专题4.1 立体图形与平面图形（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

本初中数学讲义聚焦立体图形与平面图形核心知识点，系统梳理常见几何体（柱体、锥体、球体等）的识别与分类标准，详解正方体11种展开图特征及视图绘制方法，构建从概念认知到空间转化的学习支架。 资料通过生活实例（如“香蕉球”轨迹解释点动成线）培养空间观念与数学眼光，借助分类口诀（如“1-4-1”型展开图）发展推理意识，即学即练与变式练习结合，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，弥补空间想象能力薄弱点。

专题4.1 立体图形与平面图形 教学目标  1. 能从现实物体中抽象出立体图形与平面图形，识别棱柱、圆柱等常见图形，了解其基本特征。 2. 会对简单立体图形分类，能从不同方向观察并画出视图，探索立体与平面图形的联系。 3. 通过观察、操作培养空间观念与抽象思维，感受数学与生活的联系，激发学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）准确识别常见立体图形与平面图形，理解它们的核心特征及分类标准。 （2）掌握从正面、左面、上面观察立体图形的方法，并能规范画出对应的平面视图。 2.难点 （1）理解棱柱、棱锥的特征及分类依据，难以快速区分相似立体图形的本质差异。 （2）凭借空间想象将立体图形转化为视图，或由平面展开图还原立体图形，转化能力不足。 知识点01 常见几何体 知识点01 常见几何体 1. 柱体：上下底面平行且全等，侧面为平面或曲面 - 棱柱：底面是多边形，侧面是平行四边形（按底面边数分：三棱柱、四棱柱等） - 圆柱：底面是圆形，侧面是曲面，无棱 2. 锥体：有一个底面和一个顶点，侧面为三角形或曲面 - 棱锥：底面是多边形，侧面是三角形（按底面边数分：三棱锥、四棱锥等） - 圆锥：底面是圆形，侧面是曲面，无棱 3. 球体：无底面、无顶点、无棱，曲面围成的封闭几何体 4. 台体（补充基础类型）：上下底面平行且相似，侧面为梯形或曲面（圆台、棱台） 二、关键概念 1. 几何体：由平面或曲面围成的立体图形，又称立体图形 2. 棱：棱柱、棱锥中两个面相交的线段 3. 顶点：棱与棱相交的点 4. 截面：用平面去截几何体得到的平面图形（如截圆柱可得到圆形、长方形） 【即学即练1】1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）图中属于柱体的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    知识点02 正方体的展开 正方体展开图知识总结 一、核心结论 1. 总种类：正方体有且仅有 11种 不同的平面展开图（无重复、无遗漏）。 2. 本质特征：展开图由6个完全相同的正方形组成，相邻正方形在立体中为相邻面，相对正方形在立体中为相对面。 二、11种展开图分类（口诀+图形特征，易记易用） 1. “1-4-1”型（共6种，最基础） - 口诀：中间4个连一排，上下各1个随便放。 - 特征：中间4个正方形横向/纵向排成一列，上下两端各1个正方形（可在中间4个的正上、正下，无其他位置干扰）。 2. “2-3-1”型（共3种，高频考） - 口诀：中间3个连一排，上下各1个错开放。 - 特征：中间3个正方形排成一列，上方1个靠中间3个的左端/右端，下方1个靠中间3个的另一端（避免与“1-4-1”混淆，上下正方形不同侧对齐）。 3. “2-2-2”型（共1种，特殊对称） - 口诀：三个“2”字叠罗汉，彼此错开不相连。 - 特征：2个正方形为一组，共3组，横向/纵向依次错开排列（呈阶梯状，无3个及以上正方形连续排成一列）。 4. “3-3”型（共1种，唯一并列） - 口诀：两个“3”字并排站，中间对齐不重叠。 - 特征：3个正方形为一组，共2组，横向并排排列，两组中间的正方形上下对齐（无单独正方形突出，避免误判为“2-3-1”）。 【即学即练2】3．（25-26七年级上·山西晋中·期中）某正方体的每个面上都写有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“进”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．吾 B．辈 C．自 D．强 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的展开图，与“学”字所在的面相对面上的字是“ ”． 题型01 几何体及其构成 【典例1】下列几何体由5个平面围成的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ．    【变式3】如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留）    题型02 几何体中的点、棱、面 【典例2】重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法正确的是（    ） A．它有9个顶点 B．它有6条棱 C．它的所有侧棱长都相等 D．它的上、下底面形状不相同 【变式1】小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【变式2】一个棱柱如图所示，则这个棱柱有 个顶点；它由 个面围成；这些面相交成 条棱． 【变式3】如图，一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长为．    （1）它有 个侧面；（2）它的所有侧面的面积之和是 ． 题型03 点、线、面、体间的关系 【典例3】在足球训练中，运动员踢出一次强烈的“香蕉球”，足球在空中绕过人墙后飞入球门．若将足球的运动轨迹抽象为几何现象，用数学语言解释这一现象为（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面 【变式1】如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 【变式2】少林派是中国武术中范围最广、历史最长、拳种最多的武术门派，以出于河南嵩山少林寺而得名．从数学的角度，“枪挑一条线”可解释为 ． 【变式3】学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 ． 题型04 正方体的展开图 【典例4】下列图形中，不是正方体平面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中的“富”相对的字是（    ） A．文 B．民 C．主 D．明 【变式2】如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是 ． 【变式3】七年级学生设计了正方体礼盒庆祝，弘扬“载人航天精神”．如图，“神”字可加在 号正方形中，使它们构成完整的正方体展开图．（填所有可能的序号） 题型05 截一个几何体 【典例5】下图是由一个长方体截去了一部分得到的几何体，则从上面看该几何体得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【变式1】分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤ 【变式2】用一个平面去截如图的三棱柱，截面边数最大为 ． 【变式3】用一个平面取截一个三棱柱，最多可以截出 边形． 题型06 几何图形中的规律探究 【典例6】棱长为的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【变式2】棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 【变式3】综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 立体图形与平面图形 教学目标  1. 能从现实物体中抽象出立体图形与平面图形，识别棱柱、圆柱等常见图形，了解其基本特征。 2. 会对简单立体图形分类，能从不同方向观察并画出视图，探索立体与平面图形的联系。 3. 通过观察、操作培养空间观念与抽象思维，感受数学与生活的联系，激发学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）准确识别常见立体图形与平面图形，理解它们的核心特征及分类标准。 （2）掌握从正面、左面、上面观察立体图形的方法，并能规范画出对应的平面视图。 2.难点 （1）理解棱柱、棱锥的特征及分类依据，难以快速区分相似立体图形的本质差异。 （2）凭借空间想象将立体图形转化为视图，或由平面展开图还原立体图形，转化能力不足。 知识点01 常见几何体 知识点01 常见几何体 1. 柱体：上下底面平行且全等，侧面为平面或曲面 - 棱柱：底面是多边形，侧面是平行四边形（按底面边数分：三棱柱、四棱柱等） - 圆柱：底面是圆形，侧面是曲面，无棱 2. 锥体：有一个底面和一个顶点，侧面为三角形或曲面 - 棱锥：底面是多边形，侧面是三角形（按底面边数分：三棱锥、四棱锥等） - 圆锥：底面是圆形，侧面是曲面，无棱 3. 球体：无底面、无顶点、无棱，曲面围成的封闭几何体 4. 台体（补充基础类型）：上下底面平行且相似，侧面为梯形或曲面（圆台、棱台） 二、关键概念 1. 几何体：由平面或曲面围成的立体图形，又称立体图形 2. 棱：棱柱、棱锥中两个面相交的线段 3. 顶点：棱与棱相交的点 4. 截面：用平面去截几何体得到的平面图形（如截圆柱可得到圆形、长方形） 【即学即练1】1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·月考）图中属于柱体的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的定义，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球． 柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以图中属于柱体的有：第一个，第三个，第四个，第六个，共4个， 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 知识点02 正方体的展开 正方体展开图知识总结 一、核心结论 1. 总种类：正方体有且仅有 11种 不同的平面展开图（无重复、无遗漏）。 2. 本质特征：展开图由6个完全相同的正方形组成，相邻正方形在立体中为相邻面，相对正方形在立体中为相对面。 二、11种展开图分类（口诀+图形特征，易记易用） 1. “1-4-1”型（共6种，最基础） - 口诀：中间4个连一排，上下各1个随便放。 - 特征：中间4个正方形横向/纵向排成一列，上下两端各1个正方形（可在中间4个的正上、正下，无其他位置干扰）。 2. “2-3-1”型（共3种，高频考） - 口诀：中间3个连一排，上下各1个错开放。 - 特征：中间3个正方形排成一列，上方1个靠中间3个的左端/右端，下方1个靠中间3个的另一端（避免与“1-4-1”混淆，上下正方形不同侧对齐）。 3. “2-2-2”型（共1种，特殊对称） - 口诀：三个“2”字叠罗汉，彼此错开不相连。 - 特征：2个正方形为一组，共3组，横向/纵向依次错开排列（呈阶梯状，无3个及以上正方形连续排成一列）。 4. “3-3”型（共1种，唯一并列） - 口诀：两个“3”字并排站，中间对齐不重叠。 - 特征：3个正方形为一组，共2组，横向并排排列，两组中间的正方形上下对齐（无单独正方形突出，避免误判为“2-3-1”）。 【即学即练2】3．（25-26七年级上·山西晋中·期中）某正方体的每个面上都写有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“进”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．吾 B．辈 C．自 D．强 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的相对面，掌握相对面的识别方法是关键． 同层，间隔一个面即为相对面或型的首尾端即为相对面，由此即可求解． 【详解】解：与“进”字所在面相对的面上的汉字是辈， 故选：B ． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个正方体的展开图，与“学”字所在的面相对面上的字是“ ”． 【答案】核 【分析】本题主要考查了正方体展开图，找对面，解题的关键是发展空间想象能力． 根据“Z”字的开头和结尾是对面，进行求解即可． 【详解】解：根据正方体展开图可得， “Z”字的开头和结尾是对面， ∴与“学”字所在的面相对面上的字是“核”， 故答案为：核． 题型01 几何体及其构成 【典例1】下列几何体由5个平面围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项几何体的特征逐一分析即可． 【详解】A选项长方体是由六个平面围成，故本选项不符合题意； B选项圆柱是由两个平面和1个曲面围成，故本选项不符合题意； C选项三棱柱是由两个三角形和三个四边形围成，是由5个平面围成的，故本选项符合题意； D选项圆锥是由一个曲面和一个圆围成的，故本选项符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的是几何体的特征，掌握常见几何体的特征是解决此题的关键． 【变式1】若一个长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，现在两部分已拼接完毕，如图所示，下列选项中能与它们拼成长方体的几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，看要拼成长方体还差几个小正方体，再在选项根据图形作出判断． 【详解】由长方体和已知的几何体可知，要拼成长方体还差至少4个小正方体，一层有三个正方体（不是一条线），另一层有一个正方体，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了认识立体图形，找到要拼成长方体缺少的几何体的形状是解题的关键． 【变式2】如图，小明用几个棱长为的正方体积木塔了一个几何体，则这个几何体的体积是 ．    【答案】9 【分析】本题主要考查了求简单几何体的体积，准确得出小正方体个数是解题的关键．求出一个小正方体的体积为立方厘米，再得出共用9个小正方体，因此求出总体积． 【详解】解：由图可知第一层有6个小正方体，第二层有个小正方体， ∴搭建这个几何体共用9个棱长为的小正方体， ∴该几何体的体积为：． 故答案为：9． 【变式3】如图，加工一个长，宽，高的长方体铁块，选择面积最小的一个面，从该面的正中间打一个直径为的圆孔，一直贯穿到对面做成一个零件．则这个零件的体积是 ．（结果保留）    【答案】/ 【分析】本题考查长方体体积和圆柱的体积，根据零件的体积长方体体积圆柱体积，列式求解即可，注意圆孔选择面积最小的一个面，即圆柱的高为． 【详解】解：由题知，零件的体积． 故答案为：． 题型02 几何体中的点、棱、面 【典例2】重阳节小颖想给奶奶一个惊喜，她不仅精心挑选了礼物，还亲手制作了一个如图所示的三棱柱形礼盒．以下关于三棱柱的说法正确的是（    ） A．它有9个顶点 B．它有6条棱 C．它的所有侧棱长都相等 D．它的上、下底面形状不相同 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的特点，掌握三棱柱中点，线，面是关键． 根据立体图形的特点，结合图形分析即可求解． 【详解】解：有6个顶点，故A选项错误，不符合题意； 有9条棱，故B选项错误，不符合题意； 它的所有侧棱长都相等，故C选项正确，符合题意； 它的上、下底面形状相同，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】一个棱柱如图所示，则这个棱柱有 个顶点；它由 个面围成；这些面相交成 条棱． 【答案】 6 5 9 【分析】本题考查了几何体中的点、棱、面，根据三棱柱的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图形得出这个几何体是一个三棱柱， 这个三棱柱有6个顶点；它由5一个面围成；这些面相交成9条棱． 故答案为： 【变式3】如图，一个直五棱柱的底面边长都是，侧棱长为．    （1）它有 个侧面；（2）它的所有侧面的面积之和是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查直棱柱的侧面数量以及侧面积的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据直棱柱的定义，棱柱有个侧面，直五棱柱的，因此可直接得出侧面数量； （2）直棱柱的侧面都是长方形，且每个侧面的面积等于底面边长乘以侧棱长，先求出一个侧面的面积，再乘以侧面的数量即可得到所有侧面的面积之和． 【详解】解：（1）∵直五棱柱是5棱柱，根据棱柱的特征，棱柱有个侧面， ∴直五棱柱有5个侧面． 故答案为：5； （2）直五棱柱的每个侧面都是长方形，长方形的长为侧棱长，宽为底面边长， 一个侧面的面积为： ， 一共有5个侧面，则所有侧面的面积之和为： ． 故答案为：． 题型03 点、线、面、体间的关系 【典例3】在足球训练中，运动员踢出一次强烈的“香蕉球”，足球在空中绕过人墙后飞入球门．若将足球的运动轨迹抽象为几何现象，用数学语言解释这一现象为（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面 【答案】A 【分析】本题主要考查点，线，面，体的关系，理解题意，掌握点动成线是关键． 足球的运动轨迹可以抽象为一个点在空间中移动，形成一条曲线，符合“点动成线”的几何现象． 【详解】解：∵ 足球在空中运动时，其位置随时间变化，形成一个点移动的轨迹， ∴ 该轨迹是一条曲线，即点动成线， 故选：A． 【变式1】如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线动成体 【答案】B 【分析】本题主要考查了线动成面．根据点，线，面的关系解答即可． 【详解】解：这种现象可以用数学原理解释为线动成面． 故选：B． 【变式2】少林派是中国武术中范围最广、历史最长、拳种最多的武术门派，以出于河南嵩山少林寺而得名．从数学的角度，“枪挑一条线”可解释为 ． 【答案】 点动成线 【分析】本题考查了点、线之间的关系，熟练掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键． 根据点动成线，线动成面，面动成体，再结合题意即可求解． 【详解】解：“枪挑一条线”从数学角度可以解释为枪尖在空中移动形成的轨迹是一条线， 这符合几何中点动成线的基本原理． 故答案为：点动成线． 【变式3】学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键是理解“线动成面”的几何原理． 分析画卷展开过程中图形的运动形式，对应“线动成面”的几何概念． 【详解】解：画卷展开时，可看作一条线（画卷的边缘）沿着一定方向移动， 因为线的移动会形成面，这种几何变换称为“线动成面”， 所以这个展开过程用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 题型04 正方体的展开图 【典例4】下列图形中，不是正方体平面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，解题的关键是掌握正方体平面展开图的常见结构类型． 根据正方体展开图的“”“”等类型，逐一判断各选项图形能否折叠成正方体，确定不符合的选项． 【详解】解：A、该图形符合正方体展开图的结构，能折叠成正方体，此选项不符合题意； B、该图形符合正方体展开图的“”型，能折叠成正方体，此选项不符合题意； C、该图形符合正方体展开图的结构，能折叠成正方体，此选项不符合题意； D、该图形折叠时会出现面重叠，不能折叠成正方体，此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中的“富”相对的字是（    ） A．文 B．民 C．主 D．明 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图中相对面的判断．解题的关键在于准确识别正方体平面展开图中各个面的位置关系．根据正方体平面展开图在“222”模型中明确“”两端为对立面这一关键特征，在给定的展开图中找出与“富”字所在“”两端的正方形的面，该面所写的字即为“富”相对的字． 【详解】观察正方体的平面展开图，“富”字所在的面与“主”字所在的面中间恰好位于“”两端． 根据正方体平面展在“222”模型中明确“”两端为对立面这一特征可知，在该正方体中“富”相对的字是“主”． 故选：C． 【变式2】如图，在由标有不同数字的个同样大小的小正方形组成的图形中，剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形所对应的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．牢记正方体的种展开图的模型是解题的关键． 【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是． 故答案为：． 【变式3】七年级学生设计了正方体礼盒庆祝，弘扬“载人航天精神”．如图，“神”字可加在 号正方形中，使它们构成完整的正方体展开图．（填所有可能的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确解题的关键．根据正方体表面展开图的特征即可得出答案． 【详解】解：根据正方体的展开图可知，“神”字可加在①②③号正方形中，使它们构成完整的正方体展开图， 故答案为：①②③． 题型05 截一个几何体 【典例5】下图是由一个长方体截去了一部分得到的几何体，则从上面看该几何体得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了从不同方向看几何体．从上边看，得出的图形是一行三个相邻的长方形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【详解】解：从上面看，是一行三个相邻的长方形． 故选：C． 【变式1】分别用一平面去截如图所示的几何体，能得到截面是长方形的几何体有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握长方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征是解题关键．根据长方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征求解即可得． 【详解】解：用一个平面去截长方体、圆柱、三棱柱，都能得到截面是长方形， 用一个平面去截圆锥、球体，都不能得到截面是矩形， 则能得到截面是长方形的几何体有①②③， 故选：A． 【变式2】用一个平面去截如图的三棱柱，截面边数最大为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了用平面去截几何体，斜着截图，用图表示出截面最多的边数，即可求解． 【详解】解：用如图所示的截法所得截面的边数最多， 即截面边数最多为5条． 故答案为：5． 【变式3】用一个平面取截一个三棱柱，最多可以截出 边形． 【答案】五 【分析】本题考查截一个几何体，用平面去截几何体，平面与几何体几个面相交，就产生几条交线，就形成几边形，三棱柱有五个面，截面最多与五个面相交，产生五条交线，形成五边形． 【详解】解：用一个平面去截一个三棱柱，截面最多可能是五边形． 故答案为：五． 题型06 几何图形中的规律探究 【典例6】棱长为的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看第100个图，得到的平面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，图形类规律探索．先探究第100个图形从上面看时所看到的小正方形的个数，再结合每个小正方形的面积为， 从而可得答案． 【详解】解：第1个图有1层，共1个小正方体， 第2个图有2层，第2层正方体的个数为， 第3个图有3层，第3层正方体的个数为， ．．． 第n层时，正方体的个数为， 当时，第100层的正方体的个数为， 从上面看第100个图，看到了5050个小正方形，所以面积为：． 故选：D． 【变式1】观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 【变式2】棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 【变式3】综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【答案】表格见解析；；20 【分析】本题考查欧拉公式，正确数出多面体的顶点、面、棱的数量； （1）数出各个多面体的顶点、面、棱的数量填入表格即可，其中正十二面体的顶点和棱比较难数，正十二面体是由12个正五边形面组成的，每顶点连着3个面，所以顶点数为个，每条棱连着两个面，所以棱数为个； （2）从表格观察发现：顶点数面数棱数； （3）由一个多面体的面数比顶点数小8可得顶点数、面数的关系，代入顶点数面数棱数即可求解. 【详解】解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）从表格中观察发现： 故答案为：. （3）∵一个多面体的面数比顶点数小8， ∴ ∴ 解得 故这个多面体的顶点数为20个. 综合与实践 【问题背景】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 【解决问题】 （1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 长方体 正八面体 正十二面体 【发现规律】 （2）你发现顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是________． 【规律运用】 （3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的顶点数？ 【答案】表格见解析；；20 【分析】本题考查欧拉公式，正确数出多面体的顶点、面、棱的数量； （1）数出各个多面体的顶点、面、棱的数量填入表格即可，其中正十二面体的顶点和棱比较难数，正十二面体是由12个正五边形面组成的，每顶点连着3个面，所以顶点数为个，每条棱连着两个面，所以棱数为个； （2）从表格观察发现：顶点数面数棱数； （3）由一个多面体的面数比顶点数小8可得顶点数、面数的关系，代入顶点数面数棱数即可求解. 【详解】解：（1）填入表格如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）从表格中观察发现： 故答案为：. （3）∵一个多面体的面数比顶点数小8， ∴ ∴ 解得 故这个多面体的顶点数为20个. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $