专题01 有理数的混合运算的五种模型（高效培优专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题01 有理数的混合运算的五种模型 目录 题型一：有理数加减混合运算 1 题型二：有理数乘除混合运算 12 题型三：含乘方的有理数的混合运算 20 题型四：有理数混合运算错题复原问题 26 题型五：有理数的混合运算中的新定义型问题 33 题型一：有理数加减混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据加法交换率和结合律简便计算； （2）根据加法交换率和结合律简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查化简绝对值及有理数的加减混合运算，掌握有理数加减运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再计算加减； （2）先化简绝对值，再利用加法结合律和加法交换律进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用实数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，加法运算律，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． （1）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （2）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （3）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （2）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （3）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可； （4）利用有理数的加减运算法则及运算律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．用简便方法进行运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算法则． （1）利用符号相同的两个数分别结合进行求解； （2）将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解； （3）将分母相同的两个数分别结合为一组进行求解； （4）将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组进行求解． 【详解】（1）（1）解： （符号相同的两个数分别结合为一组） （互为相反数的和为0） ； （2）解： （将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ； （3）解： （将分母相同的两个数分别结合为一组） ； （4）解： （将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.5 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算计算即可； （3）根据有理数的加减混合运算计算即可； （4）根据有理数的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)9 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用有理数加减混合运算法则计算； （2）利用有理数加减混合运算法则计算； （3）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算； （4）把小数化为分数，利用有理数加减混合运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （3）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （4）先化简绝对值可得原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 10．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； （2）先去绝对值，再运用加法交换律和结合律计算即可； （3）运用加法结合律将原式变形后计算即可； （4）先去括号，再运用加法结合律计算即可； （5）将小数统一化成分数，再从左到右进行计算即可； （6）先化简，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （7）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可； （8）先化简并将小数统一化成分数，然后根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 题型二：有理数乘除混合运算 11．计算： (1)． (2)． 【答案】（1）； （2）. 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据多个有理数的乘法法则计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9 (2)－ (3) 【分析】本题考查了有理数乘除加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘除，再运算加减，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （3）先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键． （1）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （2）先把除法转化成乘法，最后计算即可． （3）先算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解：原式 ． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． （1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)20 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)16 (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，四则混合运算； （1）先计算除法运算，再计算乘法运算即可； （2）把除法化为乘法，再计算乘法运算即可； （3）把除法化为乘法，再利用乘法分配律进行简便运算即可； （4）把除法化为乘法，再计算乘法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算； （1）利用运算律进行简便运算即可； （2）先确定运算符号，再把除法化为乘法运算即可； （3）利用分配律先计算乘法运算，再计算加减运算即可； （4）逆用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)100 (2) (3)0 (4) 【分析】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键： （1）按照从左到右的顺序计算即可； （2）将带分数化为假分数，除法化为乘法，再计算乘法； （3）根据0乘以任何数都等于0解答； （4）按照从左到右的顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型三：含乘方的有理数的混合运算 21．计算：． 【答案】 【分析】按照有理数混合运算法则进行计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则：先乘方、再乘除、最后再加减，有括号的先算括号里面的，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算有理数的乘方，再进行括号内减法计算，然后进行乘除计算即可． 【详解】解： ． 23．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算即可． 【详解】解： ． 24．计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． 先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的数，最后根据有理数加减运算法则计算即可； 【详解】解：原式 ． 25．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减即可． 【详解】解：原式 ． 26．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据含乘方和括号的有理数混合运算法则和顺序计算即可． （1）先计算乘方和括号，再计算乘除即可； （2）先计算乘方和括号，再计算乘除，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） 27．计算 (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算有理数的乘方，绝对值，乘法，最后计算加减即可； （2）先计算有理数的乘方，乘除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．计算 (1) (2) 【答案】(1)41 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序和法则，以及乘法运算律是解题的关键 （1）先算乘方，再算括号内的加法，再乘法，最后计算加法即可； （2）先算括号内的乘方，再算括号内的乘除法，然后用乘法分配律展开，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型四：有理数混合运算错题复原问题 31．阅读：计算 解：原式① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处出现了错误：第一处是第 步，错误原因是 ；第二处是 步，错误原因是 ． (2)这个计算题的正确结果应是什么？ 【答案】(1)②；乘除法是同级运算，没有遵循从左往右的运算顺序；③；异号两数相除得负数而不是正数 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法混合计算： （1）根据有理数乘除法计算法则结合解题过程即可得到答案； （2）根据有理数乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一处错误是第②步，原因是乘除法是同级运算，没有遵循从左往右的运算顺序；第二处错误是第③步，原因是异号两数相除得负数而不是正数； （2）解：原式 ． 32．（1）下面是亮亮同学计算一道题的过程： ① ② ③ ①亮亮计算过程从第___________步开始出现错误的；（填序号） ②请你写出正确的计算过程． （2）计算：． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数四则运算法则进行判断即可；根据有理数四则混合运算法则，写出正确的计算工程即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）第①步中运算顺序错误； ②原式 ． （2）解： 原式 ． 33．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 【答案】(1)2 (2)5，过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键． （１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可； （２）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2次错误， 第一次是计算时结果错误，第二次是计算时出现错误， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 34．小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明：一，小红：二 (2)见详解 【分析】本题考查有理数的乘除法，有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）小明的第一步计算和出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小明第一步计算和出现错误，小红的第二步运算顺序出现错误； 故答案为：一，二． （2）解： ． 35．下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程． ……① ……② ．……③ 【答案】错在①②， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据运算法则和运算步骤分析可找出错误的步骤，然后按照正确的运算法则和运算步骤计算即可． 【详解】解：错在①②． 原式． 36．学习情境过程性学习王老师在黑板上展示了下面的试题： 计算： 解：原式……① ……② ……③ (1)上面解题过程中有两处出现了错误，请写出错误步骤的序号___________； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的减法和乘除法可以知道错误步骤的序号； （2）根据有理数的减法和乘除法可以解答本题． 【详解】（1）解：由题目中的式子，可知，故①错误； 第②步应先计算除法，故②错误， 故答案为：①②； （2）解： ． 37．小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式  ……第一步     ……第二步     ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 【答案】(1)二； (2)解答见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和运算法则进行计算． （1）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则判断即可； （2）根据有理数的混合运算的运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】（1）解：小明在第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解：         ． 38．学习情境·过程性纠错 下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 任务1：①第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是：______； ②计算从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务2：请写出正确的计算过程． 【答案】任务1：①除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；②二，异号两数相乘，积的符号确定错误，积应该是负数（答案不唯一）；任务2：见解析 【分析】本题考查有理数的四则混合运算： 任务1：①根据除法法则，除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数，作答即可；②第二步计算中，运算符号出现错误； 任务2：先乘除，再进行加法运算即可． 【详解】解：任务1：①除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数 ②二  异号两数相乘，积的符号确定错误，积应该是负数（答案不唯一） 任务2：原式． 39．阅读下面解答过程． 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上面解题过程存在错误，是从第______步开始错误的； (2)上面解题第二步运算的依据是______； (3)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)有理数的乘法分配律 (3)30 【分析】本题主要查了有理数的混合运算： （1）根据有理数的乘方计算，即可求解； （2）根据有理数的乘法分配律解答，即可求解； （3）根据有理数的混合运算计算步骤计算，即可． 【详解】（1）解：上面解题过程存在错误，是从第一步开始错误的； 故答案为：一 （2）解：上面解题第二步运算的依据是有理数的乘法分配律； 故答案为：有理数的乘法分配律 （3）解： 解：原式 ． 40．在计算 时，小博的解题过程如下： 解：原式 第一步 第二步        第三步 第四步 (1)上面解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号； （2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第二步中利用乘法分配律时第二和第三个数没变号． 故答案为：二； （2）解：原式 ． 题型五：有理数的混合运算中的新定义型问题 41．对于有理数x，y，定义新运算“*”，规定：，如：，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算和有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键． 根据定义先求出，再求即可． 【详解】解：由题意知，， 所以 ． 42．新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【答案】(1) (2)，和， 【分析】本题考查新定义运算，有理数的加减运算，理解“”的运算法则是解题的关键． （1）根据“”的运算法则计算即可； （2）分别列举实例，再推广到一般情况，分和两种情况，令即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 综上可知，当，和，两种条件下，． 43．定义一种新的运算“⊕”，规则如下：． (1)______； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算方式运算求解即可； （2）根据新定义的运算方式运算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 44．小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． （1）根据题意列出算式，然后计算乘法，最后计算加法即可求解； （2）首先计算出，然后代入计算即可． 【详解】（1） ； （2）因为 所以 ． 45．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据有理数的新定义运算计算即可求解； （）根据有理数的新定义运算计算先求出的值，进而求出的值即可； 本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵， ∴． 46．对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)76 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，理解新定义，正确进行有理数混合运算是解题的关键． （1）按新定义表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解； （2）按新定义分步表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，知， 所以的值为8． （2）解：由题意，知， 所以， 所以的值为76． 47．我们定义一种新运算：． (1)________；________；________； (2)求的值． 【答案】(1)7，，9 (2)1 【分析】本题考查有理数新定义的运算，理解新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）先计算，则，根据新定义的运算计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； 故答案为：7，，9 （2）解：∵， ∴ ． 48．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，...... (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得_______，并把绝对值_______；一个数与0相“乘加”等于_______； (2)根据法则计算：_______；________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 【答案】(1)负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． （1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可； （3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可． 【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 49．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 50．【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1）根据除方的概念的运算法则进行计算； （2）根据除方内容结合有理数的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ． 51．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数的混合运算的五种模型 目录 题型一：有理数加减混合运算 1 题型二：有理数乘除混合运算 12 题型三：含乘方的有理数的混合运算 20 题型四：有理数混合运算错题复原问题 26 题型五：有理数的混合运算中的新定义型问题 33 题型一：有理数加减混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．用简便方法进行运算 (1)； (2)； (3)； (4)． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 题型二：有理数乘除混合运算 11．计算： (1)． (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1)； (2)． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算： (1) (2) (3) (4) 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：含乘方的有理数的混合运算 21．计算：． 22．计算： 23．计算： 24．计算：． 25．计算：． 26．计算： (1)； (2)． 27．计算 (1)． (2)； 28．计算： (1)； (2)． 29．计算 (1) (2) 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：有理数混合运算错题复原问题 31．阅读：计算 解：原式① ② ③ 回答： (1)上面解题过程中有两处出现了错误：第一处是第 步，错误原因是 ；第二处是 步，错误原因是 ． (2)这个计算题的正确结果应是什么？ 32．（1）下面是亮亮同学计算一道题的过程： ① ② ③ ①亮亮计算过程从第___________步开始出现错误的；（填序号） ②请你写出正确的计算过程． （2）计算：． 33．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 34．小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 35．下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程． ……① ……② ．……③ 36．学习情境过程性学习王老师在黑板上展示了下面的试题： 计算： 解：原式……① ……② ……③ (1)上面解题过程中有两处出现了错误，请写出错误步骤的序号___________； (2)请写出这个计算题的正确解题步骤． 37．小明做了如下一道有理数混合运算，在检查时发现有错误． 解：原式  ……第一步     ……第二步     ……第三步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答． 38．学习情境·过程性纠错 下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 任务1：①第一步将原式的除法转化为乘法，依据的法则是：______； ②计算从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务2：请写出正确的计算过程． 39．阅读下面解答过程． 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上面解题过程存在错误，是从第______步开始错误的； (2)上面解题第二步运算的依据是______； (3)写出正确的解答过程． 40．在计算 时，小博的解题过程如下： 解：原式 第一步 第二步        第三步 第四步 (1)上面解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你帮小博写出正确的解题过程． 题型五：有理数的混合运算中的新定义型问题 41．对于有理数x，y，定义新运算“*”，规定：，如：，求的值． 42．新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 43．定义一种新的运算“⊕”，规则如下：． (1)______； (2)求的值． 44．小芳在学了《有理数的运算》后，对运算产生了浓厚兴趣．她借助所学知识，定义了一种新运算“”，其规则如下：．根据此定义，解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 45．在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 46．对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 47．我们定义一种新运算：． (1)________；________；________； (2)求的值． 48．对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，...... (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得_______，并把绝对值_______；一个数与0相“乘加”等于_______； (2)根据法则计算：_______；________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 49．数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 50．【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 51．定义新运算：，（等号右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_______（请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．请你计算： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$