第十三章三角形练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 练习 一、单选题 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平行线，被直线所截，过点B作于点G，已知，则（　　） A． B． C． D． 3．在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 4．抖空竹作为非物质文化遗产，有着上千年的历史．将图1的某同学抖空竹抽象成图2的数学问题，已知：，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 7．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 8．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点为边上任意一点（点不与点、点重合），点、分别是线段、的中点．若的面积为8，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．3 10．如图，P是四边形内任意一点，将点P与各边的三等分点连接起来，并用，，，分别表示阴影以外的四个四边形的面积，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 二、填空题 11．三角形中最大角是最小角的4倍，则最小角的取值范围是 ． 12．如图，交BC的延长线于点D，于点C，于点F．图中是的高的线段有 条． 13．如图，在中，是的平分线，P为线段上一个动点，于点P，交的延长线于点E．若，则 ． 14．如图，在中，点D在上，，，则的大小为 ． 15．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    三、解答题 16．如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数． 17．如图，点是的边上的一点， (1)过点作的垂线，交于点； (2)在（1）的基础上作的边上的高，垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离； (4)线段、这两条线段大小关系是______用“”号连接． 18．已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 19．（面积问题）如图， (1)问题发现：如图1，已知中，点D为的中点，连接，则______（填“>”“<”或“=”）． (2)问题探究：如图2，已知四边形，E，F分别为的中点，连接，四边形与四边形的面积之比是多少？ (3)实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃，其中G，H，M，N分别为上的点，且．连接，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为，，，观赏区的总面积为多少？ 20．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C A A C B B B 1．B 【分析】本题考查了构成三角形三边的条件，解题的关键是掌握三角形三边关系定理 ． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于另外两边之和即可 ． 【详解】解：A选项，：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B. ：，满足条件，能组成三角形； C.：，不满足条件，不能组成三角形； D. ：，不满足条件，不能组成三角形 ． 故选：B ． 2．C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余．由平行线的性质求出，由垂直的定义求出，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 3．B 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：根据三角形高的画法知： A、线段是的边上高，故选项A不符合题意； B、线段是的边上高，故选项B符合题意； C、线段不是的边上高，故选项C不符合题意； D、线段是的边上高，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 延长交于点，利用平行线的性质求出的度数，再利用三角形的外角即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 7．C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 8．B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查三角形中线的性质．掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两份是解题关键． 根据中线与面积的可得、，进而求得，最后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵点、分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵F是线段的中点， ∴． 故选：B． 10．B 【分析】连接点P后形成的四边形面积可能存在对称性或互补性，核心思路是通过分析四边形的分割方式，发现无论点P位置如何，对角的两个四边形面积之和始终相等即可求解． 【详解】解：连接， 设中，靠近A点的三等分点为E，靠近D点的三等分点为F； 中，靠近A点的三等分点为G，靠近B点的三等分点为H； 中，靠近B点的三等分点为I，靠近C点的三等分点为J； 中，靠近C点的三等分点为K，靠近D点的三等分点为L， 因为等底等高的三角形面积相等，根据三等分点可知： 在中，的面积是面积的， 的面积是面积的， 同理在其他三个三角形、、中也有类似关系， 把与相关的三角形面积和与相关的三角形面积相加， 把与相关的三角形面积和与相关的三角形面积相加， 可以发现和都等于四边形面积的与四边形面积的的和， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查四边形内部点与边三等分点连接后形成的四边形的面积关系，需要通过几何分割或对称性分析，发现面积之间的平衡关系，关键点在于各边被三等分． 11． 【分析】考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理列出不等式是解题的关键． 因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又．列出不等式组，求解即可． 【详解】因为是它的最小角，所以设最大角是，中的角是，则，又． 由， 可得，即， 可得，即， 所以最小角的取值范围为． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了三角形的高，正确把握高的定义是解题关键． “从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高”，直接利用三角形高的定义分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知，是边上的高，是边上的高． 故线段与线段都是的高． 故答案为： 13．/24度 【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，角平分线的定义，解题关键是熟记三角形内角和定理，准确进行计算． 根据三角形内角定理可得的度数，再由角平分线的定义，可得的度数，然后根据三角形外角的性质，可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为： 14．/70度 【分析】本题考查三角形的外角性质，根据三角形的外角得到求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 15．/71度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，，推出，然后根据平角的定义得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，还涉及三角形的内角和定理以及角平分线的定义． 根据三角形外角的性质得到．利用角平分线的定义得到，利用三角形的内角和得出；根据三角形外角的性质得到． 【详解】解：，， ． 平分， ， ． ， ． 又， ． 17．(1)见解析； (2)见解析； (3)； (4)． 【分析】本题考查作图基本作图、点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画图即可． （2）根据三角形的高的定义画图即可． （3）结合点到直线的距离的定义可得答案． （4）根据垂线段最短可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：由图可知，线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （4）解：由题意得，线段、这两条线段大小关系是． 故答案为：． 18．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 19．(1)= (2) (3) 【分析】本题考查三角形的面积与底与高的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析题意，连结后，与是等底同高的三角形，所以它们的面积相等；   （2）如图连接，根据E、F是的中点，得出=， =，由此得出四边形的面积正好是原四边形面积的一半； （3）如图连结，得出，分别求出相应三角形面积的大小，然后再求出它们的和即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， （等底同高）； （2）如图，连接， ∵点为的中点， ∴，, ∴点为的中点， ∴，, ∴． ∴四边形与四边形的面积之比是； （3）如图，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ∴观赏区的总面积是：, ∴观赏区的总面积为． 20．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$