第一章 勾股定理 练习题 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第一章 勾股定理 一、单选题 1．下列各组数中，能围成直角三角形的是（    ） A．1， 1， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．6， 8， 9 2．如图，在中，， ，是平分线，过点D作于点E，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，．则下列结论中正确的有：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．，， B． C． D．6，8，10 6．如图，中，，，，当时，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 7．如图，在中，，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线交于点D．若，则的长是（   ） A．1 B．1.5 C．2.4 D．3 8．如图，在中，，是的角平分线，点E是上任意一点，若，，则的最小值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 二、填空题 9．中，，为的中点，点在上，点在上，且，连接，若，则与的数量关系为 ． 10．如图所示，在中，，若，则 ． 11．如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，则的长为 ． 12．如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，若，，则的长为 ． 13．如图，在中，，是边上一点，连接，在的左侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 14．如图，在中，，点P是线段上一点，过点A作的垂线，交的延长线于点M，于点N，于点Q，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 15．如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若于点E，，，求点E到的距离． 16．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 17．如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 18．如图，在中，，平分交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)当，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要验证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形面积等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 由，是平分线，是边上的高与中线，得，再根据，联立方程求解即可. 【详解】解：∵，是平分线， ∴是边上的高与中线， ∴，， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据角平分线性质即可对结论①进行判断； ②根据，，得，根据平分，得，进而得，再根据，得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出，证明，得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，继而得，由此可对结论③进行判断；④过点G作于点H，根据角平分线性质得，由三角形面积公式得，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理求出，继而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴，故结论②正确； ③在中，，，， 由勾股定理得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴，故结论③错误； ④过点G作于点H，如图所示： ∵点G是平分线上的点，， ∴， ∴，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 5．D 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义． 根据勾股数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； B、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，无法构成三角形，故本选项不符合题意； D、∵6，8，10是正整数，且满足，∴6，8，10是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D 6．A 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用，得出，，，即可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】先确定是角平分线，用勾股定理求，再依据角平分线性质作辅助线，最后通过面积法列方程求．本题主要考查角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）、勾股定理及面积法的应用，熟练用角平分线性质结合面积法列方程是解题关键． 【详解】解：由作图步骤，可知平分，即是的角平分线 ． 在中，，，． ∴ ． 过作于． ∵ 平分，，， ∴ （角平分线上的点到角两边距离相等 ）． 设，则， ． ， ∴， 即， 化简得：，即， 解得， ∴ ． 故选： ． 8．D 【分析】本题考查的是角平分线性质，勾股定理，关键是掌握垂线段最短，勾股定理求出，当时，的值最小，然后根据角平分线的性质即可得到结果． 【详解】在中， ∵，， ∴， 当时，的值最小， ∵是的平分线，， ∴． ∴的最小值为6． 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 延长至点，使，连接，，结合垂直平分线的性质和判定，可得，再证明，可得，，结合勾股定理化简即可求解． 【详解】解：延长至点，使，连接，， ∵，， ∴垂直平分，，， ∴， ∵是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 10． 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理，求出，由， 得到，求出，即可解答． 【详解】解：∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质．连接，设，则，根据是的垂直平分线，可得，在中，由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设，则， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴的长为， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了勾股定理、等积法，角平分线的性质定理，正确地作出辅助线是解答本题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据已知条件得，然后设，，接下来根据等积法可得，可表示，再根据勾股定理求出y，即可求出x，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵平分，， ∴. ∵点E是的中点，且， ∴. 设，， ∵， ∴， 即， ∴. 根据勾股定理，得，且， ∴， 解得， ∴. 根据勾股定理，得， 解得， 则，. 根据勾股定理，得， ∴. 根据勾股定理，． 故答案为：． 13．48 【分析】过点A作于点M，过点C作于点N，过点B作于点H，利用平行线间的距离处处相等，等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了平行线间的距离处处相等，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，过点C作于点N，过点B作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：48． 14．(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）先由垂直条件得出多个直角，通过同角的余角相等推导出一组角相等，再结合已知的一组边相等，利用“角边角”判定定理证明两个三角形全等； （2）根据（1）的全等结论得到两组边相等和一组角相等，通过角的等量代换推导出角平分线，再利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合之前的边相等关系，证明目标边相等； （3）设出未知边长，结合已知线段长度表示出相关边，在直角三角形中利用勾股定理列方程求出未知边长，再通过直角三角形全等得到一组边相等，最后在另一个直角三角形中用勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在与中， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）知，则设， 又，则， 在中，， 即， 解得， ∴， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、勾股定理的应用、角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）以及直角三角形的性质（同角的余角相等）；掌握从全等三角形的结论出发推导边与角的关系，灵活运用勾股定理列方程求解边长，是解题的关键． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识． （1）根据证明三角形全等即可； （2）过点E作于H，利用全等三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，过点E作于H， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 即点E到的距离为． 16．14.5尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 17．滑动的水平距离是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，在和中利用勾股定理解直角三角形是解答本题的． 利用勾股定理先求出滑动前的长，再求出滑动后的长，二者相减即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 18．(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理． （1）利用角平分线的性质得出，然后利用证明三角形全等即可． （2）设，则，，，利用勾股定理先求出的长，进而求出的长，然后再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）设， 由（1）可知 ， ∴，，， ∵在中，， ∴， 即或（舍）， ∴， ∵在中，， 根据勾股定理，， 即， 解得， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $