专题01 一元二次函数、方程和不等式全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

专题01 一元二次函数、方程和不等式全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 利用不等式的性质判断正误 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京·阶段练习）已知，，那么下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 4．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）设为实数，且，则下列不等式不正确的有 . ①      ②      ③       ④ 5．（24-25高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 题型2 利用作差法、作商法比较大小 6．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知，则M与N的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 9．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 10．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型3 利用不等式的性质求取值范围 11．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 12．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·江苏·期中）已知，，则的取值范围是 . 15．（25-26高一上·河北·阶段练习）已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 题型4 由基本不等式比较大小 16．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 20．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 题型5 利用基本不等式求最值 21．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 22．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 23．（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 24．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，且，则的最小值是 ． 25．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 题型6 利用基本不等式证明不等式 26．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 29．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 30．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 题型7 基本不等式的恒成立问题 31．（25-26高一上·江西赣州·阶段练习）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 33．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 34．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 35．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型8 一元二次不等式的解法 36．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 37．（25-26高一上·全国·期中）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 38．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 39．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为 ． 40．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)求关于的不等式的解集． 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（25-26高一上·辽宁·阶段练习）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（   ） A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 44．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有6个整数解，则实数的取值范围是 ． 45．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 题型10 二次函数的图象分析与判断 46．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   47．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 48．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 49．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 50．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数． (1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）； (2)求不等式的解集． 题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题 51．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 55．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 59．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    60．（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次函数、方程和不等式全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 利用不等式的性质判断正误 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】举例说明判断A；利用不等式性质推理判断B；利用作差法判断CD. 【解答过程】对于A，取，则，A错误； 对于B，由，得，则，而，因此，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·北京·阶段练习）已知，，那么下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据已知条件，，利用不等式的基本性质来逐一分析每个选项. 【解答过程】因为，，那么，所以，故A选项一定成立； 仅知道，，但是不能确定和的大小关系， 例如，时，，当，时，，故B选项不一定成立； 由于，，所以 且 ，所以 一定成立，故C选项一定成立； 因为，，则，，所以一定成立，故D选项一定成立. 故选：B. 3．（25-26高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】对于A，取，可得，由此判断A，对于B，先求的范围，利用不等式的可加性求的范围，判断B，对于C，由不等式性质可得，利用不等式的性质证明，判断C，对于D，先证明，由此证明，判断D. 【解答过程】对于A，取，由，可得，A错误， 对于B，因为，故，又， 所以，B正确， 对于C，因为，所以， 所以，又， 所以，C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，D正确， 故选：A. 4．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）设为实数，且，则下列不等式不正确的有 . ①      ②      ③       ④ 【答案】②③④ 【解题思路】利用不等式的基本性质可证得①正确，利用赋值法举反例可说明②③④错误. 【解答过程】对于①，，且，，即，故①正确； 对于②③，由，取， 则，此时，故②错误； 则，此时，故③错误； 对于④，由，取， 则，此时，故④错误. 故答案为：②③④. 5．（24-25高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【解题思路】（1）取即可判断， （2）根据不等式的性质即可求解， （3）（4）举反例即可求解. 【解答过程】（1）若，当时，则；故为假命题； （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题； （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题； （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题. 题型2 利用作差法、作商法比较大小 6．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知，则M与N的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用作差法比较大小. 【解答过程】依题意，， 所以. 故选：C. 7．（2025·山西晋城·一模）若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 8．（24-25高一上·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【解答过程】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 9．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，则与的大小关系为 . 【答案】 【解题思路】利用作差法判断大小即可. 【解答过程】， 因为，， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【解题思路】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【解答过程】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型3 利用不等式的性质求取值范围 11．（25-26高一上·江西·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质待定系数计算即可． 【解答过程】设， 则，解得． 因为，， 所以，， 所以． 故选：D. 12．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题意得，进而求得即可求解. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 13．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，得到，求得，得到，即可求解. 【解答过程】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 14．（25-26高一上·江苏·期中）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】因为，再利用不等式的性质即可求出的取值范围． 【解答过程】因为，，， 所以，，， 故的取值范围是， 故答案为：. 15．（25-26高一上·河北·阶段练习）已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据不等式的性质即可求得答案； （3）设，解方程组可求得的值，再结合不等式性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）由于， 将两不等式相加可得； （2）由，得， 结合，可得， 即； （3）设， 则，解得， 故， 由于，故， 故， 即. 题型4 由基本不等式比较大小 16．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【解答过程】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 17．（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【解答过程】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 18．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【解题思路】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【解答过程】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C. 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【解题思路】利用基本不等式即可比较, 【解答过程】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为：. 20．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡.最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ (2)如果售货员又将的砝码放在天平左盘中，然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡，请问要使得三次黄金质量总和最小，商家应该将左臂长和右臂长之比设置为多少？请说明理由. 【答案】(1)大于，理由见解析； (2)，理由见解析. 【解题思路】（1）设出天平左右两臂长，及两次放的黄金克数，利用杠杆平衡原理及基本不等式计算即得. （2）设出第三次放的黄金克数，利用（1）的信息结合基本不等式计算得解. 【解答过程】（1）设天平左臂长为，右臂长为，第一次放的黄金为，第二次为， 则，，两式相除可得，，化简得， 于是顾客所得黄金为，当且仅当时取等号， 又，若，则；若，则，即，有， 所以顾客购得的黄金大于. （2）设第三次放的黄金为，则，而，则有， 因此三次黄金质量总和为， 当且仅当，，时取到等号， 所以当时，三次黄金质量总和最小. 题型5 利用基本不等式求最值 21．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【解题思路】利用乘“1”法即可求出最值. 【解答过程】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 22．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 故选：D. 23．（24-25高一上·天津静海·阶段练习）已知、均为正实数，且，则下列错误的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】B 【解题思路】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设,，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【解答过程】对于A选项，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最大值为，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以，的最小值为，C对； 对于D选项， ， 设，，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，D对. 故选：B. 24．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为. 【解答过程】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 25．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【解答过程】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 题型6 利用基本不等式证明不等式 26．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式依次判断选项即可. 【解答过程】A. ∵（当且仅当时取等号）， ∴，当且仅当且时取等号. 选项A正确. B. ，当且仅当即时取等号. 选项B正确. C. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项C正确. D. ∵（当且仅当时取等号）， ∴. 选项D错误. 故选：D. 27．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性. 【解答过程】取，，此时，， 满足，此时不成立； 当时，因为， 所以， 所以， 所以， 即， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 28．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解答过程】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 29．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 30．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解题思路】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【解答过程】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 题型7 基本不等式的恒成立问题 31．（25-26高一上·江西赣州·阶段练习）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】参变分离，利用基本不等式求的最大值即可. 【解答过程】不等式恒成立， 即， 因，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故． 故选：C． 32．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【解题思路】由题意可得，求得即可. 【解答过程】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 33．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【解答过程】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 34．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【解答过程】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 35．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 题型8 一元二次不等式的解法 36．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，则，解得或， 则不等式的解集是或. 故选：D. 37．（25-26高一上·全国·期中）不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先将不等式变形为，根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】原不等式可化为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 38．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答过程】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 39．（25-26高一上·福建龙岩·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】借助一元二次不等式解法计算即可得. 【解答过程】因为，方程的两根为，，显然， 所以原不等式的解集为 故答案为：. 40．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析． 【解题思路】(1) 化为，得，即可求解； (2) 化为，即可求解； (3) 变形为，再分，，，，五种情况解不等式即可． 【解答过程】（1）由，得， 得，得， 解得， 故不等式的解集为： （2）由得，， 解得或， 故不等式的解集为：． （3）不等式， 即， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，，解得； 当时，解得； 当时，，解得； 当时，解得或． 综上可得：当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为． 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（25-26高一上·辽宁·阶段练习）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将原不等式因式分解后可得，计算即可得. 【解答过程】化简可得， 由该不等式有且只有两个整数解，可得两个整数解必为1和2， 则有 ，解得. 故选：A. 42．（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【解答过程】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 43．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（   ） A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D 【解题思路】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【解答过程】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误. 故选：D. 44．（25-26高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有6个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用三个二次关系计算参数，再含参解不等式，结合条件计算即可. 【解答过程】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和3， 则，得， 所以不等式等价于， 即， 又，则，解得， 因为关于的不等式有且仅有6个整数解， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 45．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为，且， 所以恒成立，且的两根为1，2. 故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 题型10 二次函数的图象分析与判断 46．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 47．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D. 48．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据图象结合一元二次方程的性质和函数的平移变换逐项判断即可. 【解答过程】由二次函数图象可知， 开口向下，则，对称轴解得，当时，， 所以，①说法错误； 由函数图象可知当时，，即，②说法错误； 将的函数图象向下平移4个单位得到的图象， 所以有两个相等的实数根，③说法正确； 由函数的对称性可知的两个根为，， 将的函数图象向右平移1个单位得到的图象， 所以方程的两根是，，④说法正确； 综上③④正确， 故选：B. 49．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【答案】(1)； (2)作图见解析，． 【解题思路】（1）由，列方程求出，可得函数的解析式； （2）由二次函数的图象特征，作出函数图象，根据图象求值域． 【解答过程】（1）二次函数满足， 则有，解得， 所以. （2）函数的定义域为，函数图象如图所示，    由函数图象可知，函数的值域为. 50．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数． (1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)图像见解析， (2) 【解题思路】（1）利用二次函数的画法画出图像即可 （2）结合图像解不等式. 【解答过程】（1）由二次函数，即的图像如图所示： 由图像，可知． 注意：图像应体现关键点，，，． （2）∵不等式， ∴当时，，由图像可知，； 当时，，由图像可，； ∴不等式的解集为． 题型11 一元二次不等式恒成立、有解问题 51．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 52．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【解答过程】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 53．（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【解答过程】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 54．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】变形得到在上恒成立，由基本不等式求出，得到. 【解答过程】， 因为，所以问题等价于在上恒成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为：. 55．（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知函数，． (1)当时，解不等式； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可； （2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得； （3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可. 【解答过程】（1）当时，即， 所以，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. （2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以即， 所以实数的取值范围是. （3）因为对，，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增， 所以. 因为， 所以当，即时，在单调递增， 所以， 则成立，故； 当，即时，， 由得，所以； 当，即时，， 由得，所以. 综上所述，实数的取值范围是. 题型12 一元二次不等式的实际应用 56．（2025高一上·全国·专题练习）某企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加．要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员的人数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题知调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，再列出不等式，解不等式即可. 【解答过程】依题意得，调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则有， 化简整理得，解得． 因为，且，所以． 故选：A. 57．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 58．（24-25高一上·北京·阶段练习）某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设米，表示出绿地面积，根据不等式求的长度范围. 【解答过程】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是. 故选：B. 59．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    【答案】 【解题思路】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可； 【解答过程】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则 ， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 60．（24-25高一上·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【解答过程】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $