专题04 二次函数与不等式（6大题型）（专项训练）高一数学北师大版2019必修第一册

专题04 二次函数与一元二次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的基本性质 题型二、含参数一元二次不等式 题型三、一元二次方程根的分布问题 题型四、一元二次不等式恒成立问题 题型五、一元二次不等式能成立问题（重点） 题型六、一元二次不等式与二次函数综合问题（重点） B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的基本性质 一、单选题 1．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 5．已知关于的不等式，下列结论正确的是（   ）． A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以写为的形式 C．不等式的解集恰为，那么 D．不等式的解集恰为，那么 二、多选题 6．函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型二、含参数一元二次不等式 一、单选题 1．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 3．已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 二、多选题 4．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 5．下列选项中，正确的是（    ） A．若，，则， B．若不等式的解集为，则 C．函数（且）的图象恒过定点 D．若，，且，则的最小值为9 6．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 题型三、一元二次方程根的分布问题 一、单选题 1．若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 3．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 4．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（    ） A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} 5．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 三、填空题 7．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 8．关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 题型四、一元二次不等式恒成立问题 一、多选题 1．下列说法正确的有（   ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 2．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．时，解集为 B．时，解集为 C．时，解集为 D．时，原不等式在时恒成立 二、填空题 3．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 4．（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 5．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 6．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 7．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 三、解答题 8．已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 9．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，若对于恒成立，求的取值范围. 题型五、一元二次不等式能成立问题（重点） 一、单选题 1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”.若为定义在上的“有点奇函数”，则的取值范围是 . 三、解答题 4．已知二次函数满足. (1)求的解析式. (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记. ①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 5．已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 题型六、一元二次不等式与二次函数综合问题（重点） 一、单选题 1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知不等式，下列说法正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数的取值集合为 D．若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、解答题 6．已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 7．设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 9．若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 三、解答题 10．已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 11．设，． (1)若，函数的定义域为，求函数的值域； (2)若函数的定义域为，且关于的不等式有正数解，求的取值范围； (3)若函数的定义域为，且使得关于的不等式成立的任意一个，都满足不等式，求的取值范围． 12．已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数与一元二次不等式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、二次函数的基本性质 题型二、含参数一元二次不等式 题型三、一元二次方程根的分布问题 题型四、一元二次不等式恒成立问题 题型五、一元二次不等式能成立问题（重点） 题型六、一元二次不等式与二次函数综合问题（重点） B综合攻坚・能力跃升 题型一、二次函数的基本性质 一、单选题 1．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确.故选：D. 2．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数图象开口方向、对称轴方程以及、处的函数值符号可判断①②③④的正误，即可得出结论. 【详解】二次函数的图象开口向下，则， 对称轴为直线，可得， 当时，，所以，，①错；，②对； 当时，，③对；，④错. 所以，①④错误，②③正确. 故选：B. 3．若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】分析可知于的方程的两根为、，可得出，从而得出，再由可求得的值，即可得解. 【详解】解：由图象可知，函数的定义域为且， 则关于的方程的两根为、，则， 由韦达定理可得，则，则， 因为，解得，则，，故选：B. 4．已知函数的定义域和值域都为，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】求出得对称轴为，可得在上单调递减，解方程组即可求解. 【详解】的对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减， 因为在上的值域为， 所以，整理可得：， 解得或（舍），将代入可得，解得，故选：C. 5．已知关于的不等式，下列结论正确的是（   ）． A．当时，不等式的解集非空 B．当时，不等式的解集可以写为的形式 C．不等式的解集恰为，那么 D．不等式的解集恰为，那么 【答案】D 【详解】令，则． 选项A：因为，所以，所以的解集为，故A错误； 选项B：在同一平面直角坐标系中作出函数的图象以及直线、直线.由图可知，当时，不等式的解集为的形式，故B错误；选项C：由不等式的解集恰为，可知，即，因此，.当时，解得或. 当时，，解得或，不满足，不符合题意，故C错误； 选项D：当时，，解得或，满足，此时，故D正确.故选：D.    二、多选题 6．函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】令，得.令，得或，则函数与在轴上有公共点，排除B. 当时，，抛物线开口向上，直线过一二三象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致， A选项可能. 当，时，，抛物线开口向下，直线过一二四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，C选项可能. 当时，，抛物线开口向下，直线过二三四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，D选项可能.故选：ACD 题型二、含参数一元二次不等式 一、单选题 1．若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 2．已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 3．已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数，恒成立问题结合二次函数的性质列式求的取值范围，即可得结果. 【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，，且， 所以，解得， 不等式，即为， 故不等式对恒成立， ∵二次函数的对称轴为，则有： ①，解得；或②，无解； 综上所述：，所以实数的最大值为． 故选： 二、多选题 4．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误； 对于B，由已知得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理得，解得， 对于不等式，即化为，解得，故B正确； 对于C，可得，故C错误； 对于D，对于不等式，可化为， 而，则化为，解得，故D正确． 故选：BD 5．下列选项中，正确的是（    ） A．若，，则， B．若不等式的解集为，则 C．函数（且）的图象恒过定点 D．若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【详解】对于A，若，，则，，故A正确； 对于B，因为不等式的解集为， 所以且和是一元二次方程的两个根， 所以，故，故B错误； 对于C，因为，所以函数（且）的图象恒过定点，故C错误； 对于D，若，，且， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以若，，且，则的最小值为9，故D正确. 故选：AD. 6．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 题型三、一元二次方程根的分布问题 一、单选题 1．若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意将问题转化为利用二次函数零点的分布，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，是关于x的方程的解，且满足， 所以在上有两个零点， 所以，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：D. 2．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 3．已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可. 【详解】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 二、多选题 4．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（    ） A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} 【答案】BCD 【分析】根据二次方程根与系数的关系和充要条件和必要条件的定义，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是，解得，A错误； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是，解得，B正确； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是，解得，C正确； 方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的充要条件是，解得， ，故必要条件是m∈{m|m>1}，故D正确. 故选：BCD. 5．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系判断AD，结合二次函数性质判断BC. 【详解】由题意可得， 即，即有， 即，故A正确､D错误； 令，其根为， 结合二次函数性质可得， 即，故B､C正确. 故选：ABC. 6．已知关于的方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 B．方程无实数根的一个必要条件是或 C．方程有两个正根的充要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】BC 【分析】由一元二次方程根的分布逐项判断即可. 【详解】对于A:当时，方程为：解得：，只有一根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则解得：或，故B正确； 对于C：方程有两个正根等价于解得：，故C正确； 对于D：当时，方程为：，方程无解，故D错误. 故选：BC 三、填空题 7．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的整数解恰有3个，先确定且有得出，再用表示出不等式解集为，可以确定，故三个整数解为，从而可列出另一个端点的取值范围为 ，从而解得的范围. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有3个，则有且有，故有， 令即得， ， 故不等式的解集为， 因为，所以 所以解集中一定恰有三个整数 ，可得，解得. 故答案为： 题型四、一元二次不等式恒成立问题 一、多选题 1．下列说法正确的有（   ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】ABC 【详解】A.当时，恒成立， 当时，，解得， 综上得，k的取值范围是，选项A正确. B．由得， 由得，，在上恒成立，故，即实数k的取值范围是，选项B正确. C.由题意得，恒成立，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项C正确. D. 由题意得，，即， 由（当且仅当时取等号）可知， 故实数a的取值范围是，选项D错误. 故选：ABC. 2．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．时，解集为 B．时，解集为 C．时，解集为 D．时，原不等式在时恒成立 【答案】BD 【分析】根据一元二次不等式的解法判断ABC；利用二次函数的性质判断D. 【详解】时，不等式为，即，解得，解集为，故A错误； 不等式可化为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 故B正确，C错误； 令，对称轴为， 当时，， 又时，， 所以，即不等式在时恒成立，故D正确． 故选：BD． 二、填空题 3．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 故答案为：（1），（2）. 5．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 6．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】法1，分类讨论求出二次函数在上的最小值，进而求出的范围；法2，按分段，分离参数求出最值即可求出的范围. 【详解】解法1：设，，则， （ⅰ）当，即时，，解得，无解； （ⅱ）当，即时，，解得2，则； （ⅲ）当，即时，，解得，则， 所以实数的取值范围为． 解法2：若对任意，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为.故答案为：. 三、解答题 8．已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为． (2)． 【分析】（1）根据二次函数的性质和条件，即可联立方程求解； （2）利用分离参数法，结合二次函数性质，即可求解恒成立问题. 【详解】（1）由题意知， 解得，所以， 由知， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 由，知在区间上是减函数， 则，所以， 即的取值范围是． 9．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)当时，若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析(2) 【详解】（1）不等式， 令，则，即， 即，即， 当时，，解得，所以，解得且； 当时，，的解为或， 所以或，解得或； 当时，，的解为或， 所以或，解得或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立 题型五、一元二次不等式能成立问题（重点） 一、单选题 1．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得，故选：A 2．已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得，所以的取值范围是，故选：C. 二、填空题 3．若在定义域内存在实数，满足，则称为“有点奇函数”.若为定义在上的“有点奇函数”，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意，为定义域上的“有点奇函数”，即在上有解. 即在上有解. 即在上有解. 即在上有解. 设（当且仅当时等号成立） 也即在上有解. 即在上有解. 设，则的取值范围即当，的值域. 由对勾函数性质可得在单调递增，故，且当， 故当，的值域为. 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 4．已知二次函数满足. (1)求的解析式. (2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围. (3)记. ①当的定义域为时，值域为，求实数c的取值范围； ②若，设函数在区间上的最小值为，求的表达式. 【答案】(1)(2)(3)① ② 【详解】（1）因为二次函数满足，所以可设， 又，所以，解得，故. （2）由(1)知等价于， 因为存在，使得成立，所以. 令，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以，故.故实数m的取值范围是. （3）①，显然在上单调递增， 依题意可得，即是方程的两个互异的正根， 故，即，故实数c的取值范围是. ②若，则. 当时，在上单调递增，所以； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减， 所以.综上， 5．已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；(2)；(3). 【详解】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即，所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式，因为， 所以在单调递增，所以. 因为，所以当，即时，在单调递增， 所以，则成立，故； 当，即时，，由得，所以； 当，即时，，由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 题型六、一元二次不等式与二次函数综合问题（重点） 一、单选题 1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 2．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 3．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 二、多选题 4．已知函数，若存在使得，则a的范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】若存在使得，即函数的对称轴在即可求解. 【详解】若存在使得，所以函数的对称轴在即可， 由的对称轴为，所以，所以满足是的子区间即可，故AD错误，BC正确， 故选：BC. 5．已知不等式，下列说法正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数的取值集合为 D．若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】先因式分解得到二次函数的两点式，代入，即可得，从而可判断A选项；根据得出，从而可直接解，即可判断B选项；分与讨论，当时，转化为含参二次不等式恒成立问题，写出等价条件，解不等式组即可判断C选项；分与讨论，即可判断D选项. 【详解】， 对于A，若，恒成立，所以的解集为，故A正确； 对于B，若，则，的解集为，故B正确； 对于C，恒成立，即， 当时，等价于 解不等式组得，所以整数的取值为， 当时，恒成立，满足题意. 综上所述，整数的取值为，故C错误； 对于D，当时，的解集为， 易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去. 当时，的解集为， 若该解集中恰有两个整数解，则，解得. 综上，实数的取值范围是，故D正确 故选：ABD 三、解答题 6．已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）通过移项、整理，转化为标准的一元二次不等式形式，再对这个一元二次不等式对应的一元二次方程求根，再根据这个一元二次不等式对应的二次函数的图象性质（开口方向、根的大小关系）来确定不等式的解集. （2）将不等式转化为小于等于一个关于的函数的形式，整理这个关于的函数的形式，利用基本不等式求出其最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）由， 得， 令， 可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为，可得． 因为，得，所以，即. 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是. 7．设函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，且都有， ①求的最大值； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解； (2) ①根据题意可得函数关于直线对称，利用二次函数的对称轴得出，再结合基本不等式即可求解. ②通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）依题意可知：和是方程的两根，且抛物线的开口方向向下， ∴且 ∴, ∴, ∴； （2）①由知关于直线对称， 即 又∵， 当且仅当时等号成立. ∴的最大值为 ②由①，可得：， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以. 又若，， 综上实数的取值范围. 一、单选题 1．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】方程，即，设方程的两根分别为， 由韦达定理可得，， 即点在第三象限. 故选：C 2．关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式化为，讨论和两种情况，求出不等式的解集，从而求得的取值范围． 【详解】原不等式可化为， 若，则不等式的解集是，不等式的解集中不可能有个正整数； 所以，不等式的解集是；所以不等式的解集中个正整数分别是，，，， 令，解得,所以的取值范围是． 故选：B． 3．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 4．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类时，分别得出解析计算求参. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 5．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 6．已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用基本不等式求最值，再解一元二次不等式即可. 【详解】对任意的，， 因为，令，， 因为，当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 因为恒成立，所以，即，解得：， 故选：D. 二、多选题 7．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由韦达定理得根与系数的关系，对选项逐一判断即可得. 【详解】由题意可得，且， 则，，即，故A、B正确； 由，，故，， 即，， 又，，故，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 8．已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得，再利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由题意知不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，所以，， 所以，故A正确； 因为，，所以，即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故B正确； 因为，所以， 所以， 当，时，的最小值为5，故C不正确； 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故D不正确； 故选：AB. 9．若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】BC 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以，故的值可以是和， 故选：BC 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 三、解答题 10．已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3)4 【分析】（1）分和，根据方程只有1解求的值. （2）先根据已知不等式的解集求的值，再解一元二次不等式. （3）确定的关系，利用基本不等式求的最小值. 【详解】（1）问题转化为：方程有且只有1解，求实数的值. 当时，方程可化为：.方程有且只有1解； 当时，方程有且只有1解，所以. 综上可知：或. 所以实数的集合为：. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以. 所以不等式即为：， 所以或. 所以所求不等式的解集为：或. （3）由题意：，即. 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为：4. 11．设，． (1)若，函数的定义域为，求函数的值域； (2)若函数的定义域为，且关于的不等式有正数解，求的取值范围； (3)若函数的定义域为，且使得关于的不等式成立的任意一个，都满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别将代入求值，得到值域； （2）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，得到的取值范围； （3）对含参一元二次不等式依据两根的大小分类讨论，由集合的包含关系求得的取值范围． 【详解】（1）时，， 因为，， ，， 所以值域是. （2），令得或， 因为的图象是开口向上的抛物线， 要使得关于的不等式有正数解， 则要求，解得，所以的取值范围是. （3），令得或， 由得， 要使得关于的不等式成立的任意一个，都满足不等式， 则， 当即时，由得，所以成立，符合题意； 当即时，由得，所以成立，符合题意； 当即时，由得， 由得，所以， 综上，的取值范围是. 12．已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）已知，把代入函数，将函数化为顶点式，因为完全平方项非负，所以能得出函数最小值，进而确定值域. （2）先把化简为，通过求判别式，根据取值不同分情况讨论.当，求出对应方程两根，得到不等式解集；当，不等式解集为；当，求出对应方程根，得到不等式解集. （3）先确定对称轴，结合范围得出值域，已知值域.根据是的子集，列出不等式组求解，再结合确定范围. 【详解】（1）当时， 所以 （2） ，得，时，对应方程的两根为 当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为          综上：当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （3）当，的对称轴方程为， 由图可知，的值域为； 当时，的值域为； 又因，使得，则， 所以，得，又，所以 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $