第一章 勾股定理 练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 一、单选题 1．如图，在矩形中，于E，,，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，底边上的高，，这个三角形的边长为（  ） A． B．， C． D．， 3．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则顶点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线交于点O，交的延长线于点E，，，则的面积为（    ） A．60 B．48 C．42 D．24 6．如图，在中，垂直平分斜边，交于点 D，E为垂足，连接，若 ，，则的长是（  ） A． B． C． D．4 7．如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 8．如图，等腰底边，面积为54，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为（） A．6 B．12 C． D． 二、填空题 9．中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 10．如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 11．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、，连结，则的面积为 ． 12．如图，在中，，为射线上一动点，连接，将沿对折，已知点的对应点为点，，．当点落在直线上时，线段的长为 ． 13．在中，，，．过点C作，使，连接．点P，Q分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ． 三、解答题 14．如图，各边的长如图所示，求的面积． 15．如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 17．如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 18．如图，在中，，点P、点D分别在边和上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】利用矩形面积，以及所给的两个三角形的面积比，可求出，的面积，从而得到，结合，可求，则利用勾股定理可求出，再利用三角形的面积公式可求出． 【详解】解：∵， ∴的面积是， ∵， ∴的面积是4，的面积是16， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵面积的比是， ∴， 根据的面积是20，即，即 ，， ∴， 又∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算方法，勾股定理，以及相似三角形的性质，面积的比等于相似比的平方，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．A 【分析】本题考查勾股定理的应用及等腰三角形的性质，设，则，在中运用勾股定理列出有关的方程，继而即可求各边的长． 【详解】解．设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：． ， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】过点B作轴于点N，由直角三角形的性质求出长即可． 【详解】解：过点B作轴于点N，如图所示： ∴，      ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得， ∴， 所以顶点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形面积等积转换；可求，从而可求，进而可求，再证四边形是平行四边形，从而可证，可求解，掌握“菱形的面积为对角形乘积的一半”是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理．由勾股定理求出，由垂直平分线的性质可得，则，再由勾股定理可得到的长． 【详解】解：∵ 在 中，， ， ∴， ∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在 中，， 故选： A． 7．C 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 8．D 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，连接，过点作于点，证明，求出可得结论，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线解决问题． 【详解】解：连接，过点作于点，如图： ∵等腰的底边，面积为， ， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵垂直平分线段， ∴， ， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为， 故选：D． 9． 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 10．2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 11． 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出，故，设，则，在中根据勾股定理求出x的值，利用面积公式计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 则的面积， 故答案为：． 12．或6 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．利用勾股定理求出的长，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当点P在线段上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点P在线段的延长线上时， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或6． 故答案为：或6． 13． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，过点作，且，连接，，根据得到，即可得到，然后得到当M、P、C三点共线时，最小为，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：过点作，且，连接，， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即当M、P、C三点共线时，最小为， 这时， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理；先利用勾股定理列方程求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得， 解得， 所以的面积． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1））证明：平分， ∴， 又∵，， ∴， ， ； （2）解：， ． 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴． 解得，即的长为． 16．消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在中，因为， 所以， 所以． 在中，因为， 所以， 所以， 所以． 故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用， （1）连接，先证明，再证明，即可得出结论； （2）先证明，得到，再根据线段和差求出，进而得到，再用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 的平分线与的垂直平分线相交于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ∵是的角平分线， ∴ 在和中， ， ， ， 由（1）可知，， 设， ， ∴，， ， 解得：， ， ， 在中，， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，垂直平分线的性质可得，进而得到；根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，即可证明结论； （2）由线段的和差可得，．设，则．由勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴，． 设，则． 在中，根据勾股定理得：． 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$