精品解析： 安徽省六安市第九中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年安徽省六安九中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标是， 故选：D 2. 已知的半径为10，若，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为10，， ∴， ∴点P在内． 故选：A． 3. 如图，若点C是线段的黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义“把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比”，理解黄金分割的概念是解题关键．根据黄金分割的定义列比例式即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 5. 已知，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原式变形为，然后代入求解即可． 【详解】解： 原式 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的运算；根据分式的运算法则正确拆分是解题的关键． 6. 如图，点均在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，连接，由勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，，进而根据正切的定义计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格得，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故选：． 7. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 8. 如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据等边对等角的性质可得，根据同弧或等弧所对圆周角是圆心角的一半，可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵所对应的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， ∴， 故选：C ． 9. 二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 10. 如图，在中，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点D作于点G，利用分割法，计算面积即可． 本题考查了直角三角形的性质，三角函数的应用，扇形的面积公式，分割法计算面积，熟练掌握直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵，，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．根据正弦函数是～范围内是单调递增的，即可得到结果． 【详解】解：， ， 即， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，平分，，则的长为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明，然后根据相似三角形的性质得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O的两点，且满足，连接，则的度数为______ 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知圆内接四边形的对角互补；三角形内角和是是解题的关键． 先根据圆内接四边形的性质得出的度数，再由等腰三角形的性质得出的度数，根据三角形内角和定理得出的度数即可． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， ， ， ． 故答案为：56． 14. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_______； （2）若新抛物线有，两点，且，则的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据二次函数的图象的对称性求出抛物线的对称轴，再根据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，确定点、与对称轴距离的远近． 根据当时和抛物线经过点过，可知点和关于对称轴对称，可知抛物线的对称轴是直线； 根据抛物线向左平移个单位长度，可知平移后新抛物线的对称轴是直线，根据可知点离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，所以可得的中点在对称轴的左侧，从而得到不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】当时， 二次函数的图象过， 又二次函数的图象过， 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：； 解：抛物线向左平移个单位长度， 新抛物线的对称轴是直线， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， 离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远， 的中点在对称轴的左侧， ， ， ， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值．首先根据特殊角的三角函数值把算式转化为实数，然后再根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在中，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质，由，可得到，，由相似三角形的性质即可得证．解题的关键是掌握：相似三角形的对应边成比例． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，线段经过圆心O，交于点A、C，，直线与切于点D，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据圆周角定理求出，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵切于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间的函数关系式及的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 【答案】（1）， （2）面条的总长度至少为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，求不等式的解集，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，求不等式的解集是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为：，将代入可得解析式，再把将代入解析式可得的值； （2）厨师做出的面条横截面面积不超过，可得列式得，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为：， 将代入可得：， ∴y与S之间的函数表达式为：； 将代入可得； 【小问2详解】 解：∵厨师做出的面条横截面面积不超过， ∴， 故面条的总长度至少为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 20. 如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于r的方程，由圆周角定理推出． （1）设的半径是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径长； （2）由圆周角定理得到，因此，判定是等腰直角三角形，得到． 【小问1详解】 解：设的半径是r，则， ∵ ∴， ∵直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）2米 （2） 依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 【解析】 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； 【小问2详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 某超市以元千克的价格购进一批草莓，如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克；如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量（千克）与销售单价（元）（）存在一次函数关系． （1）请你直接写出与之间的函数关系式为______； （2）设该超市销售草莓每天获得的利润为元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果物价局规定商品的利润率不能高于，而超市希望每天销售草莓的利润不低于元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）当时，取得最大，元； （3）销售这种草莓的销售单价的范围为． 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，将、代入，可得出的值，继而得出与的函数关系式； （）每天的总利润每天的销量每千克的利润，从而可得关于的表达式，利用配方法求解最值即可； （）根据利润不低于元，可求得的取值范围，再由利润率不能高于，可最终确定这种草莓的销售单价的范围； 本题考查了一次函数，二次函数的应用，解题的关键是仔细审题，得出利润与售价的函数关系式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将、代入，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，取得最大，元； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得：， 又∵物价局规定商品的利润率不能高于， ∴， ∴， 综上可得：， 答：销售这种草莓的销售单价的范围为． 八、（本题满分14分） 23. （1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 【答案】（）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴； ； （）． 【解析】 【分析】（）四边形是矩形，，，再利用同角的余角相等得，根据相似三角形的判定即可求证； 根据相似三角形的性质即可求解； （）过点分别作于点，于点，由勾股定理求出，由，，，则四边形为矩形，，，则是的中位线，是的中位线，故有，，再同（）理证明，得即可． 【详解】（）略 解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （）解：如图，过点分别作于点，于点， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，矩形的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省六安九中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为10，若，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 3. 如图，若点C是线段的黄金分割点，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 已知，那么（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点均在正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 8. 如图，在中，是弦，是弧上一点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与相切于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 比较大小： _____ ．(填“”，“”或“”) 12. 如图，在四边形中，平分，，则的长为________________ ． 13. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O的两点，且满足，连接，则的度数为______ 14. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线． （1）抛物线的对称轴为直线_______； （2）若新抛物线有，两点，且，则的取值范围为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在中，，．求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，线段经过圆心O，交于点A、C，，直线与切于点D，求的度数． 18. 中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间的函数关系式及的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 20. 如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 六、（本题满分12分） 21. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 七、（本题满分12分） 22. 某超市以元千克的价格购进一批草莓，如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克；如果以元千克的价格销售，那么每天可售出千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量（千克）与销售单价（元）（）存在一次函数关系． （1）请你直接写出与之间的函数关系式为______； （2）设该超市销售草莓每天获得的利润为元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果物价局规定商品的利润率不能高于，而超市希望每天销售草莓的利润不低于元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价的范围． 八、（本题满分14分） 23. （1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $