解析】解：由平移可知或与在同一条直线上，故正确； 由平移可知或与在同一条直线上，故正确； 由平移可知，故正确； 由平移可知不一定等于，故说法错误． 所以结论正确的有个． 故选：． 根据平移的性质判断即可． 本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 10.【答案】  【解析】解：解关于的方程，得， 与无关， ， ，此时． 故选：． 将关于的方程的解用和表示出来，根据与无关求出的值即可． 本题考查同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 11.【答案】稳定性  【解析】解：运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，运用的数学原理是三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性． 12.【答案】  【解析】解：由作图可得，平分，垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：． 根据作图，得出平分，然后根据，求出，由垂直平分线，得到，然后利用三角形内角和定理求出结果即可． 本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握以上性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， ， ，， ． 故答案为：． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键． 14.【答案】七  【解析】解：设打了折， 根据题意得：， 解得：， 打了七折． 故答案为：七． 设打了折，利用实际支付的金额标价折扣率，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：六边形是正六边形，是对角线， ， 是正六边形的一条对称轴， ， 四边形是长方形， ， ． 故答案为：． 先根据正六边形内角和定理求出，再根据正六边形的对称性得，进而根据长方形性质得，然后根据平行线的性质即可得出的度数． 此题主要考查了正六边形的性质，长方形的性质，熟练掌握正六边形的内角和定理和对称性，长方形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 16.【答案】；  ．  【解析】原方程去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：； 原方程组整理得， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故原方程组的解为． 利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 将原方程整理后利用加减消元法解方程组即可． 本题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键． 17.【答案】．  【解析】解：，， ， 是边上的高， ， ， ， ． 利用平行线的性质定理可得，由三角形的内角和定理可得的度数，可得． 本题主要考查了平行线的性质定理和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 18.【答案】任务一：不等式的性质：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 一； 任务二：； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变答案不唯一；   ；数轴见解析．  【解析】任务一：由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错， 故答案为：一； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得， 故答案为：； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变答案不唯一； 解不等式得：， 解不等式得：， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 任务一：根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； 解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 19.【答案】解：与成轴对称，如图即为所作； 与成中心对称，如图即为所作； 如图，即为所作．   【解析】根据轴对称图形的特点作出图形即可； 根据中心对称图形的特点作出图形即可； 根据旋转对称图形的特点作出图形即可． 本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转变换的性质． 20.【答案】购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元；   最多可以购买个篮球．  【解析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得：， 解得：， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； 设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得：， 解得：：， 答：最多可以购买个篮球． 设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21.【答案】，；   和是“友爱三角形”，理由见解析．  【解析】如图，是“友爱三角形”，与互为“友爱角”， ， ， ， ，， 故答案为：，． 如图，和是“友爱三角形”，理由如下： 由知，， ， ， ， ， ，， 和是“友爱三角形”． 由“友爱三角形”的定义得到，由直角三角形的性质得到，即可求出，； 由直角三角形的性质得到，，判定和是“友爱三角形”． 本题考查直角三角形的性质，关键是掌握“友爱三角形”的定义，直角三角形的两锐角互余． 22.【答案】；   ，，；   ；   ；   ， 理由：由题意得：， 即；   ．  【解析】体现的数学思想主要是转化思想； 故选：； 填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数                      故答案为：，，； 用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， 正多边形：正三角形；正五边形；正六边形；正八边形中的一种能够辅满地面的是． 故答案为：； 用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是内角整除， 故选：； ， 理由：由题意得：， 即； 设， 则， 解得：， ， 故答案为：． 根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此即可求解； 根据多边形的内角和公式即可得到结论； 根据平面镶嵌的定义解答即可； 根据平面密铺的特点求解； 根据平面密铺的特点求解； 根据五边形的内角和列方程即可得到结论． 本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的特点和多边形的内角和公式是解题的关键． 23.【答案】，理由详见解答；   ；   ．  【解析】证明：，理由如下： 如图，作射线过点， ，， ， 即； 由得，， ，， ， 故答案为：； 由得，，， 平分，平分， ，， ，， ， ， ． 根据三角形的外角的性质进行解答即可； 由的结论代入计算即可； 根据角平分线的定义以及的结论进行计算即可． 本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$