专题2.2 整式的概念（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题2.2 整式的概念 教学目标 1. 理解整式、单项式、多项式的概念，能区分三者及非整式。 2. 掌握单项式的系数、次数及多项式的项、次数的确定方法。 3. 能将整式按要求分类，准确表述相关概念。 教学重难点 1.重点 （1）单项式和多项式的概念及特征，明确二者与整式的关系。 （2）正确确定单项式的系数、次数和多项式的项、次数。 2.难点 （1）理解单项式系数的符号及只含字母的单项式的系数、次数。 （2）区分多项式的项与项的系数，准确判断多项式的次数。 知识点01 单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【即学即练1-1】代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数． 【详解】解：代数式，，，，，中， 单项式有：，，，共个． 故选：A． 【即学即练1-2】单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题考查单项式的系数．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为： 知识点02 多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【即学即练2-1】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数，多项式的项以及定义，根据单项式的系数与次数，多项式的项以及定义依次逐项判断即可． 【详解】解：A．的系数是，此选项错误，不符合题意； B．的次数是4次，此选项错误，不符合题意； C．是多项式，此选项正确，符合题意；     D．的常数项是，此选项正确，符合题意；     故选：C． 【即学即练2-2】若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 知识点03 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 【即学即练3】指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 【答案】①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的定义，根据单项式、多项式、整式的定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式：①③⑤⑦， 多项式：②④⑥， 整式：①②③④⑤⑥⑦， 故答案为：①③⑤⑦；②④⑥；①②③④⑤⑥⑦． 题型1 单项式的判断 【典例1】下列代数式中中，单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的概念，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：在中单项式有： b，，，，共4个． 故选：C． 【变式1】下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查的是单项式，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式的定义解答即可． 【详解】解：代数式：，，，，，中，，，，是单项式．共有个． 故选：C． 【变式2】在代数式，，，，中，单项式的个数是（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的概念，根据“数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式”对上述代数式进行判断，即可解题． 【详解】解：根据单项式的定义，式子有减法运算，式子分母中含字母，都不是单项式，另外的，，都是单项式． 单项式的个数是3个， 故选：B． 【变式3】在代数式，，，，x中，单项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的判断，由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 【详解】解：由单项式的定义可知：，，x是单项式， 故选：Ｃ 题型2 单项式的系数、次数 【典例2】单项式的次数是 ． 【答案】5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式次数的意义．根据单项式次数的意义即可得到答案． 【详解】解：单项式的次数是, 故答案为：5． 【变式1】单项式的次数是 ． 【答案】3 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，进行求解即可． 【详解】解：单项式的次数是次； 故答案为：3． 【变式2】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式的次数的定义（一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数）和系数的定义（单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数）即可得．本题考查了单项式的系数和次数，熟记定义是解题关键． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 故答案为：，5． 【变式3】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了多项式的次数、系数，单项式前面的数字因数，就是单项式的系数；所有字母的指数之和，就是它的次数，根据单项式的系数和次数概念，即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，次数是5， 故答案为：，5． 题型3 写出满足某些特征的单项式 【典例3】写出一个含有字母、的五次单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题主要考查的是单项式的概念，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，次数与单项式的数字因数没有关系，写的只要符合要求即可． 【详解】解：答案不唯一，含字母的五次单项式是； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】写出一个系数为5，次数为3的单项式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了单项式的知识，根据单项式的概念求解． 【详解】解：由题意，这个单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】写出一个系数是1，次数是4的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查的是单项式的概念，掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键． 根据单项式、单项式的系数和次数的概念解答即可． 【详解】解：依题意可得：（答案不唯一）， 故答案为：． 题型4 单项式规律题 【典例4】观察下列单项式：，，，，按规律可得第10个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查的是数字的变化规律，单项式．根据题意可得出一般规律：第个单项式的数字符号为：，因此当时，这个单项式是． 【详解】解：由题意可知： 一列单项式为：，，，， 第个单项式的数字符号为：， 当时，这个单项式是， 故答案为：． 【变式1】观察下面的一列单项式：，，，…根据规律，第16个单项式为 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式的应用，解此题的关键是找出规律直接解答． 先根据所给单项式的次数及系数的关系可得单项式的系数为，次数为n，据此即可得到答案． 【详解】解：, ， ， ， 第n个单项式为， 第16个单项式为， 故答案为：． 【变式2】有一组单项式：，，，，……则第2023个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式规律探究；分别从符号、分子、分母三个方面找出规律，奇数个的符号为正，分子为开始指数依次递增，分母为从1开始的整数，据此，即可求解． 【详解】解：，，，，……则第2023个单项式是， 故答案为：． 【变式3】按一定规律排列的单项式：第n个单项式是 ． 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】此题考查了整式规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳．根据题意归纳出各项系数的符号和字母指数的规律． 【详解】解：第1个单项式是， 第2个单项式是， 第3个单项式是，， 第4个单项式是， 第个单项式是，即， 故答案为： 题型5 多项式的判断 【典例5】代数式，，，，中，多项式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查了多项式的定义，根据多项式的定义：几个单项式的和求解即可，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】根据多项式的定义可知：，是多项式，共个， 故选：． 【变式1】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查了多项式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，据此逐一判断即可． 【详解】解；①是多项式，符合题意； ②0不是多项式，不符合题意； ③不是多项式，不符合题意； ④不是多项式，不符合题意； ⑤是多项式，符合题意； ⑥不是多项式，不符合题意； ∴多项式一共有2个， 故选B． 【变式2】下列各式：2，，，，，其中多项式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】多项式的判断 【分析】本题主要考查了多项式的判断，熟知“几个单项式的和的形式叫做多项式”是解题的关键． 【详解】解：下列各式：2，，，，，其中多项式有，，共2个， 故选A． 【变式3】在代数式，，，，，中 (1)单项式有：__________________． (2)多项式有：__________________． (3)将代数式按照b字母的降幂排列为：____________． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了整式的定义，掌握单项式和多项式统称整式； （1）根据单项式的的定义进行选择； （2）根据多项式的的定义进行选择； （3）根据多项式按某个字母降幂排列的知识解决即可． 【详解】（1）解：单项式有：，； 故答案为：，； （2）解：，，； 故答案为：，，； （3）解：将代数式按照b字母的降幂排列为：， 故答案为：． 题型6 多项式的项、项数或次数 【典例6】多项式是 次四项式，第二项是 ，第二项的系数是 ． 【答案】 五； ； ． 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式，根据多项式及次数的定义进行解答即可，掌握多项式的定义及有关概念是解题的关键． 【详解】解：是五次四项式，第二项是，第二项的系数是， 故答案为：五，，． 【变式1】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．是多项式 C．单项式m的次数是1，无系数 D．多项式是二次三项式 【答案】B 【知识点】多项式的判断、多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式以及单、多项式的相关概念．几个单项式的和（或者差），叫做多项式．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．据此即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，次数是，故A错误； 是多项式，故B正确； 单项式m的次数是1，系数是1，故Ｃ错误； 多项式是四次三项式，故D错误； 故选：B 【变式2】多项式的项数为 一次项为 ． 【答案】 3 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了多项式的定义，解答本题的关键是掌握多项式次数及项数的判断方法．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，进而可得出答案． 【详解】解：多项式有3个单项式组成，故项数是3； 一次项为． 故答案为3、． 【变式3】多项式是 次 项式，它的常数项是 ． 【答案】 三/3 四/4 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】根据多项式的项数：“单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，常数项：“不含字母的项”，作答即可． 【详解】解：多项式是三次四项式，常数项是； 故答案为：三、四、． 题型7 多项式系数、指数中字母求值 【典例7】若多项式是关于x的三次三项式，则 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据多项式的项数：多项式中单项式的个数，以及多项式的次数：最高项的次数，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故答案为：． 【变式1】若是关于的二次三项式，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此列式求解即可． 【详解】解；∵是关于的二次三项式， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知是关于，的四次三项式，常数项是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据题意得出，，，求出的值，再代入进行计算即可得到答案，熟练掌握几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，是解此题的关键． 【详解】解：是关于，的四次三项式，常数项是， ，，， ， ， 故答案为：． 【变式3】已知关于x、y的多项式是六次五项式． (1)m的值是______，该多项式的常数项是______； (2)将此多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)4； (2) 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列， （1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可； （2）将m值代入多项式并按x降幂排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是六次五项式， ∴，解得，且多项式的常数项是； （2）根据（1）得多项式为， ∴按x的降幂排列为． 题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例8】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了将多项式按每个字母升幂（降幂）排列． 根据升幂排列的定义，我们把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列起来即可． 【详解】把多项式按字母的升幂排列是 故答案为：． 【变式1】将多项式按字母的降幂排列为 ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的项的概念和降幂排列的概念．根据多项式项的概念和降幂排列的概念解答即可． 【详解】解：将多项式按字母的降幂排列为， 故答案为：． 【变式2】把多项式按字母x降幂排列为 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】解：多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 【变式3】将多项式按的降幂排列： ． 【答案】 【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【分析】本题考查了多项式的降幂排列，就是按照某一字母的指数由大到小的顺序排列，操作时注意带着每一项前面的符号．按照字母的指数由大到小排列即可． 【详解】解：将多项式按的降幂排列：， 故答案为： 题型9 整式的判断 【典例9】在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题关键． 根据单项式和多项式统称为整式，进而得出答案． 【详解】解：是整式的有，，2021，， 共四个， 故选：B 【变式1】在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 【变式2】在式子，，，，，中，整式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的判断，根据单项式与多项式统称为整式，逐个式子分析判断即可求解．掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：在式子，，，，，中，整式有，，，，，共5个， 故选：D． 【变式3】下列式子：，，0，，，整式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．据此求解即可． 【详解】解：是整式中的多项式， 是整式中的单项式， 0是整式中的单项式， 的分母含字母，不是整式， 是整式中的多项式， 故选：B． 题型10 单项式、多项式、整式的分类 【典例10】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【答案】①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨ 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，表示数字与字母乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式．单项式与多项式统称整式，据此求解即可． 【详解】解：单项式：（①②⑦⑨）； 多项式：（③④⑤⑧）； 整式：（①②③④⑤⑦⑧⑨）． 故答案为：①②⑦⑨；③④⑤⑧；①②③④⑤⑦⑧⑨． 【变式1】请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【答案】①②③⑤⑦ ①②⑦ ③⑤ 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式和多项式的判定，单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，再逐一判断即可； 【详解】解：整式集合：{①，②，③，⑤，⑦ …}； 单项式集合：{①，②，⑦  …}； 多项式集合：{③，⑤   …} 【变式2】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，，，，，，， 单项式：{             …}； 多项式：{             …}； 整式：{             …} 【答案】见解析 【知识点】多项式的判断、单项式的判断、整式的判断 【分析】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：4，； 多项式：，，，； 整式：4，，，，，． 【变式3】把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 【答案】见解析 【知识点】整式的判断、单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了整式，根据单项式，多项式，整式的定义解答即可. 【详解】单项式：； 多项式：； 二次三项式：； 整式：. 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是单项式的定义，解题关键是熟练掌握单项式的定义． 根据单项式的定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，是多项式，不是单项式，不符合题意，选项错误； 选项，是多项式，不是单项式，不符合题意，选项错误； 选项，是单项式，符合题意，选项正确； 选项，不是整式，不是单项式，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，多项式中每个单项式都叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵整式是关于x的三次三项式， ∴， ∴， 故选：B． 3．下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．是6次单项式，它的系数是 C．，都是单项式，也都是整式 D．，，5是多项式中的项 【答案】C 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式有关定义，正确掌握相关定义是解题的关键． 直接利用单项式的次数与系数以及多项式的定义、次数与系数分别分析得出答案． 【详解】解：A、多项式是三次三项式，故此选项说法错误，不合题意； B、是6次单项式，它的系数是，故此选项说法错误，不合题意； C、，都是单项式，也都是整式，故此选项说法正确，符合题意； D、，，是多项式中的项，故此选项说法错误，不合题意． 故选：C． 4．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①是多项式；②0是单项式；③是单项式；④是分式；⑤是多项式；⑥是分式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 5．在，，，，，0，，中，整式的个数是（   ） A．3个 B．6个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，正确理解单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 根据整式的定义进行判断即可． 【详解】解：是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是多项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 综上所述：整式的个数共有6个； 故选：B ． 6．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据所给的单项式的次数和系数，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：观察可知，奇数位的系数为负，偶数位的系数为正，数值与序数相同，字母的指数为从1开始的连续的奇数， ∴第个单项式是； 故选C． 二、填空题 7．系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案． 【详解】解：系数为，只含字母的三次单项式有2个， 它们是，， 故答案为：，． 8．的系数是 ，次数是 ；的系数是 ，次数是 ；的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 8 7 / 4 【分析】本题考查了单项式的系数和次数的概念，区分单项式的系数和次数是解决本题的关键． 由单项式的系数和次数的概念，即单项式的系数为：单项式中的数字因数；单项式的次数为：单项式中所有字母的指数和，根据概念判断即可． 【详解】解：的系数是4，次数是； 的系数是，次数是； 的系数是，次数是． 故答案为：①4；②8；③；④7；⑤；⑥4 ． 9．多项式的项为 ，次数是 ． 【答案】 ，， 【分析】本题考查多项式的项与次数的判断，根据多项式中的单项式是项，有几个单项式就有几项，单项式中最高的次数是多项式的次数直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 有，，三项，三项中最高次数为4次， 故答案为：，，；． 10．把按降幂排列 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式按某字母升（或降）幂排列，熟练掌握升（或降）幂排列定义是解题的关键． 根据y的次数从大到小排列即可． 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为： ． 故答案为：． 11．已知关于的多项式不含和的项，求的值是 ． 【答案】5 【分析】此题考查多项式不含项问题，已知字母的值求代数式的值，若多项式不含某项则该项的系数为零，由此列得，求出m，n的值即可求代数式的值，正确理解多项式不含项的解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵关于的多项式不含和的项， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 12．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 【答案】 16 【分析】本题考查图形的规律，代数式，理解图形是解题的关键． 根据每个图形的黑色瓷砖增幅相等，都是3，可以猜测第n个图形黑色瓷砖是块，然后代入验证即可． 【详解】解：第一个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第二个图形∶黑色瓷砖是（块）； 第三个图形∶黑色瓷砖是（块）； …… ∴第n个图形∶黑色瓷砖是块； 当时，（块）． 故答案为∶16； ． 三、解答题 13．写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 【答案】30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2 【分析】本题主要考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 根据单项式的系数（数字因数是系数）与次数（所有的字母的指数的和是次数）的定义解答此题． 【详解】解：的系数是30，次数是1； 的系数是，次数是3； 的系数是1，次数是1； 的系数是1，次数是6； 的系数是，次数是4； 的系数是，次数是2． 填表如下： 单项式 y 系数 30 1 1 次数 1 3 1 6 4 2 故答案为：30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2． 14．填表： 多项式 项 次数 【答案】见解析 【分析】本题考查多项式的项和次数，根据多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，最高次项的次数为多项式的次数，进行作答即可． 【详解】解：由题意，填表如下： 多项式 项 次数 4 1 2 2 3 15．已知关于x、y的多项式是六次五项式． (1)m的值是______，该多项式的常数项是______； (2)将此多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义及按降幂排列， （1）根据多项式的次数和多项式的项求m的值和常数项即可； （2）将m值代入多项式并按x降幂排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是六次五项式， ∴，解得，且多项式的常数项是； （2）根据（1）得多项式为， ∴按x的降幂排列为． 16．把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 【答案】(1)④⑤⑩ (2)①③⑥ (3)①③④⑤⑥⑩ (4)③⑥ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式：④⑤⑩， 故答案为：④⑤⑩； （2）多项式：①③⑥， 故答案为：①③⑥； （3）整式：①③④⑤⑥⑩， 故答案为：①③④⑤⑥⑩； （4）二项式：③⑥， 故答案为：③⑥； 【点睛】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 17．已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 【答案】(1)；这个多项式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接利用多项式的次数的确定方法得出m的值； （2）将多项式按字母y的升幂排列即可； （3）将x，y的值代入求出答案． 【详解】（1）解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴，， 解得：， 多项式， （2）解：多项式按字母y的升幂排列为：； （3）解：当，时，此多项式的值为： ． 18．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 19．观察一组数：． (1)请你写出这一组数中的第100个数和第2025个数． (2)前2025个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和这两个数，哪一个在这一组数中？请说明理由． 【答案】(1)第个数为，第个数为 (2)前个数中，正数有个，负数有个 (3)在这一组数中，理由见解析 【分析】本题考查了数据的规律探索，涉及符号交替变化、分子分母的变化以奇偶项的判断；观察数据找到规律是解题的关键． （1）根据观察得到规律：分子是开始的连续的自然数，每个分数的分母都比分子大，且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数；据此求解即可； （2）根据这一组数只有正数和负数，用即可求解； （3）根据第奇数个数是负数，第偶数个数是正数即可判断． 【详解】（1）解：观察这组数可得：分子是开始的连续的自然数，每个分数的分母都比分子大，且第奇数个数是负数，第偶数个数是正数． 第个数是第偶数个数是正数，第个数是第奇数个数是负数， 这一列数中的第个数是，第个数是． （2）解：， 在前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：在这一列数中．理由如下： 和的分子是，是偶数， 这列数的第个数是正数． 故在这一列数中． 20．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 【答案】（1）12，18，36（2）当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个（3）需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰色和白色菱形砖块数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现灰色，白色及小菱形总个数的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第2个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第3个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； 第4个图案中灰色菱形的个数为：，白色菱形的个数为：，小菱形的总个数为：； …， 所以当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个； 当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个， 第n个图形中小菱形的总个数为个． 当时，； 当时，，． 故答案为：12，18，36． （2）由（1）知， 当n为奇数时，第n个图案中灰色菱形的个数为个，白色菱形的个数为个；当n为偶数时，第n个图案中灰色菱形和白色菱形的个数都是个． （3）由（1）知，当时，，， 所以需要购买1013块灰色菱形砖，1012块白色菱形砖． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 整式的概念 教学目标 1. 理解整式、单项式、多项式的概念，能区分三者及非整式。 2. 掌握单项式的系数、次数及多项式的项、次数的确定方法。 3. 能将整式按要求分类，准确表述相关概念。 教学重难点 1.重点 （1）单项式和多项式的概念及特征，明确二者与整式的关系。 （2）正确确定单项式的系数、次数和多项式的项、次数。 2.难点 （1）理解单项式系数的符号及只含字母的单项式的系数、次数。 （2）区分多项式的项与项的系数，准确判断多项式的次数。 知识点01 单项式的概念、系数与次数 1.单项式的概念 如，，0，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 【注意】（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【即学即练1-1】代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练1-2】单项式的系数是 ． 知识点02 多项式的概念、系数与次数 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【注意】（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【注意】（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2） 一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 【即学即练2-1】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【即学即练2-2】若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 知识点03 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 【注意】（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 【即学即练3】指出下列哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式，把序号填写到对应横线上： ①；②；③5；④；⑤；⑥；⑦； 单项式：___________． 多项式：___________． 整式：___________． 题型1 单项式的判断 【典例1】下列代数式中中，单项式共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】下列代数式：，，，，，中，单项式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】在代数式，，，，中，单项式的个数是（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】在代数式，，，，x中，单项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 单项式的系数、次数 【典例2】单项式的次数是 ． 【变式1】单项式的次数是 ． 【变式2】单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式3】单项式的系数是 ，次数是 ． 题型3 写出满足某些特征的单项式 【典例3】写出一个含有字母、的五次单项式： ． 【变式1】写出一个系数为5，次数为3的单项式是 ． 【变式2】写出一个系数是1，次数是4的单项式 ． 题型4 单项式规律题 【典例4】观察下列单项式：，，，，按规律可得第10个单项式是 ． 【变式1】观察下面的一列单项式：，，，…根据规律，第16个单项式为 ． 【变式2】有一组单项式：，，，，……则第2023个单项式是 ． 【变式3】按一定规律排列的单项式：第n个单项式是 ． 题型5 多项式的判断 【典例5】代数式，，，，中，多项式的个数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列各式：2，，，，，其中多项式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】在代数式，，，，，中 (1)单项式有：__________________． (2)多项式有：__________________． (3)将代数式按照b字母的降幂排列为：____________． 题型6 多项式的项、项数或次数 【典例6】多项式是 次四项式，第二项是 ，第二项的系数是 ． 【变式1】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．是多项式 C．单项式m的次数是1，无系数 D．多项式是二次三项式 【变式2】多项式的项数为 一次项为 ． 【变式3】多项式是 次 项式，它的常数项是 ． 题型7 多项式系数、指数中字母求值 【典例7】若多项式是关于x的三次三项式，则 ． 【变式1】若是关于的二次三项式，那么的值为 ． 【变式2】已知是关于，的四次三项式，常数项是，则的值为 ． 【变式3】已知关于x、y的多项式是六次五项式． (1)m的值是______，该多项式的常数项是______； (2)将此多项式按x的降幂排列． 题型8 将多项式按某个字母升幂(降幂)排列 【典例8】把多项式按字母的升幂排列是 ． 【变式1】将多项式按字母的降幂排列为 ． 【变式2】把多项式按字母x降幂排列为 【变式3】将多项式按的降幂排列： ． 题型9 整式的判断 【典例9】在代数式①；②；③；④2021；⑤；⑥中整式的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】在式子，，，，，中，整式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】下列式子：，，0，，，整式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型10 单项式、多项式、整式的分类 【典例10】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别将序号填入所属的括号中． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：（                                       ）； 多项式：（                                       ）； 整式：（                                         ）． 【变式1】请把下列各式的序号填入相应的集合中． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整式集合：{                     …}； 单项式集合：{                     …}； 多项式集合：{                     …}． 【变式2】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，，，，，，， 单项式：{             …}； 多项式：{             …}； 整式：{             …} 【变式3】把下列代数式分别填在相应的大括号内： ，，，，，，． 单项式：{                   …}； 多项式：{                   …}； 二次二项式：{                   …}； 整式：{                   …}． 一、单选题 1．下列式子中，是单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列说法中正确的是（    ） A．多项式是二次三项式 B．是6次单项式，它的系数是 C．，都是单项式，也都是整式 D．，，5是多项式中的项 4．下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在，，，，，0，，中，整式的个数是（   ） A．3个 B．6个 C．4个 D．5个 6．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 8．的系数是 ，次数是 ；的系数是 ，次数是 ；的系数是 ，次数是 ． 9．多项式的项为 ，次数是 ． 10．把按降幂排列 ． 11．已知关于的多项式不含和的项，求的值是 ． 12．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第5个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖 块．（用含字母的式子表示） 三、解答题 13．写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 单项式 y 系数 30 1 1 次数 1 3 1 6 4 2 14．填表： 多项式 项 次数 多项式 项 次数 4 1 2 2 3 15．已知关于x、y的多项式是六次五项式． (1)m的值是______，该多项式的常数项是______； (2)将此多项式按x的降幂排列． 16．把下列代数式的序号填入相应的横线上： ①；③；④；⑤0；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)单项式：_______； (2)多项式：_______； (3)整式：_______； (4)二项式：_______． 17．已知多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m的值，并写出这个多项式； (2)将多项式按字母y的升幂排列； (3)当，时，求此多项式的值． 18．观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 19．观察一组数：． (1)请你写出这一组数中的第100个数和第2025个数． (2)前2025个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和这两个数，哪一个在这一组数中？请说明理由． 20．【观察思考】 【规律发现】 （1）观察各图案中灰色菱形和白色菱形的个数，绘制表格如下． 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 第6个图案 … 灰色菱形个数 1 2 5 8 13 b … 白色菱形个数 0 2 4 8 a 18 … 小菱形总个数 1 4 9 16 25 c … 填空：表格中，________，________，________． （2）请写出第n个图案中灰色菱形，白色菱形各有几个． 【规律应用】 （3）某小区计划用边长为1米的菱形砖铺设一块菱形区域，该菱形区域边长为45米，若按以上规律图案进行设计，则需要购买的灰色菱形砖，白色菱形砖各多少块？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$