精品解析：广西南宁市第三中学2024-2025学年八年级下学期数学期末考试

2024−2025学年度春季学期期末义务教育质量监测 八年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共35分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，由此结合选项可得出答案． 【详解】解：A、被开方数是小数，故A不符合题意； B、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式，故B符合题意； C、可以进行分母有理化，故C不符合题意； D、被开方数含开得尽的因数，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式． 3. 如图，是菱形的对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， 故选：B． 4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，，3 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理． 根据勾股定理逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、， 不能构成直角三角形，故不符合题意； B、， 不能构成直角三角形，故不符合题意； C、， 能构成直角三角形，故符合题意； D、， 不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 5. 在下列函数中是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是一次函数，不是正比例函数； B、，是一次函数，不是正比例函数； C、，是正比例函数； D、，是二次函数，不是正比例函数； 故选C． 【点睛】本题考查正比例函数的识别．熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键． 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，再进一步判断图象经过的象限即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限． ∴B符合题意． 7. “体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”．某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知九（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，则该班的最终得分为（ ） A. 7.5分 B. 8分 C. 8.1分 D. 8.5分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数，理解题意是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式，列出算式，计算即可求解． 【详解】解 ：（分）， 故选：C． 8. 如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． 9. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解题关键是掌握中位线定理．先根据中位线定理得出，再由此判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴点从点向点的运动的过程中，的值先减小再增加， ∴的值先减小再增加． 故选：D． 10. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步，再根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设该长方形的对角线为步，则该长方形的宽为步， 由勾股定理得， 故选：B． 11. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 12. 如图，在等边中，点在上，且，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由于将线段绕点O逆时针旋转得到线段，当点D恰好落在上时，易得：，根据旋转的性质可以得到，由此可以求出的长．过P作于H，根据含30度角的直角三角形的性质求得可得H与O重合，则利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，当点D恰好落在上时，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴． 过P作于H，则，， ∴，又， ∴H与O重合，即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，关键在于熟练运用基础知识． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 14. 如图，在数轴上，且，若以O为圆心，为半径画弧，则交点C表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，．则的长为____ 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．根据菱形的性质得出，，，求出，根据求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故答案为：10． 16. 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质及题意易得，则有是等边三角形，进而可得；设，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得可得，则求得，，进而求得，根据对称性得到，当、Q、E共线时取等号，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，，， ∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕， ∴，，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， 则在中，， ∴， ∴， ∵在中，，又 ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵点Q是折痕上的一个动点，点A与点关于对称， ∴连接，则， ∴，当、Q、E共线时取等号，此时点Q在N处， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及二次根式的运算、含30度角的直角三角形的性质、最短路径问题，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最短路径是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的加减运算． （1）把二次根式化简成最简二次根式，再合并即可； （2）利用有理数的运算法则和二次根式的除法运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中： （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为E，交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由（1）可知：直线为的垂直平分线，得出，在中，得出，．根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图，直线，线段即为所作图形； 【小问2详解】 解：由（1）可知：直线为的垂直平分线， ， 在中，，， ，． ． 19. 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）下面给出了部分抽取的信息： 对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85． 对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表： 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 a 96.6 对甲款机器人的满意度评分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？ 【答案】（1）85， （2）甲款机器人的满意度更好，理由见解析 （3）估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有400人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、运用方差做决策、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据众数的定义、扇形统计图求解即可得； （2）运用平均数、中位数与众数、方差做决策即可得； （3）利用800分别乘以甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的人数所占百分比，再相加求和即可得． 【小问1详解】 解：乙款机器人的评分数据中，85出现的次数最多， 所以其众数， ， 所以， 故答案为：85，； 【小问2详解】 解：甲款机器人的满意度更好，理由如下： 因为两款机器人的平均数相等，但甲款机器人的中位数和众数更高，且方差更小，所以甲款机器人的评分分布更集中，整体满意度更好． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有400人． 20. 如图，直线与直线相交于点． （1）求a的值． （2）直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． （3）直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，再结合图象解不等式． （1）将代入，得出； （2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据函数的图象确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将代入， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵，∴， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， 又∵， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：根据函数图象可得不等式的解集为． 21. 如图，莲花湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． （1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； （2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积； （3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【答案】（1）米 （2）平方米 （3）7020元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，计算两个直角三角形面积即可解决问题 （3）根据总价单价面积 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得： （米）． 【小问2详解】 在中，∵， ∴． ∴ （米2）． 【小问3详解】 购买草坪需要的总价为（元） 答：赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花7020元． 22. 为了更好地开展劳动实践活动，某校在校园内开辟了一片小菜园，用来种植A，B两种菜苗． 情境1：小红所在班级的任务是种植的，两种菜苗，小红发现种种菜苗和种菜苗共需，种种菜苗和种菜苗共需． （1）分别求种植，两种菜苗每平方米所需的时间； （2）任务要求所种的种菜苗不少于种菜苗，应如何设计种植方案才能使完成班级任务花费的时间最少，最少时间为多少？ 情境2：下表为小红记录的，两种菜苗的成长情况： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 … 种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 … 种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 … （3）①请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据所对应的点，并连线画出，两种菜苗高度y（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象； ②观察函数图象，能否用你学过的函数模型来刻画这两个变量之间的关系？若能，试求出y关于x的函数表达式； ③小红听种菜经验丰富的父亲说这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 【答案】（1）种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟；（2）种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间最少，为分钟；（3）①见解析；②A种菜苗先开花，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的实际应用，一次函数的图象和性质，列二元一次方程组解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找出熟练关系是解题的关键． （1）设种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）设种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间为分钟，由题意可列关于的一次函数解析式，再求出的范围，根据一次函数的性质进行求解即可； （3）①根据菜苗高度与已种菜苗天数的增减性可选择函数，再进行描点、连线作图即可；②利用待定系数法分别求出的解析式，再求出为50时，对应的x的值，进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）设种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，由题意得： ， 解得， 所以，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟，种植种菜苗每平方米所需的时间为分钟； （2）设种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间为分钟，由题意得 ， ∵任务要求所种的种菜苗不少于种菜苗， ∴， ∴， 当时，完成班级任务花费的时间最少，最少为分钟， 所以，种菜苗面积为平方米，则种菜苗的面积为平方米，完成班级任务花费的时间最少，为分钟； （3）①根据表中数据可知，当x增大时，都逐渐增加，此时可选择函数， 图象如图所示， ②对于，图象过，代入解析式可得，， 解得， ∴； 对于，图象过，代入解析式可得，， 解得， ∴； 当时，；当时，， ∴用的天数短，即A种菜苗先开花． 23. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学规律．如图1．正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小明经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整，在上截取，连接，易得，．________________．可证得（________），； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，连接，过点P作，垂足为点Q，连接．如图2，当时，证明：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7． 【解析】 【分析】（1）由分析思路知，只要，利用从而可证明，进而得到结论； （2）作于点，设，则，证明和都是等腰直角三角形，利用勾股定理求得，，再证明，，即可证明四边形是平行四边形； （3）①在上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质及勾股定理即可得到与的数量关系； ②分两种情况考虑：P 在线段上；P 在线段延长线上；利用等腰三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：（1）在上截取，连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）作于点， ∵， ∴设，则， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 解：（3）①； 证明：在上截取，连接，如图； 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴， ∴； ②或7；理由如下： 当P 在线段上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当 P 在延长线上时，延长使，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， 又， ∴， ∴； 又，， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，或 7． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度春季学期期末义务教育质量监测 八年级数学 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共35分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是菱形的对角线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能构成直角三角形是（ ） A. 4，5，6 B. 1，，3 C. 6，8，10 D. ，， 5. 在下列函数中是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. “体重管理年”三年活动由国家卫健委联合16个部门共同发起，宣传口号是“健康体重，一起行动”．某校组织各班开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报按如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知九（1）班“主题内容”“排版设计”“文字书写”三项的得分分别为9分，7分，8分，则该班的最终得分为（ ） A. 7.5分 B. 8分 C. 8.1分 D. 8.5分 8. 如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. ， C. D. ， 9. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 10. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？设该长方形的对角线为步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C D. 12. 如图，在等边中，点在上，且，，点是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（ ） A. B. C. D. 6 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 14. 如图，在数轴上，且，若以O为圆心，为半径画弧，则交点C表示的数是___________． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，．则的长为____ 16. 如图，对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕与相交于点N．若直线交直线于点O，，，点Q是折痕上的一个动点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2） 18. 如图，在中： （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为E，交于点F，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的周长． 19. 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）下面给出了部分抽取的信息： 对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85． 对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表： 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 a 96.6 对甲款机器人的满意度评分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？ 20. 如图，直线与直线相交于点． （1）求a的值． （2）直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． （3）直接写出关于x的不等式的解集． 21. 如图，莲花湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． （1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； （2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积； （3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 22. 为了更好地开展劳动实践活动，某校在校园内开辟了一片小菜园，用来种植A，B两种菜苗． 情境1：小红所在班级的任务是种植的，两种菜苗，小红发现种种菜苗和种菜苗共需，种种菜苗和种菜苗共需． （1）分别求种植，两种菜苗每平方米所需的时间； （2）任务要求所种的种菜苗不少于种菜苗，应如何设计种植方案才能使完成班级任务花费的时间最少，最少时间为多少？ 情境2：下表为小红记录的，两种菜苗的成长情况： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 10 … 种菜苗高度 6 9 12 15 18 21 … 种菜苗高度 15 16 17 18 19 20 … （3）①请在如图所示平面直角坐标系中描出表中数据所对应的点，并连线画出，两种菜苗高度y（单位：）关于已种菜苗天数x（单位：天）的函数图象； ②观察函数图象，能否用你学过函数模型来刻画这两个变量之间的关系？若能，试求出y关于x的函数表达式； ③小红听种菜经验丰富的父亲说这两种菜苗均在菜苗高度达到左右时开花，请估计哪种菜苗先开花，并说明理由． 23. 综合与实践 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学规律．如图1．正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：． 【问题解决】（1）小明经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整，在上截取，连接，易得，．________________．可证得（________），； 【问题探究】（2）在（1）的条件下，连接，过点P作，垂足为点Q，连接．如图2，当时，证明：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，P在射线上运动，当时，直接写出线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $