专题02 与绝对值的有关的化简的六种模型（高效培优专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题02 与绝对值的有关的化简的六种模型 目录 题型一：已知参数的范围化简绝对值 1 题型二：利用绝对值非负性进行求解 2 题型三：化简含绝对值的多重符号 4 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 6 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 9 题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 15 题型一：已知参数的范围化简绝对值 1.若，则化简 ． 2．若，则 ；当时， ． 3．若，则 ． 4．若，则 ． 5．若，求代数式 ． 题型二：利用绝对值非负性进行求解 6．若，则 ， ． 7．已知，则的相反数的绝对值为 ． 8．若x为有理数，则式子的最小值为 ． 9．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 10．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 题型三：化简含绝对值的多重符号 11．化简： 12．化简：(1) ；(2) ；(3) ． 13．化简下列各数的符号： ； ； ； ． 14．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 15．化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 16．若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示． (1)用“”或“”填空：a______0，b______0； (2)化简． 17．已知在数轴上对应点的位置如图所示，若互为相反数．    (1)判断下列各式与0的大小：①______0；②______0；③______0； (2)化简式子：． 18．已知三个实数、、在数轴上对应的点如图所示． (1)判断正负： 　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0． (2)根据（1）中的判断化简：． 19．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1)a________2，________1，________2；（填“”或“”） (2)化简：． 20．已知有理数、在数轴上对应位置如图： (1)用“”或“”填空： ①；②； (2)比较、、、的大小（用“”把它们连接起来）； (3)化简：． 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 21．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 22．综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． (1)________，________． (2)________，________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 23．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即时， 则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为3或－1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_____________，，则___________，，则___________； (2)三个有理数满足，求的值； (3)若为三个不为0的有理数，且，求的值． 题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得、、三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即，，时，则； ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则 ． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知、是不为0的有理数，当时，则的值是　　； (2)已知、、是有理数，当时，则的值是　　； (3)已知、、是有理数，且，求的值． 26．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 27．[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 28．如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 29．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 30．舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与绝对值的有关的化简的六种模型 目录 题型一：已知参数的范围化简绝对值 1 题型二：利用绝对值非负性进行求解 2 题型三：化简含绝对值的多重符号 4 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 6 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 9 题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 15 题型一：已知参数的范围化简绝对值 1.若，则化简 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性，是解题的关键．根据负数的绝对值是正数，绝对值的非负性进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴； 故答案为：． 2．若，则 ；当时， ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义及化简，由，可得，由绝对值的性质，即可求得的值；由，即可求得的值，又由绝对值的性质，即可求得的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． 故答案为：，5． 3．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 4．若，则 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查绝对值的性质，当时，；当时，，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．由，根据绝对值的性质可得，然后然后合并同类项即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故答案为：4 5．若，求代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义，代数式，解题的关键是掌握绝对值的定义．根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ， 故答案为：1 题型二：利用绝对值非负性进行求解 6．若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】该题考查了绝对值非负性，根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，． 7．已知，则的相反数的绝对值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值．首先根据绝对值的非负性，列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算，再根据相反数和绝对值的定义即可求得． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 则， 的相反数为， 的相反数为． 则的相反数的绝对值为． 故答案为3． 8．若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 9．已知． (1)求与的值； (2)若，求的相反数． 【答案】(1)，； (2)的相反数为或． 【分析】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 10．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 题型三：化简含绝对值的多重符号 11．化简： 【答案】 / 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的化简，根据多重符号的化简方法及绝对值的定义化简即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 12．化简：(1) ；(2) ；(3) ． 【答案】 / 2 【分析】(1)根据多重符号的化简解答即可； (2) 根据多重符号的化简解答即可； (3)根据绝对值的化简解答即可． 本题考查了多重符号的化简，绝对值的化简，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】解：(1)， 故答案为：． (2)， 故答案为：． (3)， 故答案为：2． 13．化简下列各数的符号： ； ； ； ． 【答案】 1.3 3 【分析】此题考查了化简绝对值和多重符号，根据绝对值和相反数的性质求解即可． 【详解】解：；；；． 故答案为：，1.3，3，． 14．化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 15．化简： （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） 【答案】 5 1 4 【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的意义求解各题即可，一个数前面不管有多少个“”，都可以把“”去掉．其次要看“”的个数，当“”的个数为偶数时，结果取“”，当“”的个数为奇数时，结果取“”‌． 【详解】（1）； 故答案为：5； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：1； （5）； 故答案为：； （6）； 故答案为：． 题型四：利用点在数轴上的位置化简绝对值 16．若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示． (1)用“”或“”填空：a______0，b______0； (2)化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了数轴上点的坐标特点，整式加减运算，化简绝对值，解题的关键是根据数轴上点的坐标特点，得出，． （1）根据数轴上点的特点，直接得出答案即可； （2）根据，，去掉绝对值，然后再根据整式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知：，； （2）解：根据数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 17．已知在数轴上对应点的位置如图所示，若互为相反数．    (1)判断下列各式与0的大小：①______0；②______0；③______0； (2)化简式子：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查有数轴上的点表示有理数，利用数轴判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减运算，掌握数轴上的数右边的比左边的大，判断出式子的符号，是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可； （2）先判断式子的符号，再化简绝对值，合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数． ∴， ∵从数轴可得：， ∴． 故答案为： （2）解：∵， 18．已知三个实数、、在数轴上对应的点如图所示． (1)判断正负： 　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0，　　　　　　0． (2)根据（1）中的判断化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了数轴的概念和数轴上点的位置所表示的数的大小关系、绝对值的性质．根据数轴上点的位置判断每个式子的正负性是解题的关键． （1）根据数轴得到后即可判断； （2）由（1）可知道每个式子的正负性，根据其正负性去掉绝对值符号计算即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：， 所以，，，， 故答案为：，，，． （2）解： ． 19．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1)a________2，________1，________2；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)； ； (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴得， ∴，，， 故答案为：， ，； （2）解：由数轴得，，，， ． 20．已知有理数、在数轴上对应位置如图： (1)用“”或“”填空： ①；②； (2)比较、、、的大小（用“”把它们连接起来）； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，以及数轴的性质，熟知有理数大小比较的法则是解答此题的关键． （1）根据数轴和绝对值的意义，可得答案； （2）根据相反数的意义，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （3）根据绝对值的性质，可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可得： ① ；②； 故答案为：； （2）解：因为 所以，的大小关系为：； （3）解：因为 所以 ． 题型五：利用绝对值的性质分类讨论 21．分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则_________0； (2)当时，若，则c_________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的运算法则判断符号，绝对值化简等； （1）由有数乘法法则的，由加法法则，即可判断； （2）由有理数乘法法则，即可判断； （3）当a、b、c均为正数时，去绝对值，化简计算，即可求解；当a、b、c均为负数时，同理可求； 当a、b、c中有两个正数一负数时，同理可求；当a、b，c中有一个正数两个负数时，同理可求． 理解有理数加法、乘法法则，绝对值性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； 故答案：； （2）解：因为，， 所以； 故答案：； （3）解：当a、b、c均为正数时， ； 当a、b、c均为负数时， ； 当a、b、c中有两个正数一负数时，不妨设 ，，， 所以 ； 当a、b，c中有一个正数两个负数时，不妨设 ，，， ． 综上，的值为或． 22．综合与实践 我们知道，在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，．现在请你利用这一思想解决下列问题． (1)________，________． (2)________，________（其中，）． (3)若，试求的所有可能的值． 【答案】(1)1； (2)1或；2或0 (3)，0，4 【分析】本题考查了绝对值的化简，合理选择分类的标准是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法，即得答案； （2）对和分别计算，即得的结果；对和分别计算，即得的结果； （3）分四种情况讨论：①，，；②，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0；③，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0；④当，，三个字母都小于0．根据绝对值的化简方法，即可分别求出结果． 【详解】（1）解：，； 故答案为：1；． （2）解：当时，； 当时，； 当，时，； 当，时，； 故答案为：1或；2或0． （3）解：分以下四种情况： ①当，，时； ②当，，三个字母中有一个小于0，其它两个大于0时， ； ③当，，三个字母中有一个大于0，其它两个小于0时， ； ④当，，三个字母都小于0时， ； 综上所述的所有可能的值为，0，4． 23．阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①都是正数，即时， 则； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为3或－1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_____________，，则___________，，则___________； (2)三个有理数满足，求的值； (3)若为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)1，，2或 (2)或1 (3)1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）根据绝对值的意义化简求解即可； （2）由，可得中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （3）由，可得中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【详解】（1）解：∵，则； ，则； ∵， ∴当，时，则； 当，时，则； 故答案为：1，，2或 （2）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则； 综上所述，值为或1． （3）解：∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 题型六：利用绝对值的几何意义化简绝对值 25．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得、、三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①、、都是正数，即，，时，则； ②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则 ． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知、是不为0的有理数，当时，则的值是　　； (2)已知、、是有理数，当时，则的值是　　； (3)已知、、是有理数，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)1或 (3)1或 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键． （1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． （3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出，，中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】（1）解：，是不为0的有理数，当时，，，或，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：0． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时，则：； ②、、有一个为负数，另两个为正数时，设，，， 则．   综上所述，原式的值为1或． （3），，为三个不为0的有理数，且得，，，． 当、、中只有一个负数，另两个为正数时，设，，， ； 当、、中只有一个正数，另两个为负数时，设，，， ．   综上所述，原式的值为1或．   26．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2)或；， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 27．[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 【答案】(1)2，6，12，0 (2)的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数的点的距离 (3)3 (4)4 【分析】此题主要考查了绝对值的几何意义和应用，解答此题的关键是要明确既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据两点距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：2，6，12，0； （2）解：的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数－1的点的距离； （3）解：为表示数x的点到表示数2与数的点的距离之和，当表示数x的点在表示数2的点与表示数的点之间（包括2与两点）时，式子有最小值，即； （4）解：根据题意可知，为表示数x的点到表示数，4，9的点的距离之和，所以当时，式子有最小值，即． 28．如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 29．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 30．舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 【答案】(1)、，B (2)①甲：；乙：；②千米 (3) (4)， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据与，与之间的距离均为米，米千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解； （4）根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：与，与之间的距离均为米，米千米， 、两点在数轴上所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车在数轴上表示的数为： ， 乙车在数轴上表示的数为：； ②当分钟时， 甲车在数轴上表示的数为：， 乙车在数轴上表示的数为：， 两车的距离：（千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为， 故答案为：； （4）表示数轴上点分别到，，，，，的距离之和， 该式子取得最小值时，应满足的条件是， 当时，取得最小值， 最小值为： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$