精品解析：安徽省 六安市轻工中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024～2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各数属于勾股数的是（ ） A. 1.5、2、2.5 B. 6、8、10 C. 3、4、6 D. 、、 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 正六边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）． A. 7米 B. 8米 C. 9米 D. 12米 8. 如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（ ）． A. B. C. D. 9. 一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E是上一点，，，P是上一动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分） 11. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 12. 当时，式子的值为______． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 14. 如图，将矩形绕点A旋转，得到矩形，使C，E，F在一条直线上，已知，．请完成下列填空： （1）线段的长是__________． （2）若的延长线交于H，则__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求的值． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）在格点上找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，请画出这个四边形ABCD． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ 20. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了如下统计图： 解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空_________； （2）所抽取的数据中，众数是_________；中位数_________． （3）该校八年级学生有1200名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为多少？ 22. 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． （1）如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； （2）如图2，延长交于点F，连接，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项，不符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算可判断A，根据二次根式的除法运算可判断B，根据二次根式的性质化简可判断C，根据二次根式的乘法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，乘法与除法运算，二次根式的化简，熟记运算法则是解本题的关键． 3. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， ， 故选：B． 4. 下列各数属于勾股数的是（ ） A. 1.5、2、2.5 B. 6、8、10 C. 3、4、6 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】首先勾股数是正数，其次三个数满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，由此判断即可． 本题考查的是勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解： A．因为不是整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意． B．6、8、10都是整数，且，因此6、8、10是勾股数，故本选项符合题意． C．3、4、6都是整数，但，因此3、4、6不是勾股数，故本选项不符合题意． D．因为、、不一定是整数，所以不一定是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 故选：． 6. 正六边形的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解正六边形的一个外角，再利用邻补角的含义求解其一个内角即可． 【详解】解：∵正六边形的每一个外角的度数是， ∴正六边形的每一个内角的度数是； 故选B 【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角的综合应用，熟记正多边形的每一个外角都相等，每一个内角都相等是解本题的关键． 7. 如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）． A. 7米 B. 8米 C. 9米 D. 12米 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度． 【详解】解：由题意可知，AB=4，BC=3 ∴在Rt△ABC中， ∴木杆在折断前的高度为4+5=9米 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，正确理解题意进行计算是解题关键． 8. 如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． 故选：D． 9. 一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得，，再把代入即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，而， ∴， 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的含义，因式分解的应用，熟记方程有两个相等的实数根时，则是解本题的关键． 10. 如图，在正方形中，E是上一点，，，P是上一动点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，设交于H，先根据正方形的性质和线段之间的关系得到，再根据正方形的对称性得到，进而推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P是上一动点， ∴由正方形的对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为10， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线确定当三点共线时，最小，即最小，最小值为是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分） 11. 比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”） 【答案】＞． 【解析】 【分析】先求出3=，再比较即可． 【详解】∵32=9＜10， ∴＞3， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法． 12. 当时，式子的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，配方的应用，由得，然后把代入即可求解，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由， 当时， 原式， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据方程有实数根可得，解不等式即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 14. 如图，将矩形绕点A旋转，得到矩形，使C，E，F在一条直线上，已知，．请完成下列填空： （1）线段的长是__________． （2）若的延长线交于H，则__________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理先求解，再求解即可； （2）证明，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 而，， ∴， ∵由旋转可得：，， ∴． 故答案为：3； （2）连接． ∵， 结合旋转可得：，，， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，先根据二次根式的除法，二次根式的性质进行计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： 或， ∴，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 18. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）在格点上找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，请画出这个四边形ABCD． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理进行证明； （2）根据由平行四边形的判定画图即可 【小问1详解】 由图形知：，，， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 如图所示，四边形ABCD就是所求作的平行四边形． 【点睛】此题考查直角三角形的判定和性质、特殊四边形的判定及作图能力，综合性较强． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）当每件盈利50元时，每天可销售多少件？ （2）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？ 【答案】（1）当每件盈利50元时，每天可销售60件 （2）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元 【解析】 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可． 【小问1详解】 解：当每件盈利50元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利50元时，每天可销售60件； 【小问2详解】 设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的长． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ∴； ∵，， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键； （1）由平行四边形的性质得，再结合，，即可证明； （2）由平行四边形的性质得；由平分，得，由（1）知，则，可得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在平行四边形中，； ∵平分， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某校八年级学生开展“不忘初心，奋进新时代”主题读书活动，为了解主题活动开展的情况，随机抽取了一部分学生在活动中读书的数量进行了统计，绘制了如下统计图： 解答下列问题： （1）补全条形统计图，并填空_________； （2）所抽取的数据中，众数是_________；中位数_________． （3）该校八年级学生有1200名，请你估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为多少？ 【答案】（1） 补全图形如下： ． 35 （2）众数为3本，中位数为3本； （3）估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有780人． 【解析】 【分析】（1）根据2本的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以读4本人数所占的百分比求出读4本的人数；用整体1减去其它读书量所占的百分比求出读3本书所占的百分比，从而补全统计图； （2）根据众数的定义求出本次所抽取的数据的众数即可；根据中位数的定义即可得出答案； （3）用八年级的总人数乘以“读书量”不少于3本的学生人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：读4本的人数有： （人）， 读3本的人数所占的百分比是， ∴； 【小问2详解】 根据统计图可知众数为3本， 由总数据为，排在第30个，第31个数据分别为3，3， ∴中位数为：（本）， 【小问3详解】 根据题意得： （人）， 答：估算此次主题读书活动中，读书的数量不少于3本的学生数为有780人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．中位数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22. 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答． （2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 八、（本题满分14分） 23. 在正方形中，E为上动点，连接，A和关于对称，连接交于点G，连接，如图所示． （1）如图1，当B、、D共线时， ①若时，求的长； ②若，求的长； （2）如图2，延长交于点F，连接，求证． 【答案】（1）①；② （2） 证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵四边形, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，根据勾股定理求解即可；②根据正方形的性质得到，根据轴对称的性质得到垂直平分，易证，由全等三角形的性质可得，求得，再根据勾股定理求得的长即可； （2）由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到求得，即，最后根据邻补角求解即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴，, ∵A和关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：或（不合题意舍弃）． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $